初中数学人教版九年级上册——22.2二次函数与一元二次方程
一、单选题
1．（2021·攸县模拟）二次函数 （a，b，c为常数，且 ）中的x与y的部分对应值如下表：
x -1 0 1 3
y -1 3 5 3
下列结论：① ；② ；③当 时，y随着x的增大而减小；④-1和3是方程 的根，其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．（2021·开福模拟）如图，是抛物线 （ ）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线 （ ）与抛物线交于A，B两点，下列结论：① ； ②抛物线与x轴的另一个交点是（ ，0）；③方程 有两个相等的实数根；④当时 ，有 ；⑤若 ，且 ；则 .则命题正确的个数为（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
3．（2021·路北模拟）如图，抛物线 的对称轴为直线 ，若关于 的一元二次方程 （ 为实数）在 的范围内有解，则 的取值错误的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·南召模拟）若函数 的图象如图所示，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
5．（2021·龙港模拟）已知二次函数y＝﹣ +bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（ ）
A．5 B．7 C．12 D．﹣7
6．（2021·江都模拟）关于x的一元二次方程 （t为实数）有且只有一个根在 的范围内，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D．
7．（2021·汝阳模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c，且a＜0，a-b+c＞0，则一定有（ ）
A． B． C． D．
8．（2021九上·甘州期末）若方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两个根是﹣3和1，则对于二次函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．﹣3＜x＜1 B．x＜﹣3或x＞1
C．x＞﹣3 D．x＜1
9．（2020九上·龙岗期中）根据下列表格的对应值：判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根x的大致范围是（ ）
x 6.17 6.18 6.19 6.20
ax2＋bx＋c 0.03 0.01 0.02 0.04
A．6.19C．6.1710．（2020九上·越城期中）如图，一次函数y1＝2x与二次函数y2＝ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2+（b﹣2）x+c的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．（2021九上·绥中期末）已知抛物线 与 轴交点的坐标分别为 ， ，则一元二次方程 的根为 .
12．（2021九下·自贡开学考）若一元二次方程2x2﹣2x+m＝0有实数根，则m的取值范围是 .
13．（2021·下陆模拟）抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（﹣1，4），B（2，4），则关于x的一元二次方程a（x﹣3）2﹣4＝3b﹣bx﹣c的解为 .
14．（2021九上·渭南期末）将二次函数 的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位若得到的函数图象与直线 有两个交点，则a的取值范围是 .
15．二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为x=1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是 ．
16．（2020九上·杭州月考）如图，已知顶点为 的抛物线 经过点 ，下列结论：① ；② ；③若点 在抛物线上，则 ；④关于 的一元二次方程 的两根为 和 ，其中正确的是 .
三、解答题
17．（2020九上·科尔沁左翼中旗期中）已知二次函数 ．求证：不论 为何实数，此二次函数的图象与 轴都有两个不同交点．
18．（2021·富阳模拟）已知二次函数 .
（1）求证：二次函数的图象必过点 ；
（2）若点 ， 在函数图象上， ，求该函数的表达式；
（3）若该函数图象与x轴有两个交点 ， ，求证： .
19．（2019·福田模拟）如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝x﹣5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】∵当 时， ；当 时， ；当 时， ，
∴ ，解得： ，
故该二次函数为 ，且改为顶点式为 .
∴ ，故①正确；
，故②正确；
∵ ，且对称轴为 ，
∴当 时，y随x的增大而减小，故③错误；
方程 为 ，即 ，
解方程 ，得： ，故④正确.
综上正确的为①②④，共3个.
故答案为：C.
【分析】利用待定系数法求出此二次函数解析式，再结合二次函数的性质和解一元二次方程逐项判断即可.
