初中数学人教版九年级上册——22.1.4二次函数y=ax?+bx+c的图像和性质

初中数学人教版九年级上册——22.1.4二次函数y=ax +bx+c的图像和性质
一、单选题
1．（2021九下·郓城月考）把方程x2﹣8x+3＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（　　）
A．4，13 B．﹣4，19 C．﹣4，13 D．4，19
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：∵x2﹣8x+3＝0
∴x2﹣8x＝﹣3
∴x2﹣8x+16＝﹣3+16
∴（x﹣4）2＝13
∴m＝﹣4，n＝13
故答案为：C．
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
2．下列关于二次函数的说法错误的是（　　）
A．抛物线y=﹣2x2+3x+1的对称轴是直线 ，
B．抛物线y=x2﹣2x﹣3，点A（3，0）不在它的图象上
C．二次函数y=（x+2）2﹣2的顶点坐标是（﹣2，﹣2）
D．函数y=2x2+4x﹣3的图象的最低点在（﹣1，﹣5）
【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、根据抛物线对称轴公式，抛物线 的对称轴是直线 ，不符合题意；；
B、当x=3时，y=0，所以点 在它的图象上，符合题意；；
C、二次函数y=（x+2）2﹣2的顶点坐标是 ，不符合题意；；
D、函数 图象的最低点在 ，不符合题意；．
故答案为：B．
【分析】（1）根据抛物线对称轴公式x=即可求解；
（2）由题意将（3，0）代入解析式，若左右两边相等，则点在图像上；反之，点不在图像上；
（3）根据的顶点坐标为（h，k）即可求解；
（4）由题意将函数解析式根据公式配成顶点式，即可求解。
3．（2021·陕西）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
… -2 0 1 3 …
… 6 -4 -6 -4 …
下列各选项中，正确的是
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于-6
D．当 时，y的值随x值的增大而增大
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：设二次函数的解析式为 ，
依题意得： ，解得： ，
∴二次函数的解析式为 = ，
∵ ，
∴这个函数的图象开口向上，故A选项不符合题意；
∵ ，
∴这个函数的图象与x轴有两个不同的交点，故B选项不符合题意；
∵ ，∴当 时，这个函数有最小值 ，故C选项符合题意；
∵这个函数的图象的顶点坐标为( ， )，
∴当 时，y的值随x值的增大而增大，故D选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据表格中的信息用待定系数法可求得二次函数的解析式，并将解析式化为顶点式；
A、根据a=1＞0可知，这个函数的图象开口向上；
B、计算b2-4ac=25＞0，根据一元二次方程的根的判别式可判断这个函数的图象与x轴有两个不同的交点；
C根据顶点式可知，当x=时，函数有最小值为-＜-6；
D、根据顶点式可知当x＞时，函数y的值随x值的增大而增大.
4．（2021·江西）在同一平面直角坐标系中，二次函数 与一次函数 的图象如图所示，则二次函数 的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数 的图象开口向上，
∴ ，
∵次函数 的图象经过一、三、四象限，
∴ ， ，
对于二次函数 的图象，
∵ ，开口向上，排除A、B选项；
∵ ， ，
∴对称轴 ，
∴D选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】先求出 ，再求出 ， ，最后对每个选项判断即可。
5．（2021·乐清模拟）已知两点A(-6，y1)，B(2，y2)均在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上，若y1>y2，则抛物线的顶点横坐标m的值可以是（　　）
A．-6 B．-5 C．-2 D．-1
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：假设点A(-6，y1)，B(2，y2)是抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的两个对称点，
∴对称轴为直线x=；
∵ y1>y2，
∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，y的值越小，
∴该抛物线的顶点的横坐标m＞-2，
∴选项中m=-1.
故答案为：D.
【分析】假设点A(-6，y1)，B(2，y2)是抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的两个对称点，可求出抛物线的对称轴，再根据y1>y2，可得到抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，y的值越小，由此可求出顶点横坐标的取值范围，根据各选项，可得答案.
6．（2021·驻马店模拟）已知二次函数 ，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程 的两根之积为（　　）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数 ，
当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
可知二次函数图象的对称轴为直线x=0，即y轴，
则 ，
解得：a=-2，
则关于x的一元二次方程 为 ，
则两根之积为 ，
故答案为：D.
