初中数学人教版九年级上册——22.1.3二次函数y=a(x-h) +k的图像和性质②
一、单选题
1．（2021九上·扶风期末）关于抛物线： ，下列说法正确的是（ ）.
A．它的开口方向向上
B．它的顶点坐标是
C．当 时，y随x的增大而增大
D．对称轴是直线
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：A、∵ ，∴抛物线 的开口向下，故A选项错误；
B、抛物线 的顶点坐标是 ，故B选项错误；
C、对抛物线 ，当 时，y随x增大而增大，故C选项正确；
D、抛物线 的对称轴是直线 ，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】 抛物线 的图象开口向下，顶点坐标是 ，对称轴是直线 ，在对称轴的左侧，y随x增大而增大，据此逐一判断即可.
2．（2020·阿城模拟）由抛物线 得到抛物线 是经过怎样平移的（ ）
A．右移1个单位上移2个单位 B．右移1个单位下移2个单位
C．左移1个单位下移2个单位 D．左移1个单位上移2个单位
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解： 抛物线 向左平移1个单位，再向上平移2个单位可得 抛物线 .
故答案为：D.
【分析】本题考查的是二次函数图象的平移，掌握“上加下减，左加右减”的规则是解题的关键，也可以根据抛物线顶点坐标的变化确定平移方法.
3．（2021·阜新）如图，二次函数 的图象与x轴交于A， 两点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．点A的坐标为
C．当 时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】由图可得开口向上，故a＞0，A不符合题意；
∵解析式为 ，故对称轴为直线x=-2，D符合题意
∵
∴A点坐标为（-3，0），故B不符合题意；
由图可知当 时，y随x的增大而减小，故C不符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的图象和性质，判断得到答案即可。
4．（2020·河南模拟）如果点 是抛物线 上两个不同的点，那么 的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵点A（1，3）、B（m，3）是抛物线y=a（x-4）2+h上两个不同的点，
∴A（1，3）与B（m，3）关于对称轴x=4对称，
∴ ，
解得m=7，
故答案为：D.
【分析】根据抛物线的对称性，可知A（1，3）与B（m，3）关于对称轴x=4对称，据此求出m的值即可.
5．（2021·长垣模拟）若A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）为二次函数y＝（x＋2）2＋k的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y=（x＋2）2＋k，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=﹣2，
∴当 时，y随x的增大而增大，
∴A（﹣3，y1）关于对称轴的对称点为（﹣1，y1），
∵﹣2＜﹣1＜2，
∴y2＜y1＜y3，
故答案为：D.
【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=-2，利用二次函数的性质即可判断.
6．（2021·温州模拟）已知二次函数y=x2-6x+8，当0A．3 B．4 C．6 D．7
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵y=x2-6x+8=（x-3）2-1，
∴该二次函数的对称轴为3，
∴当x=3时，ymin=-1，
当y=8时，x=6，
∴m=6，
故答案为：C.
【分析】运用二次函数的性质和函数解析式即可求解.
7．（2020九上·三台月考）不论 取任何实数，抛物线 的顶点都（ ）.
A．在 直线上 B．在直线 上
C．在直线 上 D．不确定
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：函数 的顶点坐标为 ，
令 ，则 ，
，
∴顶点坐标在直线 上.
故答案为：C.
【分析】根据顶点式可求顶点坐标为（-m，m+1），即可判断顶点所在直线.
8．（2020九上·鼓楼月考）已知二次函数 ，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是
C．当 时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴有唯一交点
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解： ，
＞ 图像的开口向上，故A符合题意；
由 可得顶点坐标为： ，故B不符合题意；
当 时，y随x的增大而减小，故C不符合题意；
当 时， 可得： 方程无解，所以函数图象与x轴没有交点，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】二次函数，抛物线开口向上，对称轴是直线x=1，顶点（1，5），在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，据此判断A，B，C；求出抛物线，当 时的y值，据此结果判断即可.
9．（2020九上·江城月考）对于抛物线y=-2(x+1)2+3，下列结论：
①抛物线的开口向下②对称轴为直线x=1
③顶点坐标为(1，3)④x>1时，y随x的增大而减小
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解： 对于抛物线y=-2(x+1)2+3，
①由a=-2＜0，抛物线的开口向下，故①正确；
②对称轴为直线x=-1，故②错误；
③顶点坐标为(-1，3) ，故③错误；
④x>1时，y随x的增大而减小，故④正确，
正确的个数有2个.