2．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（1，3），
∴
∴2a+b=0，故①正确；
∵抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标的横坐标为1-3=-2
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标的横坐标为（-2.，0），故②正确；
∵将抛物线y=ax2+bx+c向下平移3个单位可得到y=ax2+bx+c-3，
∴顶点坐标由（1，3）变为（1，0）
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，故③正确；
由图象可知当1＜x＜4时，y2＜y1，故④正确；
若ax12+bx1=ax22+bx2，则ax12+bx1+c=ax22+bx2+c
∴y2=y1，
∴x1和x2关于函数的对称轴对称，
由①可知抛物线的对称轴为直线，
∴
∴x1+x2=2，故⑤错误；
∴正确结论有4个.
故答案为：B.
【分析】利用抛物线的对称轴为直线x=1，可对①作出判断；利用抛物线关于直线x=1对称，可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，可对②作出判断；利用二次函数的平移规律：上加下减，可得到平移后的抛物线的顶点坐标，可对③作出判断；观察函数图象可知当1＜x＜4时，y2＜y1，可对④作出判断；利用二次函数的对称性，可知x1和x2关于函数的对称轴对称，由此可求出x1+x2的值，可对⑤作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
3．【答案】A
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴
解得，m=4．
∴抛物线的解析式为
当x=2时，
∴抛物线的顶点坐标为（2，4）．
当x=1时，
当x=3时，
∵关于x的一元二次方程是 ，
∴ ．
∵方程 在 的范围内有解，
∴抛物线 与直线y=t在 范围内有公共点，如图所示．
故答案为：A
【分析】结合函数图象分析求解即可。
4．【答案】A
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解： 函数的顶点的纵坐标为-3，
直线 与函数图象只有一个交点，
相当于函数 向上平移5个单位，
关于x的一元二次方程 的根的情况为没有实数根.
故答案为：A.
【分析】由图可知 的顶点纵坐标，可知函数与直线 的交点，再将 看作是函数 向上平移5个单位，结合图象即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】∵二次函数y＝﹣ +bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，
∴ ，
解得： ，
将b＝4，c＝5代入方程﹣ +bx+c+d＝0，
得：﹣ +4x+5+d＝0，
又∵关于x的方程﹣ +4x+5+d＝0有两个根，其中一个根是6，
∴把x＝6代入方程﹣ +4x+5+d＝0，
得：﹣36+4×6+5+d＝0，
解得：d＝7，
经验证d＝7时，△＞0，符合题意，
∴d＝7.
故答案为：B.
【分析】先利用待定系数法确定二次函数解析式，从而确定b，c的值，化简给出的方程，利用一元二次方程根的定义求解即可
6．【答案】C
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：根据题意得， ，
，
①当 时，即 ，
原方程为 ，
，满足条件；
②当 时，原方程有两个不相等的实数根，在平面直角坐标系中画出函数图象，如图所示，观察图象可知，当 时，方程的两个根一个小于等于-2，另一个大于等于4；
当 时，方程的两个根一个在 范围内，另一个在 范围内；
当 时，方程的两个根都在 范围内；
即满足条件的t的范围为 或 ，
故答案为：C.
【分析】由题意得出原方程有两个实数根，进而分两种情况讨论：①当 时，得出 ，②当 时，利用二次函数图象，即可得出结论.
7．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵a＜0，
∴抛物线的开口向下.
∵a-b+c＞0，
∴当x=-1时，y=a-b+c＞0，
画草图得：抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0.
故答案为：A.
【分析】由a＜0可以得到抛物线的开口向下，又a-b+c＞0，所以当x=-1时，y=a-b+c＞0，画草图可以推出抛物线与x轴有两个交点，由此可以得到b2-4ac＞0.
8．【答案】B
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵a＞0，故抛物线开口向上，由题意知，抛物线与x轴的两个交点坐标为（﹣3，0）、（1，0），
∴当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞1，
故答案为：B.
【分析】由a＞0可知，抛物线开口向上，在x轴上方的图象所对应的y值大于0，此时x的取值在抛物线与x轴的两个交点之外，即：当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞1.
