初中数学人教版九年级上册——22.3实际问题与二次函数①关于面积和利润的最值问题
一、单选题
1．（2020九上·上饶月考）小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（ ）
A．4cm2 B．8cm2 C．16cm2 D．32cm2
2．（2021·淄川模拟）某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为（ ）人
A．56 B．55 C．54 D．53
3．（2021·博山模拟）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=-2（x-20）2+1558，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（ ）
A．20 B．1508 C．1550 D．1558
4．（2020九上·文登期末）某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为（ ）
A．35元 B．36元 C．37元 D．36或37元
5．（2021九上·肥城期末）某商品的进价为每件60元，现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润 （单位：元）与每件涨价 （单位：元）之间的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2020九上·马山月考）某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨2元，月销售量就减少10千克．设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝（50+x-40）（500﹣10x）
B．y＝（x+40）（10x﹣500）
C．y＝（x﹣40）[500﹣5（x﹣50）]
D．y＝（50+x-40）（500﹣5x）
7．（2019九上·武威期中）用20cm长的绳子围成一个矩形，如果这个矩形的一边长为xcm，面积是Scm2，则S与x的函数关系式为（ ）
A．S＝x（20﹣x） B．S＝x（20﹣2x）
C．S＝x（10﹣x） D．S＝2x（10﹣x）
8．（2020·平阳模拟）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，并在如图所示位置留2m宽的门。已知计划中的建筑材料可建围墙(不包括门)的总长度为50m。设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m )，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y=-x +50x B．y= x +24x
C．y= x2+25x D．y= x2+26x
9．周长8m的铝合金制成如图所示形状的矩形窗柜，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（ ）m
A． B． C．4 D．
10．（2019九上·长兴月考）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，所有围栏的总长(不含门)为26m，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为（ ）
A．14 B．13 C．9 D．7
二、填空题
11．（2021·老河口模拟）用长为12米的铝合金条制成如图所示的窗框，若窗框的高为x米，当x等于 时窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度不计）.
12．（2021·昆山模拟）如图，矩形 中AB＝2，AD＝5，动点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）.连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则 面积最小值为 .
13．（2020九上·孝义期末）数学课上，老师提出如下问题：“如图，用一段长为 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（墙足够长）．这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？”小慧设菜园的面积为 ，菜园的…为xm，列出 ．则自变量x的实际意义是 ．
14．（2020九上·阳江期末）某种商品每件进价20元，调查表明：在某段时间内以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30-x)件。若使利润最大，则每件的售价应为 。
15．（2020九上·慈溪月考）将进货单价为70元的某种商品按零售单价100元售出时，每天能卖出40个，若这种商品的零售单价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加2个，为了获取最大的日利润，则应把零售单价定为 元.
16．（2020·仙桃）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 元.
三、解答题
17．（2020九上·槐荫期末）某商店经营一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．写出求y与x的函数关系式，每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
18．（2021九上·铁西期末）某超市购进一种商品，进货单价为每件10元在销售过程中超市按相关规定.销售单价不低于1元且不高于19元如果该商品的销售单价x（单位：元/件）与日销售量y（单位：件）满足一次函数关系 ，设该商品的日销售利润为w元，那么当该商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
19．（2020九上·峡江期末）如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），求当矩形ABCD的面积最大时AB的长．
20．（2020九上·铜陵期末）在“美丽乡村”建设中，某村施工人员想利用如图所示的直角墙角，计划再用30米长的篱笆围成一个矩形花园 ，要求把位于图中点 处的一颗景观树圈在花园内，且景观树 与篱笆的距离不小2米．已知点 到墙体 、 的距离分别是8米、16米，如果 、 所在两面墙体均足够长，求符合要求的矩形花园面积 的最大值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形的面积为S，矩形的长为xcm，则宽为 cm，由题意则有