故答案为：B.
【分析】抛物线的解析式为y=-2(x+1)2+3，根据抛物线的图象和性质得出抛物线的开口向下，对称轴为直线x=-1，顶点坐标为(-1，3) ，x>1时，y随x的增大而减小，逐项判断，即可求解.
10．（2020·镇江）点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上.则m﹣n的最大值等于（ ）
A． B．4 C．﹣ D．﹣
【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，
∴a＝0，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣ ）2﹣ ，
∴当m＝ 时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣ ，
故答案为：C.
【分析】根据题意，可以得到a的值以及m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可求出m﹣n的最大值.
二、填空题
11．（2020九上·小店月考）已知点 ， ， 都在函数 的图象上，则 ， ， 的大小关系是 ．
【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解： ，
图象的开口向上，对称轴是直线 ，
关于对称轴的对称点为 ，
，
，
故答案为： ．
【分析】先求出二次函数的对称轴，将所有点放到对称轴的一边，再利用二次函数的性质求解即可。
12．（2020九上·右玉月考）二次函数 ，当 时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是
【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数 ，开口向上，
当 时，y随x的增大而增大，
∴ ，
故答案为： .
【分析】根据二次函数的性质即可求解．
13．（2020·上海模拟）若抛物线y＝（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第二象限，则m的取值范围为 ．
【答案】﹣1＜m＜0
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】∵y＝（x﹣m）2+（m+1），
∴顶点为（m，m+1），
∵顶点在第二象限，
∴m＜0，m+1＞0，
∴﹣1＜m＜0，
故答案为﹣1＜m＜0．
【分析】求出函数的顶点坐标为（m，m+1），再由第二象限点的坐标特点的得到：m＜0，m+1＞0即可求解．
14．如图，抛物线y1=a（x+2）2﹣3与y2= （x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：
①无论x取何值，y2的值总是正数；
②a=1；
③当x=0时，y2﹣y1=4
④2AB=3AC．
其中正确结论是 ．
【答案】①④
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】（1）∵抛物线y2= （x﹣3）2+1的开口向上，顶点在x轴上方，
∴y2的值总是正数.故①正确；
（ 2 ）把点A（1，3）代入y1=a（x+2）2﹣3得：3=a(1+2)2-3，解得：a= ，
∴②错误；
（ 3 ）∵当 时， ， ，
∴ .
∴③错误；
（ 4 ）∵在 中，当 时，可得 ，解得： ，∴点B的坐标为（-5，3）；
∵在 中，当 时，可得 ，解得： ，
∴点C的坐标为（5，3）；
∴AB=6，AC=4，
∴2AB=3AC.
∴④正确；
综上所述：正确的是①④
【分析】①由图知，抛物线开口向上，顶点在x轴上方，所以的值总是正数；
②由题意把点A（1，3）代入解析式即可求得a的值；
③把x=0分别代入和中计算即可求解；
④由②可得的解析式，由题意易求得点B和C的坐标，则AB和AC的长可求解，根据所求的长度即可判断。
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2﹣x与x轴交于点A，点P在抛物线上，连结AP．若△OAP是以OA为底边的等腰三角形，则△OAP的面积是 ．
【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：令y=0，则 x2 x=0，解得x=0或2，
∴点A坐标(2，0)，
∵△OAP是以OA为底边的等腰三角形，
∴点P是抛物线顶点，
∴点P坐标(1， )，
∴S△OAP= ×2× =
【分析】先求出抛物线与x轴的交点坐标即得OA的长，再由抛物线和等腰三角形的对称性可知点P在抛物线的顶点上，求出抛物线的顶点坐标即可解决。
16．已知抛物线经过点A（4，0）．设点C（1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|的值最大，则D点的坐标为
【答案】（2，﹣6）
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线经过点A（4，0），
∴×42+4b=0，
∴b=﹣2，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x=（x﹣2）2﹣2，
∴抛物线的对称轴为：直线x=2，
∵点C（1，﹣3），
∴作点C关于x=2的对称点C′（3，﹣3），
直线AC′与x=2的交点即为D，
因为任意取一点D（AC与对称轴的交点除外）都可以构成一个△ADC．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD﹣CD|＜AC′．所以最大值就是在D是AC′延长线上的点的时候取到|AD﹣C′D|=AC′．把A，C′两点坐标代入，得到过AC′的直线的解析式即可；
设直线AC′的解析式为y=kx+b，
∴
解得：
∴直线AC′的解析式为y=3x﹣12，
当x=2时，y=﹣6，
∴D点的坐标为（2，﹣6）．
故答案为：（2，﹣6）．
【分析】首先利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后可求得抛物线的对称轴方程x=2，又由作点C关于x=2的对称点C′，直线AC′与x=2的交点即为D，求得直线AC′的解析式，即可求得答案．