9．【答案】B
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：∵当x＝6.18时，y＝ 0.01＜0；当x＝6.19时，y＝0.02＞0，
∴当x在6.18＜x＜6.19的范围内取某一值时，对应的函数值为0，即ax2＋bx＋c＝0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0（其中a，b，c是常数，且a≠0）的一个根x的大致范围为6.18＜x＜6.19．
故答案为：B．
【分析】观察表中数据得到当x＝6.18时，y＝ 0.01＜0；当x＝6.19时，y＝0.02＞0，则可判断当x在6.18＜x＜6.19的范围内取某一值时，对应的函数值为0，即ax2＋bx＋c＝0，所以可确定方程ax2＋bx＋c＝0的一个根的大致范围为6.18＜x＜6.19．
10．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵ 一次函数y1＝2x与二次函数y2＝ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，
∴一元二次方程ax2+（b-2）x+c=0有两个不相等的实数根，
∴ 函数y＝ax2+（b-2）x+c的图象与x轴有两个交点，
∵a＞0，-＞0，
∴-＞0，
∴ 函数y＝ax2+（b-2）x+c的对称轴x=-＞0，
∴A符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据题意可知：a＞0，-＞0，方程ax2+（b-2）x+c=0有两个不相等的实数根，得出函数y＝ax2+（b-2）x+c的图象与x轴有两个交点，对称轴x=-＞0，即可得出答案.
11．【答案】 ，
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：物线 与 轴交点的坐标分别为 ， ，
则一元二次方程 的根为： 或3，
故答案为： ， .
【分析】根据抛物线 与 轴交点的横坐标是一元二次方程 的根，即可求解.
12．【答案】m≤
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：△=（-2）2-4×2×m
=4-8m≥0，
∴m≤，
故答案为：m≤.
【分析】一元二次方程有解的条件是△≥0，据此列式求解即可.
13．【答案】2或5
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（﹣1，4），B（2，4），
即y＝ax2＋bx＋c＝4时，x＝﹣1或2，
则将上述抛物线向右平移3个单位得到y＝a（x﹣3）2＋b（x﹣3）＋c，
则y＝4时，即y＝a（x﹣3）2＋b（x﹣3）＋c＝4，即a（x﹣3）2﹣4＝3b﹣bx﹣c，
则点A、B也向右平移了3个单位，则x＝2或5，
故答案为2或5.
【分析】利用点A，B的纵坐标相等，可得到当y=4时的x的值，将上述抛物线向右平移3个单位得到y＝a（x﹣3）2＋b（x﹣3）＋c，由此可得到点A、B也向右平移了3个单位，可得到x的值即方程a（x﹣3）2﹣4＝3b﹣bx﹣c的解.
14．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴将二次函数 的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的函数解析式为 ，即 ，
将y=2代入，得 ，即 ，
由题意，得△=4-4（a-4）＞0，解得：a＜5.
故答案为：a＜5.
【分析】根据题意先利用配方法将 化为顶点式，再根据左加右减，上加下减的平移规律得出平移后直线的解析式，将y=2代入得到一元二次方程，然后根据判别式△＞0列出不等式，求出a的取值范围.
15．【答案】﹣1≤t＜8
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】解：对称轴为直线x=﹣=1，
解得b=﹣2，
所以，二次函数解析式为y=x2﹣2x，
y=（x﹣1）2﹣1，
x=﹣1时，y=1+2=3，
x=4时，y=16﹣2×4=8，
∵x2+bx﹣t=0相当于y=x2+bx与直线y=t的交点的横坐标，
∴当﹣1≤t＜8时，在﹣1＜x＜4的范围内有解．
故答案为：﹣1≤t＜8．
【分析】根据对称轴求出b的值，从而得到x=﹣1、4时的函数值，再根据一元二次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解相当于y=x2+bx与y=t在x的范围内有交点解答．
16．【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴
即 ，所以①正确；
∵抛物线的顶点坐标为( 3, 6)，
即x= 3时，函数有最小值，
∴ ，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x= 3，
而点( 2,m),( 5,n)在抛物线上，
∴m∵抛物线 经过点( 1, 4)，
而抛物线的对称轴为直线x= 3，
∴点( 1, 4)关于直线x= 3的对称点( 5, 4)在抛物线上，
∴关于x的一元二次方程 的两根为 5和 1，所以④正确.