【分析】由题意可得二次函数图象的对称轴为直线x=0，从而根据对称轴直线公式列出方程，求解可得a的值，然后将a的值代入方程化简，据此可得两根之积.
7．（2021·平阴模拟）已知二次函数 （m为常数），当 时，函数值y的最小值为 ，则m的值是（　　）
A． B． 或
C． 或 D． 或 或
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数 （m为常数），
∴抛物线的对称轴为直线x= =m，
当m＜-1时，-1＜x＜2表示的数在对称轴的右侧，
∵二次函数 （m为常数）中，a=1＞0，
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∴当x=-1时，函数y取得最小值，即1+2m=-2，解得m= ；
当-1＜m＜2时，
∵二次函数 （m为常数）中，a=1＞0，函数有最小值，
∴当x=m时，y取得最小值，即 =-2，
解得m= 或m=- （不在范围内，舍去）；
当m＞2时，
∵二次函数 （m为常数）中，a=1＞0，
∴在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
∴当x=2时，函数y取得最小值，即4-4m=-2，解得m= ，（不在范围内，舍去）
综上所述，m的值为 或 ，
故答案为：B．
【分析】先求出抛物线的对称轴为直线x= =m，再分类讨论，结合函数图象求解即可。
8．（2021·从化模拟）已知b＜0时，二次函数 的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，a的值等于（　　）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图可知，第1、2两个图形的对称轴为y轴，所以 ，解得b=0，与b＜0相矛盾．
第3个图，抛物线开口向上，a＞0，经过坐标原点，a2－1=0，解得a1=1，a2=－1（舍去）．
对称轴 ，解得b＜0，符合题意．故a=1．
第4个图，抛物线开口向下，a＜0，经过坐标原点，a2－1=0，解得a1=1（舍去），a2=－1．
对称轴 ，解得b＞0，不符合题意．
综上所述，a的值等于1．
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的图象和性质，判断a的值即可。
9．（2021·历城模拟）函数 ，当 时，此函数的最小值为 ，最大值为1，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ，
当x=2时，函数取得最大值1，
当函数值取最小值-3时， 得 ， ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：C．
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，可得当x=2时，函数取得最大值1，再求出函数值取最小值y=-3时x的值，根据抛物线开口向下及增减性即可求出结论.
10．（2021·红桥模拟）抛物线 （a，b，c为常数， ）与x轴交于 两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．有下列结论：
① ；
② ；
③当 是等腰三角形时，a的值有2个；
④当 是直角三角形时， ．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，
对称轴为直线 ，
，
，故①符合题意，
二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，且与y轴的正半轴交于点C，
∴抛物线开口向下，
∴a<0，
当 时， ，
，
，
，故②符合题意；
二次函数 ，
点 ，
当 时， ，
，
当 时， ，
，
当 是等腰三角形时， 的值有2个，故③符合题意；
二次函数 ，
顶点 ，
， ， ，
若 ，可得 ，
，
，
若 ，可得 ，
，
，
当 是直角三角形时， 或 ，故④不符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的图象和性质判断得到答案即可。
二、填空题
11．（2021九上·新抚期末）已知二次函数 ，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是　 　.
【答案】m≤3
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵二次函数 ，
∴二次函数的对称轴为直线x= ，开口向上，
∵当x≥1时，y随x的增大而增大，
∴ ，
解得m≤3，
故答案为：m≤3.
【分析】利用二次函数的解析式求出其对称轴为x= ，利用二次函数的增减性及已知条件当x≥1时，y随x的增大而增大，建立关于m的不等式，然后求出不等式的解集.
12．（2020九上·高平期末）抛物线 的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴为 ，则 时，x的取值范围　 　．
【答案】x＜-1或x＞2
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（-4，0），对称轴为x=-1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），
由图象可知，当y＞0时，x的取值范围是x＜-4或x＞2．
故答案为：x＜-4或x＞2．
【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y＜0时，x的取值范围．
13．（2021·中江模拟）已知抛物线 的部分图象如图所示，当 时，x的取值范围是　 　.