S= x=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∵a=-1＜0，
∴当x=2时，S有最大值为4，
故矩形的最大面积是4cm2，
故答案为：A．
【分析】设矩形的面积为S，矩形的长为xcm，则宽为 cm，利用矩形的面积计算方法列出表达式求最大值即可。
2．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设旅行团人数为x人，此时的营业额为y元，则 ，
由题意得： ，
由二次函数的性质可知，在 内，当 时，y取得最大值，
即若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为55人，
故答案为：B．
【分析】设旅行团人数为x人，此时的营业额为y元，由题意可列出利润与x的函数关系式，进而求得最值得出答案。
3．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：∵一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=-2（x-20）2+1558，且15≤x≤22，
∴当x=20时，y最大值=1558．
故答案为：D．
【分析】将x=20代入 y=-2（x-20）2+1558计算求解即可。
4．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：依题意得：
y=（30-20+x）（240-10x）
y=-10x2+140x+2400．
∵每件首饰售价不能高于40元．
∴0≤x≤10．
∴求y与x的函数关系式为：y=-10x2+140x+2400，x的取值范围为0≤x≤10；
∴y=-10（x-7）2+2890．
∴a=-10＜0．
∴当x=7时，y最大=2890．
∴每件首饰的售价定为：30+7=37元．
∴每件首饰的售价定为37元时，可使月销售利润最大，最大的月利润是2890元．
故答案为：C．
【分析】先求出y=-10x2+140x+2400，再求出0≤x≤10，最后计算求解即可。
5．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：∵ 每涨价1元，每星期要少卖10件，每件涨价x元，
∴ 销售每件的利润为 元，每星期的销售量为 ，
∴ 每星期销售出商品的利润 ．
故答案为：D．
【分析】先求出销售每件的利润为 元，每星期的销售量为 ，再根据利润公式进行计算求解即可。
6．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：y=（50-40+x）（500-）=（50-40+x）（500-5x）
故答案为：D.
【分析】由已知可得月销售利润y=每千克的利润×销售量，列出y与x的函数解析式。
7．【答案】C
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得：S＝x(10﹣x)，
故答案为：C.
【分析】根据题意可得矩形的宽为(10-x)cm，再根据矩形的面积公式S=长×宽可得函数解析式.
8．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意得
故答案为：D.
【分析】由题意可知矩形的长+2宽=52，用含x的代数式表示出矩形的宽，再利用矩形的面积公式就可求出y与x的函数解析式。
9．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设窗户的宽是x，根据题意得
S=
=
∴当窗户宽是 m时，面积最大是 m2
【分析】根据这个窗户的最大透光面积=矩形窗户的长宽并配成顶点式运用二次函数的性质即可求解。
10．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设建成的饲养室面积为Sm2，垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为26+2-3x=（28-3x）m.
S=x（28-3x）=-3x2+28x，
对称轴为直线，
∴a=-3，抛物线的开口向下，当时，S有最大值，
∴
∵一面靠足够长的墙体，
∴利用墙体的长度为14m.
故答案为：A
【分析】由题意可知设建成的饲养室面积为Sm2，垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为（28-3x）m，利用矩形的面积公式建立S与x的函数解析式，再利用二次函数的性质求出x的值及28-3x的值，然后根据一面靠足够长的墙体可得答案。
11．【答案】2
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形窗户的透光面积为 平方米，窗户的高为 米，则窗户的宽为 米，
由此得出 ，
整理得 ，
因为 ，抛物线开口向下，取 得最大值，最大值为6；
故答案为2.
【分析】设矩形窗户的透光面积为S平方米，窗户的高为x 米，利用矩形的性质，可得到y与x之间的函数解析式，利用二次函数的性质，可求出s的最大值.
12．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意得：AP=t，PD=5-t，
∴ ，
∵四边形PCEF是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当t=4时，△DEF的面积最小，最小值为 .
故答案为： .
【分析】由题意得AP=t，PD=5-t，根据三角形的面积公式S△PDC=PD·CD可将三角形PDC的面积用含t的代数式表示出来，由正方形的性质得，在直角三角形PCD中，用勾股定理可将PC2用含t的代数式表示出来，于是根据S△DEF=S正方形EFPC-S△PDC可将S△DEF用含t的代数式表示出来，并配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解.
13．【答案】平行于墙的一边的长度
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】∵矩形的面积
∴x或者 是平行于墙的矩形的长
当 是是平行于墙的矩形的长时， +2x≠30 ，不合题意；
当x是是平行于墙的矩形的长时，2( )+x=30 ，符合合题意；
故答案为：平行于墙的一边的长度
【分析】根据矩形的面积公式可知 ，是长乘以宽，篱笆30m而根据图可知矩形只需要围3面，因此可知x是平行于墙的一边的长度．
14．【答案】25元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设利润为W元，
根据题意得：W=（x-20）（30-x）=-（x-25）2+25，
∴当x=25时，W有最大值，
∴ 若使利润最大，则每件的售价应为25元.