故答案为：①②④
【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的顶点坐标可对②进行判断；由顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-3，则根据二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线y=ax2+bx+c上的点（-1，-4）的对称点为（-5，-4），则可对④进行判断.
17．【答案】解： ，不论 为何值时，都有 ，此时二次函数图象与 轴有两个不同交点．
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】利用判别式的值得到 ，从而得到 ，然后根据判别式的意义得到结论．
18．【答案】（1）证明：由二次函数 可化为 ，
∴令y=0时，则有 ，
解得： ，
∴二次函数的图象必过点 ；
（2）解：由（1）可得： ，则把点 ， 代入得：
， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴该函数表达式为： 或 ；
（3）证明：由题意得：当y=0时，则 是方程 的两个不相等的实数根，
∴根据一元二次方程根与系数的关系可得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 .
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）把二次函数的解析式（一般式）化为两点式，再求解即可；
（2） 把点 ， 代入解析式，然后结合 ，从而求解即可；
（3）由题意得：令y=0，得： ，即 是方程 的两个不相等的实数根，再根据韦达定理（根与系数的关系）进行求解.
19．【答案】（1）解：当x＝0时，y＝x﹣5＝﹣5，则C（0，﹣5），
当y＝0时，x﹣5＝0，解得x＝5，则B（5，0），
把B（5，0），C（0，﹣5）代入y＝ax2+6x+c得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）解：①解方程﹣x2+6x﹣5＝0得x1＝1，x2＝5，则A（1，0），
∵B（5，0），C（0，﹣5），
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵AM⊥BC，
∴△AMB为等腰直角三角形，
∴AM AB 4＝2 ，
∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，
∴PQ＝AM＝2 ，PQ⊥BC，
作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，
则∠PDQ＝45°，
∴PD PQ 2 4，
设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），
当P点在直线BC上方时，
PD＝﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）＝﹣m2+5m＝4，解得m1＝1，m2＝4，
当P点在直线BC下方时，
PD＝m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）＝m2﹣5m＝4，解得m1 ，m2 ，
综上所述，P点的横坐标为4或 或 ；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，
∵M1A＝M1C，
∴∠ACM1＝∠CAM1，
∴∠AM1B＝2∠ACB，
∵△ANB为等腰直角三角形，
∴AH＝BH＝NH＝2，
∴N（3，﹣2），
易得AC的解析式为y＝5x﹣5，E点坐标为（ ， ），
设直线EM1的解析式为y x+b，
把E（ ， ）代入得 b ，解得b ，
∴直线EM1的解析式为y x ，
解方程组 得 ，则M1（ ， ）；
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C＝∠AM1B＝2∠ACB，
设M2（x，x﹣5），
∵3 ，
∴x ，
∴M2（ ， ），
综上所述，点M的坐标为（ ， ）或（ ， ）．
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据直线的解析式求出点A和点B的坐标，将二者的坐标代入抛物线中，即可得到抛物线的解析式。
（2）根据（1）中得到的式子，解出两个根，得到点A和点B和点C三个点的坐标，即可得到三角形OCB为等腰直角三角形，根据新的抛物线公式联立计算出两个点的坐标即可。
1 / 1初中数学人教版九年级上册——22.2二次函数与一元二次方程
一、单选题
1．（2021·攸县模拟）二次函数 （a，b，c为常数，且 ）中的x与y的部分对应值如下表：
x -1 0 1 3
y -1 3 5 3
下列结论：① ；② ；③当 时，y随着x的增大而减小；④-1和3是方程 的根，其中正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】∵当 时， ；当 时， ；当 时， ，
∴ ，解得： ，
故该二次函数为 ，且改为顶点式为 .
∴ ，故①正确；
，故②正确；
∵ ，且对称轴为 ，
∴当 时，y随x的增大而减小，故③错误；
方程 为 ，即 ，
解方程 ，得： ，故④正确.