三、综合题
17．（2020九上·路北期中）抛物线顶点坐标是 且经过点 ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线与坐标轴的交点坐标．
【答案】（1）解：设抛物线的解析式为 ，
∵抛物线经过 ，
∴ ，
解得：
∴ （或 ）
（2）解：令 得 ，
故 轴交点为
令 得 ，
解得 ， ，
进而得出 轴交点为 或
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）设出抛物线的顶点式，将点C的坐标代入抛物线，即可得到抛物线的解析式；
（2）令x=0，即可得到抛物线与y轴的交点；令y=0，即可得到抛物线与x轴的交点。
18．（2020九上·平果月考）已知函数y＝3（x－4）2－27．
（1）写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？
（3）当x取何值时，函数取得最值？并求出最值．
【答案】（1）解：开口向上，对称轴为直线x＝4，顶点坐标为(4，－27)．
（2）解：当x＞4时，y随x的增大而增大；当x＜4时，y随x的增大而减小．
（3）解：当x＝4时，函数y取得最小值，最小值为－27．
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）根据顶点式的特点即可求解；（2）根据对称轴即可求解；（3）根据函数的顶点坐标及函数图象即可求解．
1 / 1初中数学人教版九年级上册——22.1.3二次函数y=a(x-h) +k的图像和性质②
一、单选题
1．（2021九上·扶风期末）关于抛物线： ，下列说法正确的是（ ）.
A．它的开口方向向上
B．它的顶点坐标是
C．当 时，y随x的增大而增大
D．对称轴是直线
2．（2020·阿城模拟）由抛物线 得到抛物线 是经过怎样平移的（ ）
A．右移1个单位上移2个单位 B．右移1个单位下移2个单位
C．左移1个单位下移2个单位 D．左移1个单位上移2个单位
3．（2021·阜新）如图，二次函数 的图象与x轴交于A， 两点，则下列说法正确的是（ ）
A． B．点A的坐标为
C．当 时，y随x的增大而减小 D．图象的对称轴为直线
4．（2020·河南模拟）如果点 是抛物线 上两个不同的点，那么 的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
5．（2021·长垣模拟）若A（﹣3，y1），B（﹣2，y2），C（2，y3）为二次函数y＝（x＋2）2＋k的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y1＜y2 D．y2＜y1＜y3
6．（2021·温州模拟）已知二次函数y=x2-6x+8，当0A．3 B．4 C．6 D．7
7．（2020九上·三台月考）不论 取任何实数，抛物线 的顶点都（ ）.
A．在 直线上 B．在直线 上
C．在直线 上 D．不确定
8．（2020九上·鼓楼月考）已知二次函数 ，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是
C．当 时，y随x的增大而增大 D．图象与x轴有唯一交点
9．（2020九上·江城月考）对于抛物线y=-2(x+1)2+3，下列结论：
①抛物线的开口向下②对称轴为直线x=1
③顶点坐标为(1，3)④x>1时，y随x的增大而减小
其中正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2020·镇江）点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上.则m﹣n的最大值等于（ ）
A． B．4 C．﹣ D．﹣
二、填空题
11．（2020九上·小店月考）已知点 ， ， 都在函数 的图象上，则 ， ， 的大小关系是 ．
12．（2020九上·右玉月考）二次函数 ，当 时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是
13．（2020·上海模拟）若抛物线y＝（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第二象限，则m的取值范围为 ．
14．如图，抛物线y1=a（x+2）2﹣3与y2= （x﹣3）2+1交于点A（1，3），过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．则以下结论：
①无论x取何值，y2的值总是正数；
②a=1；
③当x=0时，y2﹣y1=4
④2AB=3AC．
其中正确结论是 ．
15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y= x2﹣x与x轴交于点A，点P在抛物线上，连结AP．若△OAP是以OA为底边的等腰三角形，则△OAP的面积是 ．
16．已知抛物线经过点A（4，0）．设点C（1，﹣3），请在抛物线的对称轴上确定一点D，使得|AD﹣CD|的值最大，则D点的坐标为
三、综合题
17．（2020九上·路北期中）抛物线顶点坐标是 且经过点 ．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求该抛物线与坐标轴的交点坐标．
18．（2020九上·平果月考）已知函数y＝3（x－4）2－27．
（1）写出此函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；
（2）当x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？
（3）当x取何值时，函数取得最值？并求出最值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：A、∵ ，∴抛物线 的开口向下，故A选项错误；
B、抛物线 的顶点坐标是 ，故B选项错误；
C、对抛物线 ，当 时，y随x增大而增大，故C选项正确；
D、抛物线 的对称轴是直线 ，故D选项错误.