【答案】0＜x＜2
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图象可得，
该抛物线的对称轴为直线x=1，与y轴的交点为（0，-3），
故（0，-3）关于对称轴对称的点为（2，-3），
故当y＜-3时，x的取值范围是0＜x＜2，
故答案为：0＜x＜2.
【分析】利用抛物线的对称性可求出（0，-3）关于对称轴对称的点为（2，-3），利用函数图象可知当0＜x＜2时，y＜-3，据此即得结论.
14．（2021九上·嘉兴期末）已知点 P （x1，y1 ）， Q （x2，y2）都在抛物线 y = x2-4x + 4上，若 x1 + x2 = 4，则y1　 　y2 .（填“>"、“<"或“=”）
【答案】=
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ y= x2-4x + 4
对称轴为直线x=2
∵ 点 P （x1，y1 ）， Q （x2，y2）都在抛物线 y = x2-4x + 4上，若 x1 + x2 = 4，
∴点P和点Q关于直线x=2对称，
∴y1=y2.
故答案为：=.
【分析】利用函数解析式求出抛物线的对称轴，再根据x1 + x2 = 4，可得到点P和点Q关于直线x=2对称，由此可得到y1和y2的大小关系。
15．（2021·苏州模拟）已知关于x的二次函数y=ax2+2ax+a-3在-2≤x≤2时的函数值始终是负的，则常数a的取值范围是　 　.
【答案】 ＜ 且 ≠0
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】把抛物线化为顶点式可得y=ax2+2ax+a﹣3=a（x+1）2﹣3，可得抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3），当a＜0时，y＜0，当a＞0时，由题意得，当x=2时，y＜0，
即9a﹣3＜0，解得a＜ ，由二次函数的定义可知a≠0，所以常数a的取值范围是a＜ 且a≠0.
【分析】将二次函数的解析式化成顶点式可得抛物线的顶点坐标，然后结合题意“ 函数值始终是负的 ”可求解.
16．（2020九上·惠城月考）如图，抛物线 ＝ 与直线 ＝ 相交于点 ， ，则关于 的方程 ＝ 的解为　 　．
【答案】 ＝ ， ＝
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线与直线想交于点A和点B
∴关于x的方程的解为x1=-3，x2=1
【分析】根据题意，关于x的方程的解为抛物线和直线交点的横坐标即可得到答案。
三、计算题
17．（2019九上·合肥月考）已知抛物线y＝﹣2x2+(m﹣3)x﹣8．
（1）若抛物线的对称轴为y轴，求m的值；
（2）若抛物线的顶点在x正半轴上，求m的值．
【答案】（1）解：∵抛物线y＝﹣2x2+(m﹣3)x﹣8的对称轴为y轴，
∴﹣ ＝0，
解得，m＝3，即m的值是3；
（2）解：∵抛物线y＝﹣2x2+(m﹣3)x﹣8的顶点在x正半轴上，
∴ ，
解得m＝11， 即m的值是11．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）根据对称轴公式 即可求m的值；（2）根据顶点坐标公式求解即可．
18．（2018九上·临河期中）二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=3，最小值为 2，且过(0,1)，求此函数的解析式.
【答案】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=3，最小值为 2， ∴此二次函数的顶点坐标为：(3， 2)， ∴此二次函数为：y=a(x 3)2 2， ∵过(0，1)， ∴9a 2=1， 解得：a= ， ∴此二次函数的解析式为：y= (x 3)2 2= x2 2x+1.