故答案为：25元.
【分析】设利润为W元，根据利润=每件的利润×卖出的件数得出W=（x-20）（30-x），化为W=-（x-25）2+25，再根据二次函数的性质得出当x=25时，W有最大值，即可求解.
15．【答案】95
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】设应降价x元，日利润为y，
则y=（40+2x）（100-x-70）=（40+2x）（30-x）
=-2x2+20x+1200
=-2（x-5）2+1150
∵-1<0，
∴当x=5时，二次函数有最大值，
∴应把零售单价定为100-5=95元.
故答案为：95.
【分析】设应降价x元，日利润为y，根据题意列出函数关系式，然后根据二次函数的最值问题求出最大利润时的x的值即可求得结果.
16．【答案】70
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设降价x元，利润为W，
由题意得：W=(80-50-x)(200+20x)，
整理得：W=-20x2+400x+6000=-20(x-10)2+8000，
∴当x=10时，可获得最大利润，
此时每顶头盔的售价为：80-10=70（元），
故答案为：70.
【分析】设降价x元，利润为W，根据题意得出方程，然后求出取最大值时的x值即可得到售价.
17．【答案】解：当销售单价上涨了x元时，销量是 件，
∵每件文具售价不能高于40元，
∴ ，
列式： ，
整理得： ，
利用配方法写成顶点式： ，
∴当 时， 有最大值，最大值是 ，
∵ 是正整数，
∴ 取6或7，
当 时， ，
当 时， ，
答：当售价定为36或37时，月销售利润最大，最大是2720元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】根据题意可知一件文具的利润为（30+x-20）元，月销售为（230-10x）件，然后根据月销售利润=一件文具的利润乘以数量列出函数关系式即可；将二次函数的一般式化为顶点式结合x的取值范围求解即可。
18．【答案】解：根据题意得：
w=（-2x+40）（x-10）
=-2x2+60x-400
=-2（x-15）2+50，
∴当x=15时，w取得最大值，最大值为50.
∵1＜15＜19，
∴x=15符合题意.
∴当该商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】根据利润等于每件的利润乘以销售量，可列出w关于x的二次函数，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案.
19．【答案】解：设AB＝xm，矩形ABCD的面积设为y（平方米），
则AB＋EF＋CD＝3x，
∴AD＝BC＝ ．
∴y＝ ＝ ．
由于二次项系数小于0，所以y有最大值，
∴当AB=x＝ ＝ ＝150时，函数y取得最大值．
当AB=150m，矩形ABCD的面积最大
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】先求出 AD＝BC＝ ，再根据矩形的面积公式计算求解即可。
20．【答案】解：设矩形花园 的宽 为 米，则长 为 米
由题意知，
解得
即
显然， 时 的值随 的增大而增大
所以，当 时，面积 取最大值
答： 符合要求的矩形花园面积 的最大值是216米2
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】设AB=x米，可知BC=（30-x）米， 根据点 到墙体 、 的距离分别是8米、16米，求出x的取值范围，再根据矩形的面积公式得出 关于x的函数关系式即可得出结论．
1 / 1初中数学人教版九年级上册——22.3实际问题与二次函数①关于面积和利润的最值问题
一、单选题
1．（2020九上·上饶月考）小敏用一根长为8cm的细铁丝围成矩形，则矩形的最大面积是（ ）
A．4cm2 B．8cm2 C．16cm2 D．32cm2
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形的面积为S，矩形的长为xcm，则宽为 cm，由题意则有
S= x=-x2+4x=-（x-2）2+4，
∵a=-1＜0，
∴当x=2时，S有最大值为4，
故矩形的最大面积是4cm2，
故答案为：A．
【分析】设矩形的面积为S，矩形的长为xcm，则宽为 cm，利用矩形的面积计算方法列出表达式求最大值即可。
2．（2021·淄川模拟）某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，每人的单价就降低10元，若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为（ ）人
A．56 B．55 C．54 D．53