故答案为：C.
【分析】 抛物线 的图象开口向下，顶点坐标是 ，对称轴是直线 ，在对称轴的左侧，y随x增大而增大，据此逐一判断即可.
2．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象
【解析】【解答】解： 抛物线 向左平移1个单位，再向上平移2个单位可得 抛物线 .
故答案为：D.
【分析】本题考查的是二次函数图象的平移，掌握“上加下减，左加右减”的规则是解题的关键，也可以根据抛物线顶点坐标的变化确定平移方法.
3．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】由图可得开口向上，故a＞0，A不符合题意；
∵解析式为 ，故对称轴为直线x=-2，D符合题意
∵
∴A点坐标为（-3，0），故B不符合题意；
由图可知当 时，y随x的增大而减小，故C不符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的图象和性质，判断得到答案即可。
4．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵点A（1，3）、B（m，3）是抛物线y=a（x-4）2+h上两个不同的点，
∴A（1，3）与B（m，3）关于对称轴x=4对称，
∴ ，
解得m=7，
故答案为：D.
【分析】根据抛物线的对称性，可知A（1，3）与B（m，3）关于对称轴x=4对称，据此求出m的值即可.
5．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y=（x＋2）2＋k，
∴抛物线开口向上，对称轴为x=﹣2，
∴当 时，y随x的增大而增大，
∴A（﹣3，y1）关于对称轴的对称点为（﹣1，y1），
∵﹣2＜﹣1＜2，
∴y2＜y1＜y3，
故答案为：D.
【分析】根据函数解析式的特点，其对称轴为x=-2，利用二次函数的性质即可判断.
6．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵y=x2-6x+8=（x-3）2-1，
∴该二次函数的对称轴为3，
∴当x=3时，ymin=-1，
当y=8时，x=6，
∴m=6，
故答案为：C.
【分析】运用二次函数的性质和函数解析式即可求解.
7．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：函数 的顶点坐标为 ，
令 ，则 ，
，
∴顶点坐标在直线 上.
故答案为：C.
【分析】根据顶点式可求顶点坐标为（-m，m+1），即可判断顶点所在直线.
8．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解： ，
＞ 图像的开口向上，故A符合题意；
由 可得顶点坐标为： ，故B不符合题意；
当 时，y随x的增大而减小，故C不符合题意；
当 时， 可得： 方程无解，所以函数图象与x轴没有交点，故D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】二次函数，抛物线开口向上，对称轴是直线x=1，顶点（1，5），在对称轴的右侧，y随x的增大而增大，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，据此判断A，B，C；求出抛物线，当 时的y值，据此结果判断即可.
9．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解： 对于抛物线y=-2(x+1)2+3，
①由a=-2＜0，抛物线的开口向下，故①正确；
②对称轴为直线x=-1，故②错误；
③顶点坐标为(-1，3) ，故③错误；
④x>1时，y随x的增大而减小，故④正确，
正确的个数有2个.
故答案为：B.
【分析】抛物线的解析式为y=-2(x+1)2+3，根据抛物线的图象和性质得出抛物线的开口向下，对称轴为直线x=-1，顶点坐标为(-1，3) ，x>1时，y随x的增大而减小，逐项判断，即可求解.
10．【答案】C
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，
∴a＝0，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣ ）2﹣ ，
∴当m＝ 时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣ ，
故答案为：C.
【分析】根据题意，可以得到a的值以及m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可求出m﹣n的最大值.