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】根据题意即可得到二次函数的顶点，可以设二次函数的顶点式，根据二次函数经过点（0,1）即可得到a的值，求出函数解析式。
19．（2020九上·亳州月考）如图，是某座抛物线型的隧道示意图，已知路面AB宽24米，抛物线最高点C到路面AB的距离为8米，为保护来往车辆的安全，在该抛物线上距路面AB高为6米的点E，F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离EF.（提示：以AB所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系）
【答案】解：设
求出
写出解析式
把 代入求出 ，写出点 、 的坐标
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】根据待定系数法求出抛物线的解析式，根据题意即可得到点E和点F两点的纵坐标，代入抛物线即可得到横坐标，求出EF的距离即可。
20．（2021·元阳模拟）如图，已知抛物线 的对称轴为直线 ，抛物线与x轴相交于A，B两点，点A在点B的左侧，点 为抛物线与y轴的交点．
（1）求b和c的值．
（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使 最短，请求出点P的坐标．
（3）抛物线上是否存在一点Q，使 的面积等于 的面积的4倍？若存在，求出点Q所有的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵抛物线 的对称轴为直线 ，
∴ ，解得 ．
把点 代入抛物线 ，得 ．
（2）解：由（1）知抛物线为 ，
令 ，则 ，解得 或 ，
∴点A的坐标为 ，点B的坐标为 ．
连接 ．
∵点B关于直线 的对称点为点A，
交对称轴直线 于点P，此时 最短．
设直线 的解析式为 ，
则 解得
故直线 的解析式为 ，
当 时， ，
故点P的坐标为 ．
（3）解：存在点Q使得 ．理由如下：如图，
设点 ，
则 ．
∵ ，
∴ ，即 ．
当 时， ；
此时：点Q的坐标分别为
当 时， ．
此时：点Q的坐标分别为 ．
∴存在3个点使得 ，
点Q的坐标分别为 ．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴，求出b的值，继而根据点C的坐标，计算得到c的值即可；
（2）根据抛物线的解析式，根据轴对称的性质，计算得到点P的坐标；
（3）设出点Q的坐标，根据三角形的面积公式，列出方程，计算得到点Q的坐标即可。
1 / 1初中数学人教版九年级上册——22.1.4二次函数y=ax +bx+c的图像和性质
一、单选题
1．（2021九下·郓城月考）把方程x2﹣8x+3＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（　　）
A．4，13 B．﹣4，19 C．﹣4，13 D．4，19
2．下列关于二次函数的说法错误的是（　　）
A．抛物线y=﹣2x2+3x+1的对称轴是直线 ，
B．抛物线y=x2﹣2x﹣3，点A（3，0）不在它的图象上
C．二次函数y=（x+2）2﹣2的顶点坐标是（﹣2，﹣2）
D．函数y=2x2+4x﹣3的图象的最低点在（﹣1，﹣5）
3．（2021·陕西）下表中列出的是一个二次函数的自变量x与函数y的几组对应值：
… -2 0 1 3 …
… 6 -4 -6 -4 …
下列各选项中，正确的是
A．这个函数的图象开口向下
B．这个函数的图象与x轴无交点
C．这个函数的最小值小于-6
D．当 时，y的值随x值的增大而增大
4．（2021·江西）在同一平面直角坐标系中，二次函数 与一次函数 的图象如图所示，则二次函数 的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2021·乐清模拟）已知两点A(-6，y1)，B(2，y2)均在抛物线y=ax2+bx+c(a>0)上，若y1>y2，则抛物线的顶点横坐标m的值可以是（　　）
A．-6 B．-5 C．-2 D．-1
6．（2021·驻马店模拟）已知二次函数 ，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程 的两根之积为（　　）
A．0 B． C． D．
7．（2021·平阴模拟）已知二次函数 （m为常数），当 时，函数值y的最小值为 ，则m的值是（　　）
A． B． 或
C． 或 D． 或 或
8．（2021·从化模拟）已知b＜0时，二次函数 的图象如下列四个图之一所示．根据图象分析，a的值等于（　　）
A．－2 B．－1 C．1 D．2
9．（2021·历城模拟）函数 ，当 时，此函数的最小值为 ，最大值为1，则m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．（2021·红桥模拟）抛物线 （a，b，c为常数， ）与x轴交于 两点，与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．有下列结论：
① ；
② ；
③当 是等腰三角形时，a的值有2个；
④当 是直角三角形时， ．
其中，正确结论的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．（2021九上·新抚期末）已知二次函数 ，当x≥1时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是　 　.
12．（2020九上·高平期末）抛物线 的部分图象如图所示，其与x轴的一个交点坐标为 ，对称轴为 ，则 时，x的取值范围　 　．
13．（2021·中江模拟）已知抛物线 的部分图象如图所示，当 时，x的取值范围是　 　.