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设旅行团人数为x人，此时的营业额为y元，则 ，
由题意得： ，
由二次函数的性质可知，在 内，当 时，y取得最大值，
即若这个旅行社要获得最大营业额，此时旅行团人数为55人，
故答案为：B．
【分析】设旅行团人数为x人，此时的营业额为y元，由题意可列出利润与x的函数关系式，进而求得最值得出答案。
3．（2021·博山模拟）便民商店经营一种商品，在销售过程中，发现一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=-2（x-20）2+1558，由于某种原因，价格只能15≤x≤22，那么一周可获得最大利润是（ ）
A．20 B．1508 C．1550 D．1558
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：∵一周利润y（元）与每件销售价x（元）之间的关系满足y=-2（x-20）2+1558，且15≤x≤22，
∴当x=20时，y最大值=1558．
故答案为：D．
【分析】将x=20代入 y=-2（x-20）2+1558计算求解即可。
4．（2020九上·文登期末）某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为（ ）
A．35元 B．36元 C．37元 D．36或37元
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：依题意得：
y=（30-20+x）（240-10x）
y=-10x2+140x+2400．
∵每件首饰售价不能高于40元．
∴0≤x≤10．
∴求y与x的函数关系式为：y=-10x2+140x+2400，x的取值范围为0≤x≤10；
∴y=-10（x-7）2+2890．
∴a=-10＜0．
∴当x=7时，y最大=2890．
∴每件首饰的售价定为：30+7=37元．
∴每件首饰的售价定为37元时，可使月销售利润最大，最大的月利润是2890元．
故答案为：C．
【分析】先求出y=-10x2+140x+2400，再求出0≤x≤10，最后计算求解即可。
5．（2021九上·肥城期末）某商品的进价为每件60元，现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润 （单位：元）与每件涨价 （单位：元）之间的函数关系式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：∵ 每涨价1元，每星期要少卖10件，每件涨价x元，
∴ 销售每件的利润为 元，每星期的销售量为 ，
∴ 每星期销售出商品的利润 ．
故答案为：D．
【分析】先求出销售每件的利润为 元，每星期的销售量为 ，再根据利润公式进行计算求解即可。
6．（2020九上·马山月考）某农产品市场经销一种销售成本为40元的水产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨2元，月销售量就减少10千克．设每千克涨x元，月销售利润为y元，则y与x的函数关系式为（ ）
A．y＝（50+x-40）（500﹣10x）
B．y＝（x+40）（10x﹣500）
C．y＝（x﹣40）[500﹣5（x﹣50）]
D．y＝（50+x-40）（500﹣5x）
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：y=（50-40+x）（500-）=（50-40+x）（500-5x）
故答案为：D.
【分析】由已知可得月销售利润y=每千克的利润×销售量，列出y与x的函数解析式。
7．（2019九上·武威期中）用20cm长的绳子围成一个矩形，如果这个矩形的一边长为xcm，面积是Scm2，则S与x的函数关系式为（ ）
A．S＝x（20﹣x） B．S＝x（20﹣2x）
C．S＝x（10﹣x） D．S＝2x（10﹣x）
【答案】C
【知识点】根据实际问题列二次函数关系式
【解析】【解答】解：由题意得：S＝x(10﹣x)，
故答案为：C.
【分析】根据题意可得矩形的宽为(10-x)cm，再根据矩形的面积公式S=长×宽可得函数解析式.
8．（2020·平阳模拟）某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，并在如图所示位置留2m宽的门。已知计划中的建筑材料可建围墙(不包括门)的总长度为50m。设饲养室长为x(m)，占地面积为y(m )，则y关于x的函数表达式是（ ）
A．y=-x +50x B．y= x +24x
C．y= x2+25x D．y= x2+26x
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意得
故答案为：D.