综上正确的为①②④，共3个.
故答案为：C.
【分析】利用待定系数法求出此二次函数解析式，再结合二次函数的性质和解一元二次方程逐项判断即可.
2．（2021·开福模拟）如图，是抛物线 （ ）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线 （ ）与抛物线交于A，B两点，下列结论：① ； ②抛物线与x轴的另一个交点是（ ，0）；③方程 有两个相等的实数根；④当时 ，有 ；⑤若 ，且 ；则 .则命题正确的个数为（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（1，3），
∴
∴2a+b=0，故①正确；
∵抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标的横坐标为1-3=-2
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标的横坐标为（-2.，0），故②正确；
∵将抛物线y=ax2+bx+c向下平移3个单位可得到y=ax2+bx+c-3，
∴顶点坐标由（1，3）变为（1，0）
∴方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根，故③正确；
由图象可知当1＜x＜4时，y2＜y1，故④正确；
若ax12+bx1=ax22+bx2，则ax12+bx1+c=ax22+bx2+c
∴y2=y1，
∴x1和x2关于函数的对称轴对称，
由①可知抛物线的对称轴为直线，
∴
∴x1+x2=2，故⑤错误；
∴正确结论有4个.
故答案为：B.
【分析】利用抛物线的对称轴为直线x=1，可对①作出判断；利用抛物线关于直线x=1对称，可得到抛物线与x轴的另一个交点坐标，可对②作出判断；利用二次函数的平移规律：上加下减，可得到平移后的抛物线的顶点坐标，可对③作出判断；观察函数图象可知当1＜x＜4时，y2＜y1，可对④作出判断；利用二次函数的对称性，可知x1和x2关于函数的对称轴对称，由此可求出x1+x2的值，可对⑤作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
3．（2021·路北模拟）如图，抛物线 的对称轴为直线 ，若关于 的一元二次方程 （ 为实数）在 的范围内有解，则 的取值错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=2，
∴
解得，m=4．
∴抛物线的解析式为
当x=2时，
∴抛物线的顶点坐标为（2，4）．
当x=1时，
当x=3时，
∵关于x的一元二次方程是 ，
∴ ．
∵方程 在 的范围内有解，
∴抛物线 与直线y=t在 范围内有公共点，如图所示．
故答案为：A
【分析】结合函数图象分析求解即可。
4．（2021·南召模拟）若函数 的图象如图所示，则关于x的一元二次方程 的根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．只有一个实数根
C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根
【答案】A
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解： 函数的顶点的纵坐标为-3，
直线 与函数图象只有一个交点，
相当于函数 向上平移5个单位，
关于x的一元二次方程 的根的情况为没有实数根.
故答案为：A.
【分析】由图可知 的顶点纵坐标，可知函数与直线 的交点，再将 看作是函数 向上平移5个单位，结合图象即可得出答案.
5．（2021·龙港模拟）已知二次函数y＝﹣ +bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，且关于x的方程﹣x2+bx+c+d＝0有两个根，其中一个根是6，则d的值为（ ）
A．5 B．7 C．12 D．﹣7
【答案】B
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】∵二次函数y＝﹣ +bx+c的图象经过（﹣1，0）与（5，0）两点，
∴ ，
解得： ，
将b＝4，c＝5代入方程﹣ +bx+c+d＝0，
得：﹣ +4x+5+d＝0，
又∵关于x的方程﹣ +4x+5+d＝0有两个根，其中一个根是6，
∴把x＝6代入方程﹣ +4x+5+d＝0，
得：﹣36+4×6+5+d＝0，
解得：d＝7，
经验证d＝7时，△＞0，符合题意，
∴d＝7.
故答案为：B.