14．（2021九上·嘉兴期末）已知点 P （x1，y1 ）， Q （x2，y2）都在抛物线 y = x2-4x + 4上，若 x1 + x2 = 4，则y1　 　y2 .（填“>"、“<"或“=”）
15．（2021·苏州模拟）已知关于x的二次函数y=ax2+2ax+a-3在-2≤x≤2时的函数值始终是负的，则常数a的取值范围是　 　.
16．（2020九上·惠城月考）如图，抛物线 ＝ 与直线 ＝ 相交于点 ， ，则关于 的方程 ＝ 的解为　 　．
三、计算题
17．（2019九上·合肥月考）已知抛物线y＝﹣2x2+(m﹣3)x﹣8．
（1）若抛物线的对称轴为y轴，求m的值；
（2）若抛物线的顶点在x正半轴上，求m的值．
18．（2018九上·临河期中）二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=3，最小值为 2，且过(0,1)，求此函数的解析式.
19．（2020九上·亳州月考）如图，是某座抛物线型的隧道示意图，已知路面AB宽24米，抛物线最高点C到路面AB的距离为8米，为保护来往车辆的安全，在该抛物线上距路面AB高为6米的点E，F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离EF.（提示：以AB所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系）
20．（2021·元阳模拟）如图，已知抛物线 的对称轴为直线 ，抛物线与x轴相交于A，B两点，点A在点B的左侧，点 为抛物线与y轴的交点．
（1）求b和c的值．
（2）在抛物线的对称轴上存在一点P，使 最短，请求出点P的坐标．
（3）抛物线上是否存在一点Q，使 的面积等于 的面积的4倍？若存在，求出点Q所有的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【解答】解：∵x2﹣8x+3＝0
∴x2﹣8x＝﹣3
∴x2﹣8x+16＝﹣3+16
∴（x﹣4）2＝13
∴m＝﹣4，n＝13
故答案为：C．
【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数．
2．【答案】B
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、根据抛物线对称轴公式，抛物线 的对称轴是直线 ，不符合题意；；
B、当x=3时，y=0，所以点 在它的图象上，符合题意；；
C、二次函数y=（x+2）2﹣2的顶点坐标是 ，不符合题意；；
D、函数 图象的最低点在 ，不符合题意；．
故答案为：B．
【分析】（1）根据抛物线对称轴公式x=即可求解；
（2）由题意将（3，0）代入解析式，若左右两边相等，则点在图像上；反之，点不在图像上；
（3）根据的顶点坐标为（h，k）即可求解；
（4）由题意将函数解析式根据公式配成顶点式，即可求解。
3．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：设二次函数的解析式为 ，
依题意得： ，解得： ，
∴二次函数的解析式为 = ，
∵ ，
∴这个函数的图象开口向上，故A选项不符合题意；
∵ ，
∴这个函数的图象与x轴有两个不同的交点，故B选项不符合题意；
∵ ，∴当 时，这个函数有最小值 ，故C选项符合题意；
∵这个函数的图象的顶点坐标为( ， )，
∴当 时，y的值随x值的增大而增大，故D选项不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据表格中的信息用待定系数法可求得二次函数的解析式，并将解析式化为顶点式；
A、根据a=1＞0可知，这个函数的图象开口向上；
B、计算b2-4ac=25＞0，根据一元二次方程的根的判别式可判断这个函数的图象与x轴有两个不同的交点；
C根据顶点式可知，当x=时，函数有最小值为-＜-6；
D、根据顶点式可知当x＞时，函数y的值随x值的增大而增大.
4．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【解答】解：∵二次函数 的图象开口向上，
∴ ，
∵次函数 的图象经过一、三、四象限，
∴ ， ，
对于二次函数 的图象，
∵ ，开口向上，排除A、B选项；
∵ ， ，
∴对称轴 ，
∴D选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】先求出 ，再求出 ， ，最后对每个选项判断即可。
5．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：假设点A(-6，y1)，B(2，y2)是抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的两个对称点，
∴对称轴为直线x=；
∵ y1>y2，
∴抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，y的值越小，
∴该抛物线的顶点的横坐标m＞-2，
∴选项中m=-1.
故答案为：D.