【分析】由题意可知矩形的长+2宽=52，用含x的代数式表示出矩形的宽，再利用矩形的面积公式就可求出y与x的函数解析式。
9．周长8m的铝合金制成如图所示形状的矩形窗柜，使窗户的透光面积最大，那么这个窗户的最大透光面积是（ ）m
A． B． C．4 D．
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设窗户的宽是x，根据题意得
S=
=
∴当窗户宽是 m时，面积最大是 m2
【分析】根据这个窗户的最大透光面积=矩形窗户的长宽并配成顶点式运用二次函数的性质即可求解。
10．（2019九上·长兴月考）某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠足够长的墙体，中间用一道围栏隔开，并在如图所示的两处各留1m宽的门，所有围栏的总长(不含门)为26m，若要使得建成的饲养室面积最大，则利用墙体的长度为（ ）
A．14 B．13 C．9 D．7
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设建成的饲养室面积为Sm2，垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为26+2-3x=（28-3x）m.
S=x（28-3x）=-3x2+28x，
对称轴为直线，
∴a=-3，抛物线的开口向下，当时，S有最大值，
∴
∵一面靠足够长的墙体，
∴利用墙体的长度为14m.
故答案为：A
【分析】由题意可知设建成的饲养室面积为Sm2，垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为（28-3x）m，利用矩形的面积公式建立S与x的函数解析式，再利用二次函数的性质求出x的值及28-3x的值，然后根据一面靠足够长的墙体可得答案。
二、填空题
11．（2021·老河口模拟）用长为12米的铝合金条制成如图所示的窗框，若窗框的高为x米，当x等于 时窗户的透光面积最大（铝合金条的宽度不计）.
【答案】2
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设矩形窗户的透光面积为 平方米，窗户的高为 米，则窗户的宽为 米，
由此得出 ，
整理得 ，
因为 ，抛物线开口向下，取 得最大值，最大值为6；
故答案为2.
【分析】设矩形窗户的透光面积为S平方米，窗户的高为x 米，利用矩形的性质，可得到y与x之间的函数解析式，利用二次函数的性质，可求出s的最大值.
12．（2021·昆山模拟）如图，矩形 中AB＝2，AD＝5，动点P从点A出发，以1 cm/s的速度沿AD向终点D移动，设移动时间为t（s）.连接PC，以PC为一边作正方形PCEF，连接DE、DF，则 面积最小值为 .
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：由题意得：AP=t，PD=5-t，
∴ ，
∵四边形PCEF是正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴当t=4时，△DEF的面积最小，最小值为 .
故答案为： .
【分析】由题意得AP=t，PD=5-t，根据三角形的面积公式S△PDC=PD·CD可将三角形PDC的面积用含t的代数式表示出来，由正方形的性质得，在直角三角形PCD中，用勾股定理可将PC2用含t的代数式表示出来，于是根据S△DEF=S正方形EFPC-S△PDC可将S△DEF用含t的代数式表示出来，并配成顶点式，然后根据二次函数的性质即可求解.
13．（2020九上·孝义期末）数学课上，老师提出如下问题：“如图，用一段长为 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园（墙足够长）．这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？”小慧设菜园的面积为 ，菜园的…为xm，列出 ．则自变量x的实际意义是 ．
【答案】平行于墙的一边的长度
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】∵矩形的面积
∴x或者 是平行于墙的矩形的长
当 是是平行于墙的矩形的长时， +2x≠30 ，不合题意；
当x是是平行于墙的矩形的长时，2( )+x=30 ，符合合题意；
故答案为：平行于墙的一边的长度
【分析】根据矩形的面积公式可知 ，是长乘以宽，篱笆30m而根据图可知矩形只需要围3面，因此可知x是平行于墙的一边的长度．
14．（2020九上·阳江期末）某种商品每件进价20元，调查表明：在某段时间内以每件x元(20≤x≤30，且x为整数)出售，可卖出(30-x)件。若使利润最大，则每件的售价应为 。
【答案】25元
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设利润为W元，
根据题意得：W=（x-20）（30-x）=-（x-25）2+25，
∴当x=25时，W有最大值，
∴ 若使利润最大，则每件的售价应为25元.
故答案为：25元.
【分析】设利润为W元，根据利润=每件的利润×卖出的件数得出W=（x-20）（30-x），化为W=-（x-25）2+25，再根据二次函数的性质得出当x=25时，W有最大值，即可求解.
15．（2020九上·慈溪月考）将进货单价为70元的某种商品按零售单价100元售出时，每天能卖出40个，若这种商品的零售单价在一定范围内每降价1元，其日销量就增加2个，为了获取最大的日利润，则应把零售单价定为 元.