【分析】先利用待定系数法确定二次函数解析式，从而确定b，c的值，化简给出的方程，利用一元二次方程根的定义求解即可
6．（2021·江都模拟）关于x的一元二次方程 （t为实数）有且只有一个根在 的范围内，则t的取值范围是（ ）
A． B．
C． 或 D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：根据题意得， ，
，
①当 时，即 ，
原方程为 ，
，满足条件；
②当 时，原方程有两个不相等的实数根，在平面直角坐标系中画出函数图象，如图所示，观察图象可知，当 时，方程的两个根一个小于等于-2，另一个大于等于4；
当 时，方程的两个根一个在 范围内，另一个在 范围内；
当 时，方程的两个根都在 范围内；
即满足条件的t的范围为 或 ，
故答案为：C.
【分析】由题意得出原方程有两个实数根，进而分两种情况讨论：①当 时，得出 ，②当 时，利用二次函数图象，即可得出结论.
7．（2021·汝阳模拟）已知二次函数y=ax2+bx+c，且a＜0，a-b+c＞0，则一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c的图象；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵a＜0，
∴抛物线的开口向下.
∵a-b+c＞0，
∴当x=-1时，y=a-b+c＞0，
画草图得：抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0.
故答案为：A.
【分析】由a＜0可以得到抛物线的开口向下，又a-b+c＞0，所以当x=-1时，y=a-b+c＞0，画草图可以推出抛物线与x轴有两个交点，由此可以得到b2-4ac＞0.
8．（2021九上·甘州期末）若方程ax2+bx+c＝0（a＞0）的两个根是﹣3和1，则对于二次函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，x的取值范围是（ ）
A．﹣3＜x＜1 B．x＜﹣3或x＞1
C．x＞﹣3 D．x＜1
【答案】B
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵a＞0，故抛物线开口向上，由题意知，抛物线与x轴的两个交点坐标为（﹣3，0）、（1，0），
∴当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞1，
故答案为：B.
【分析】由a＞0可知，抛物线开口向上，在x轴上方的图象所对应的y值大于0，此时x的取值在抛物线与x轴的两个交点之外，即：当y＞0时，x的取值范围是x＜﹣3或x＞1.
9．（2020九上·龙岗期中）根据下列表格的对应值：判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个根x的大致范围是（ ）
x 6.17 6.18 6.19 6.20
ax2＋bx＋c 0.03 0.01 0.02 0.04
A．6.19C．6.17【答案】B
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：∵当x＝6.18时，y＝ 0.01＜0；当x＝6.19时，y＝0.02＞0，
∴当x在6.18＜x＜6.19的范围内取某一值时，对应的函数值为0，即ax2＋bx＋c＝0，
∴方程ax2＋bx＋c＝0（其中a，b，c是常数，且a≠0）的一个根x的大致范围为6.18＜x＜6.19．
故答案为：B．
【分析】观察表中数据得到当x＝6.18时，y＝ 0.01＜0；当x＝6.19时，y＝0.02＞0，则可判断当x在6.18＜x＜6.19的范围内取某一值时，对应的函数值为0，即ax2＋bx＋c＝0，所以可确定方程ax2＋bx＋c＝0的一个根的大致范围为6.18＜x＜6.19．
10．（2020九上·越城期中）如图，一次函数y1＝2x与二次函数y2＝ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，则函数y＝ax2+（b﹣2）x+c的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵ 一次函数y1＝2x与二次函数y2＝ax2+bx+c图象相交于P、Q两点，
∴一元二次方程ax2+（b-2）x+c=0有两个不相等的实数根，
∴ 函数y＝ax2+（b-2）x+c的图象与x轴有两个交点，
∵a＞0，-＞0，
∴-＞0，
∴ 函数y＝ax2+（b-2）x+c的对称轴x=-＞0，
∴A符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据题意可知：a＞0，-＞0，方程ax2+（b-2）x+c=0有两个不相等的实数根，得出函数y＝ax2+（b-2）x+c的图象与x轴有两个交点，对称轴x=-＞0，即可得出答案.
二、填空题
11．（2021九上·绥中期末）已知抛物线 与 轴交点的坐标分别为 ， ，则一元二次方程 的根为 .
【答案】 ，
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：物线 与 轴交点的坐标分别为 ， ，
则一元二次方程 的根为： 或3，
故答案为： ， .