【分析】假设点A(-6，y1)，B(2，y2)是抛物线y=ax2+bx+c(a>0)的两个对称点，可求出抛物线的对称轴，再根据y1>y2，可得到抛物线的开口向上，抛物线上的点离对称轴越近，y的值越小，由此可求出顶点横坐标的取值范围，根据各选项，可得答案.
6．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数 ，
当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，
可知二次函数图象的对称轴为直线x=0，即y轴，
则 ，
解得：a=-2，
则关于x的一元二次方程 为 ，
则两根之积为 ，
故答案为：D.
【分析】由题意可得二次函数图象的对称轴为直线x=0，从而根据对称轴直线公式列出方程，求解可得a的值，然后将a的值代入方程化简，据此可得两根之积.
7．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数 （m为常数），
∴抛物线的对称轴为直线x= =m，
当m＜-1时，-1＜x＜2表示的数在对称轴的右侧，
∵二次函数 （m为常数）中，a=1＞0，
∴在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，
∴当x=-1时，函数y取得最小值，即1+2m=-2，解得m= ；
当-1＜m＜2时，
∵二次函数 （m为常数）中，a=1＞0，函数有最小值，
∴当x=m时，y取得最小值，即 =-2，
解得m= 或m=- （不在范围内，舍去）；
当m＞2时，
∵二次函数 （m为常数）中，a=1＞0，
∴在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
∴当x=2时，函数y取得最小值，即4-4m=-2，解得m= ，（不在范围内，舍去）
综上所述，m的值为 或 ，
故答案为：B．
【分析】先求出抛物线的对称轴为直线x= =m，再分类讨论，结合函数图象求解即可。
8．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图可知，第1、2两个图形的对称轴为y轴，所以 ，解得b=0，与b＜0相矛盾．
第3个图，抛物线开口向上，a＞0，经过坐标原点，a2－1=0，解得a1=1，a2=－1（舍去）．
对称轴 ，解得b＜0，符合题意．故a=1．
第4个图，抛物线开口向下，a＜0，经过坐标原点，a2－1=0，解得a1=1（舍去），a2=－1．
对称轴 ，解得b＞0，不符合题意．
综上所述，a的值等于1．
故答案为：C．
【分析】根据二次函数的图象和性质，判断a的值即可。
9．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解： ，
当x=2时，函数取得最大值1，
当函数值取最小值-3时， 得 ， ，
∵ ，
∴ ．
故答案为：C．
【分析】将二次函数解析式化为顶点式，可得当x=2时，函数取得最大值1，再求出函数值取最小值y=-3时x的值，根据抛物线开口向下及增减性即可求出结论.
10．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解： 二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，
对称轴为直线 ，
，
，故①符合题意，
二次函数 的图象与 轴交于 ， 两点，且与y轴的正半轴交于点C，
∴抛物线开口向下，
∴a<0，
当 时， ，
，
，
，故②符合题意；
二次函数 ，
点 ，
当 时， ，
，
当 时， ，
，
当 是等腰三角形时， 的值有2个，故③符合题意；
二次函数 ，
顶点 ，
， ， ，
若 ，可得 ，
，
，
若 ，可得 ，
，
，
当 是直角三角形时， 或 ，故④不符合题意．
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的图象和性质判断得到答案即可。
11．【答案】m≤3
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】∵二次函数 ，
∴二次函数的对称轴为直线x= ，开口向上，
∵当x≥1时，y随x的增大而增大，
∴ ，
解得m≤3，
故答案为：m≤3.
【分析】利用二次函数的解析式求出其对称轴为x= ，利用二次函数的增减性及已知条件当x≥1时，y随x的增大而增大，建立关于m的不等式，然后求出不等式的解集.
12．【答案】x＜-1或x＞2
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的一个交点坐标为（-4，0），对称轴为x=-1，
∴抛物线与x轴的另一个交点为（2，0），
由图象可知，当y＞0时，x的取值范围是x＜-4或x＞2．
故答案为：x＜-4或x＞2．
【分析】根据抛物线与x轴的一个交点坐标和对称轴，由抛物线的对称性可求抛物线与x轴的另一个交点，再根据抛物线的增减性可求当y＜0时，x的取值范围．
13．【答案】0＜x＜2
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图象可得，
该抛物线的对称轴为直线x=1，与y轴的交点为（0，-3），
故（0，-3）关于对称轴对称的点为（2，-3），
故当y＜-3时，x的取值范围是0＜x＜2，
故答案为：0＜x＜2.