【答案】95
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】设应降价x元，日利润为y，
则y=（40+2x）（100-x-70）=（40+2x）（30-x）
=-2x2+20x+1200
=-2（x-5）2+1150
∵-1<0，
∴当x=5时，二次函数有最大值，
∴应把零售单价定为100-5=95元.
故答案为：95.
【分析】设应降价x元，日利润为y，根据题意列出函数关系式，然后根据二次函数的最值问题求出最大利润时的x的值即可求得结果.
16．（2020·仙桃）某商店销售一批头盔，售价为每顶80元，每月可售出200顶.在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶.已知头盔的进价为每顶50元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为 元.
【答案】70
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】解：设降价x元，利润为W，
由题意得：W=(80-50-x)(200+20x)，
整理得：W=-20x2+400x+6000=-20(x-10)2+8000，
∴当x=10时，可获得最大利润，
此时每顶头盔的售价为：80-10=70（元），
故答案为：70.
【分析】设降价x元，利润为W，根据题意得出方程，然后求出取最大值时的x值即可得到售价.
三、解答题
17．（2020九上·槐荫期末）某商店经营一种文具，已知成批购进时的单价是20元．调查发现销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，且每件文具售价不能高于40元，设每件文具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元．写出求y与x的函数关系式，每件文具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？
【答案】解：当销售单价上涨了x元时，销量是 件，
∵每件文具售价不能高于40元，
∴ ，
列式： ，
整理得： ，
利用配方法写成顶点式： ，
∴当 时， 有最大值，最大值是 ，
∵ 是正整数，
∴ 取6或7，
当 时， ，
当 时， ，
答：当售价定为36或37时，月销售利润最大，最大是2720元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】根据题意可知一件文具的利润为（30+x-20）元，月销售为（230-10x）件，然后根据月销售利润=一件文具的利润乘以数量列出函数关系式即可；将二次函数的一般式化为顶点式结合x的取值范围求解即可。
18．（2021九上·铁西期末）某超市购进一种商品，进货单价为每件10元在销售过程中超市按相关规定.销售单价不低于1元且不高于19元如果该商品的销售单价x（单位：元/件）与日销售量y（单位：件）满足一次函数关系 ，设该商品的日销售利润为w元，那么当该商品的销售单价x（元/件）定为多少时，日销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】解：根据题意得：
w=（-2x+40）（x-10）
=-2x2+60x-400
=-2（x-15）2+50，
∴当x=15时，w取得最大值，最大值为50.
∵1＜15＜19，
∴x=15符合题意.
∴当该商品的销售单价定为15元/件时，日销售利润最大，最大利润是50元.
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】根据利润等于每件的利润乘以销售量，可列出w关于x的二次函数，将其写成顶点式，按照二次函数的性质可得答案.
19．（2020九上·峡江期末）如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），求当矩形ABCD的面积最大时AB的长．
【答案】解：设AB＝xm，矩形ABCD的面积设为y（平方米），
则AB＋EF＋CD＝3x，
∴AD＝BC＝ ．
∴y＝ ＝ ．
由于二次项系数小于0，所以y有最大值，
∴当AB=x＝ ＝ ＝150时，函数y取得最大值．
当AB=150m，矩形ABCD的面积最大
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】先求出 AD＝BC＝ ，再根据矩形的面积公式计算求解即可。
20．（2020九上·铜陵期末）在“美丽乡村”建设中，某村施工人员想利用如图所示的直角墙角，计划再用30米长的篱笆围成一个矩形花园 ，要求把位于图中点 处的一颗景观树圈在花园内，且景观树 与篱笆的距离不小2米．已知点 到墙体 、 的距离分别是8米、16米，如果 、 所在两面墙体均足够长，求符合要求的矩形花园面积 的最大值．
【答案】解：设矩形花园 的宽 为 米，则长 为 米
由题意知，
解得
即
显然， 时 的值随 的增大而增大
所以，当 时，面积 取最大值
答： 符合要求的矩形花园面积 的最大值是216米2
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】设AB=x米，可知BC=（30-x）米， 根据点 到墙体 、 的距离分别是8米、16米，求出x的取值范围，再根据矩形的面积公式得出 关于x的函数关系式即可得出结论．
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