【分析】根据抛物线 与 轴交点的横坐标是一元二次方程 的根，即可求解.
12．（2021九下·自贡开学考）若一元二次方程2x2﹣2x+m＝0有实数根，则m的取值范围是 .
【答案】m≤
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：△=（-2）2-4×2×m
=4-8m≥0，
∴m≤，
故答案为：m≤.
【分析】一元二次方程有解的条件是△≥0，据此列式求解即可.
13．（2021·下陆模拟）抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（﹣1，4），B（2，4），则关于x的一元二次方程a（x﹣3）2﹣4＝3b﹣bx﹣c的解为 .
【答案】2或5
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（﹣1，4），B（2，4），
即y＝ax2＋bx＋c＝4时，x＝﹣1或2，
则将上述抛物线向右平移3个单位得到y＝a（x﹣3）2＋b（x﹣3）＋c，
则y＝4时，即y＝a（x﹣3）2＋b（x﹣3）＋c＝4，即a（x﹣3）2﹣4＝3b﹣bx﹣c，
则点A、B也向右平移了3个单位，则x＝2或5，
故答案为2或5.
【分析】利用点A，B的纵坐标相等，可得到当y=4时的x的值，将上述抛物线向右平移3个单位得到y＝a（x﹣3）2＋b（x﹣3）＋c，由此可得到点A、B也向右平移了3个单位，可得到x的值即方程a（x﹣3）2﹣4＝3b﹣bx﹣c的解.
14．（2021九上·渭南期末）将二次函数 的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位若得到的函数图象与直线 有两个交点，则a的取值范围是 .
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ ，
∴将二次函数 的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到的函数解析式为 ，即 ，
将y=2代入，得 ，即 ，
由题意，得△=4-4（a-4）＞0，解得：a＜5.
故答案为：a＜5.
【分析】根据题意先利用配方法将 化为顶点式，再根据左加右减，上加下减的平移规律得出平移后直线的解析式，将y=2代入得到一元二次方程，然后根据判别式△＞0列出不等式，求出a的取值范围.
15．二次函数y=x2+bx的图象如图，对称轴为x=1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t=0（为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解，则t的取值范围是 ．
【答案】﹣1≤t＜8
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】解：对称轴为直线x=﹣=1，
解得b=﹣2，
所以，二次函数解析式为y=x2﹣2x，
y=（x﹣1）2﹣1，
x=﹣1时，y=1+2=3，
x=4时，y=16﹣2×4=8，
∵x2+bx﹣t=0相当于y=x2+bx与直线y=t的交点的横坐标，
∴当﹣1≤t＜8时，在﹣1＜x＜4的范围内有解．
故答案为：﹣1≤t＜8．
【分析】根据对称轴求出b的值，从而得到x=﹣1、4时的函数值，再根据一元二次方程x2+bx﹣t=0（t为实数）在﹣1＜x＜4的范围内有解相当于y=x2+bx与y=t在x的范围内有交点解答．
16．（2020九上·杭州月考）如图，已知顶点为 的抛物线 经过点 ，下列结论：① ；② ；③若点 在抛物线上，则 ；④关于 的一元二次方程 的两根为 和 ，其中正确的是 .
【答案】①②④
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴
即 ，所以①正确；
∵抛物线的顶点坐标为( 3, 6)，
即x= 3时，函数有最小值，
∴ ，所以②正确；
∵抛物线的对称轴为直线x= 3，
而点( 2,m),( 5,n)在抛物线上，
∴m∵抛物线 经过点( 1, 4)，
而抛物线的对称轴为直线x= 3，
∴点( 1, 4)关于直线x= 3的对称点( 5, 4)在抛物线上，
∴关于x的一元二次方程 的两根为 5和 1，所以④正确.
故答案为：①②④
【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的顶点坐标可对②进行判断；由顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-3，则根据二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线y=ax2+bx+c上的点（-1，-4）的对称点为（-5，-4），则可对④进行判断.