【分析】利用抛物线的对称性可求出（0，-3）关于对称轴对称的点为（2，-3），利用函数图象可知当0＜x＜2时，y＜-3，据此即得结论.
14．【答案】=
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵ y= x2-4x + 4
对称轴为直线x=2
∵ 点 P （x1，y1 ）， Q （x2，y2）都在抛物线 y = x2-4x + 4上，若 x1 + x2 = 4，
∴点P和点Q关于直线x=2对称，
∴y1=y2.
故答案为：=.
【分析】利用函数解析式求出抛物线的对称轴，再根据x1 + x2 = 4，可得到点P和点Q关于直线x=2对称，由此可得到y1和y2的大小关系。
15．【答案】 ＜ 且 ≠0
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】把抛物线化为顶点式可得y=ax2+2ax+a﹣3=a（x+1）2﹣3，可得抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣3），当a＜0时，y＜0，当a＞0时，由题意得，当x=2时，y＜0，
即9a﹣3＜0，解得a＜ ，由二次函数的定义可知a≠0，所以常数a的取值范围是a＜ 且a≠0.
【分析】将二次函数的解析式化成顶点式可得抛物线的顶点坐标，然后结合题意“ 函数值始终是负的 ”可求解.
16．【答案】 ＝ ， ＝
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线与直线想交于点A和点B
∴关于x的方程的解为x1=-3，x2=1
【分析】根据题意，关于x的方程的解为抛物线和直线交点的横坐标即可得到答案。
17．【答案】（1）解：∵抛物线y＝﹣2x2+(m﹣3)x﹣8的对称轴为y轴，
∴﹣ ＝0，
解得，m＝3，即m的值是3；
（2）解：∵抛物线y＝﹣2x2+(m﹣3)x﹣8的顶点在x正半轴上，
∴ ，
解得m＝11， 即m的值是11．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象
【解析】【分析】（1）根据对称轴公式 即可求m的值；（2）根据顶点坐标公式求解即可．
18．【答案】解：∵二次函数y=ax2+bx+c的对称轴为x=3，最小值为 2， ∴此二次函数的顶点坐标为：(3， 2)， ∴此二次函数为：y=a(x 3)2 2， ∵过(0，1)， ∴9a 2=1， 解得：a= ， ∴此二次函数的解析式为：y= (x 3)2 2= x2 2x+1.
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】根据题意即可得到二次函数的顶点，可以设二次函数的顶点式，根据二次函数经过点（0,1）即可得到a的值，求出函数解析式。
19．【答案】解：设
求出
写出解析式
把 代入求出 ，写出点 、 的坐标
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】根据待定系数法求出抛物线的解析式，根据题意即可得到点E和点F两点的纵坐标，代入抛物线即可得到横坐标，求出EF的距离即可。
20．【答案】（1）解：∵抛物线 的对称轴为直线 ，
∴ ，解得 ．
把点 代入抛物线 ，得 ．
（2）解：由（1）知抛物线为 ，
令 ，则 ，解得 或 ，
∴点A的坐标为 ，点B的坐标为 ．
连接 ．
∵点B关于直线 的对称点为点A，
交对称轴直线 于点P，此时 最短．
设直线 的解析式为 ，
则 解得
故直线 的解析式为 ，
当 时， ，
故点P的坐标为 ．
（3）解：存在点Q使得 ．理由如下：如图，
设点 ，
则 ．
∵ ，
∴ ，即 ．
当 时， ；
此时：点Q的坐标分别为
当 时， ．
此时：点Q的坐标分别为 ．
∴存在3个点使得 ，
点Q的坐标分别为 ．
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）根据抛物线的对称轴，求出b的值，继而根据点C的坐标，计算得到c的值即可；
（2）根据抛物线的解析式，根据轴对称的性质，计算得到点P的坐标；
（3）设出点Q的坐标，根据三角形的面积公式，列出方程，计算得到点Q的坐标即可。
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