11．【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解： ，
图象的开口向上，对称轴是直线 ，
关于对称轴的对称点为 ，
，
，
故答案为： ．
【分析】先求出二次函数的对称轴，将所有点放到对称轴的一边，再利用二次函数的性质求解即可。
12．【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数 ，开口向上，
当 时，y随x的增大而增大，
∴ ，
故答案为： .
【分析】根据二次函数的性质即可求解．
13．【答案】﹣1＜m＜0
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】∵y＝（x﹣m）2+（m+1），
∴顶点为（m，m+1），
∵顶点在第二象限，
∴m＜0，m+1＞0，
∴﹣1＜m＜0，
故答案为﹣1＜m＜0．
【分析】求出函数的顶点坐标为（m，m+1），再由第二象限点的坐标特点的得到：m＜0，m+1＞0即可求解．
14．【答案】①④
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】（1）∵抛物线y2= （x﹣3）2+1的开口向上，顶点在x轴上方，
∴y2的值总是正数.故①正确；
（ 2 ）把点A（1，3）代入y1=a（x+2）2﹣3得：3=a(1+2)2-3，解得：a= ，
∴②错误；
（ 3 ）∵当 时， ， ，
∴ .
∴③错误；
（ 4 ）∵在 中，当 时，可得 ，解得： ，∴点B的坐标为（-5，3）；
∵在 中，当 时，可得 ，解得： ，
∴点C的坐标为（5，3）；
∴AB=6，AC=4，
∴2AB=3AC.
∴④正确；
综上所述：正确的是①④
【分析】①由图知，抛物线开口向上，顶点在x轴上方，所以的值总是正数；
②由题意把点A（1，3）代入解析式即可求得a的值；
③把x=0分别代入和中计算即可求解；
④由②可得的解析式，由题意易求得点B和C的坐标，则AB和AC的长可求解，根据所求的长度即可判断。
15．【答案】
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：令y=0，则 x2 x=0，解得x=0或2，
∴点A坐标(2，0)，
∵△OAP是以OA为底边的等腰三角形，
∴点P是抛物线顶点，
∴点P坐标(1， )，
∴S△OAP= ×2× =
【分析】先求出抛物线与x轴的交点坐标即得OA的长，再由抛物线和等腰三角形的对称性可知点P在抛物线的顶点上，求出抛物线的顶点坐标即可解决。
16．【答案】（2，﹣6）
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线经过点A（4，0），
∴×42+4b=0，
∴b=﹣2，
∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x=（x﹣2）2﹣2，
∴抛物线的对称轴为：直线x=2，
∵点C（1，﹣3），
∴作点C关于x=2的对称点C′（3，﹣3），
直线AC′与x=2的交点即为D，
因为任意取一点D（AC与对称轴的交点除外）都可以构成一个△ADC．而在三角形中，两边之差小于第三边，即|AD﹣CD|＜AC′．所以最大值就是在D是AC′延长线上的点的时候取到|AD﹣C′D|=AC′．把A，C′两点坐标代入，得到过AC′的直线的解析式即可；
设直线AC′的解析式为y=kx+b，
∴
解得：
∴直线AC′的解析式为y=3x﹣12，
当x=2时，y=﹣6，
∴D点的坐标为（2，﹣6）．
故答案为：（2，﹣6）．
【分析】首先利用待定系数法求得抛物线的解析式，然后可求得抛物线的对称轴方程x=2，又由作点C关于x=2的对称点C′，直线AC′与x=2的交点即为D，求得直线AC′的解析式，即可求得答案．
17．【答案】（1）解：设抛物线的解析式为 ，
∵抛物线经过 ，
∴ ，
解得：
∴ （或 ）
（2）解：令 得 ，
故 轴交点为
令 得 ，
解得 ， ，
进而得出 轴交点为 或
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）设出抛物线的顶点式，将点C的坐标代入抛物线，即可得到抛物线的解析式；
（2）令x=0，即可得到抛物线与y轴的交点；令y=0，即可得到抛物线与x轴的交点。
18．【答案】（1）解：开口向上，对称轴为直线x＝4，顶点坐标为(4，－27)．
（2）解：当x＞4时，y随x的增大而增大；当x＜4时，y随x的增大而减小．
（3）解：当x＝4时，函数y取得最小值，最小值为－27．
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的图象；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【分析】（1）根据顶点式的特点即可求解；（2）根据对称轴即可求解；（3）根据函数的顶点坐标及函数图象即可求解．
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