三、解答题
17．（2020九上·科尔沁左翼中旗期中）已知二次函数 ．求证：不论 为何实数，此二次函数的图象与 轴都有两个不同交点．
【答案】解： ，不论 为何值时，都有 ，此时二次函数图象与 轴有两个不同交点．
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】利用判别式的值得到 ，从而得到 ，然后根据判别式的意义得到结论．
18．（2021·富阳模拟）已知二次函数 .
（1）求证：二次函数的图象必过点 ；
（2）若点 ， 在函数图象上， ，求该函数的表达式；
（3）若该函数图象与x轴有两个交点 ， ，求证： .
【答案】（1）证明：由二次函数 可化为 ，
∴令y=0时，则有 ，
解得： ，
∴二次函数的图象必过点 ；
（2）解：由（1）可得： ，则把点 ， 代入得：
， ，
∵ ，
∴ ，
解得： ，
∴该函数表达式为： 或 ；
（3）证明：由题意得：当y=0时，则 是方程 的两个不相等的实数根，
∴根据一元二次方程根与系数的关系可得： ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 .
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）把二次函数的解析式（一般式）化为两点式，再求解即可；
（2） 把点 ， 代入解析式，然后结合 ，从而求解即可；
（3）由题意得：令y=0，得： ，即 是方程 的两个不相等的实数根，再根据韦达定理（根与系数的关系）进行求解.
19．（2019·福田模拟）如图，抛物线y＝ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝x﹣5经过点B，C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A的直线交直线BC于点M．
①当AM⊥BC时，过抛物线上一动点P（不与点B，C重合），作直线AM的平行线交直线BC于点Q，若以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；
②连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍时，请直接写出点M的坐标．
【答案】（1）解：当x＝0时，y＝x﹣5＝﹣5，则C（0，﹣5），
当y＝0时，x﹣5＝0，解得x＝5，则B（5，0），
把B（5，0），C（0，﹣5）代入y＝ax2+6x+c得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+6x﹣5；
（2）解：①解方程﹣x2+6x﹣5＝0得x1＝1，x2＝5，则A（1，0），
∵B（5，0），C（0，﹣5），
∴△OCB为等腰直角三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∵AM⊥BC，
∴△AMB为等腰直角三角形，
∴AM AB 4＝2 ，
∵以点A，M，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，AM∥PQ，
∴PQ＝AM＝2 ，PQ⊥BC，
作PD⊥x轴交直线BC于D，如图1，
则∠PDQ＝45°，
∴PD PQ 2 4，
设P（m，﹣m2+6m﹣5），则D（m，m﹣5），
当P点在直线BC上方时，
PD＝﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）＝﹣m2+5m＝4，解得m1＝1，m2＝4，
当P点在直线BC下方时，
PD＝m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）＝m2﹣5m＝4，解得m1 ，m2 ，
综上所述，P点的横坐标为4或 或 ；
②作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，交AC于E，如图2，
∵M1A＝M1C，
∴∠ACM1＝∠CAM1，
∴∠AM1B＝2∠ACB，
∵△ANB为等腰直角三角形，
∴AH＝BH＝NH＝2，
∴N（3，﹣2），
易得AC的解析式为y＝5x﹣5，E点坐标为（ ， ），
设直线EM1的解析式为y x+b，
把E（ ， ）代入得 b ，解得b ，
∴直线EM1的解析式为y x ，
解方程组 得 ，则M1（ ， ）；
在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，如图2，则∠AM2C＝∠AM1B＝2∠ACB，
设M2（x，x﹣5），
∵3 ，
∴x ，
∴M2（ ， ），
综上所述，点M的坐标为（ ， ）或（ ， ）．
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）根据直线的解析式求出点A和点B的坐标，将二者的坐标代入抛物线中，即可得到抛物线的解析式。
（2）根据（1）中得到的式子，解出两个根，得到点A和点B和点C三个点的坐标，即可得到三角形OCB为等腰直角三角形，根据新的抛物线公式联立计算出两个点的坐标即可。
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