初中数学人教版九年级上册——22.3实际问题与二次函数②抛物线型问题
一、单选题
1．（2021·洪洞模拟）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为 ，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（ ）
A． 米 B．8米 C．10米 D．2米
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：当y＝0时，即 ＝0，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，
所以小宇此次实心球训练的成绩为8米，
故答案为：B．
【分析】求出中y=0时的x值即可.
2．（2021·建湖模拟）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示.下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h＝20时，t＝1s或5s.④小球抛出2秒后的高度是35m.其中正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），
设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，
将（0，0）代入得：0＝a（0﹣3）2+40，
解得：a＝ ，
∴h＝ （t﹣3）2+40.
①∵顶点为（3，40），
∴小球抛出3秒时达到最高点，故①正确；
②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故为40×2＝80m，故②正确；
③令h＝20，则20＝ （t﹣3）2+40，
解得t＝3± ，故③错误；
④令t＝2，则h＝ （2﹣3）2+40＝ m，故④错误.
综上，正确的有①②.
故答案为：A.
【分析】由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，用待定系数法求得解析式，再逐个选项分析或计算即可.
3．（2021九上·八步期末）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管 喷出， 长为 .水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为 .建立平面直角坐标系，水流喷出的高度 与水平距离 之间近似满足函数关系 ，则水流喷出的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），
把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：
，
解得： ，
∴函数表达式为： ，
∵a＜0，故函数有最大值，
∴当x=1时，y取得最大值，此时y=2，
答：水流喷出的最大高度为2米.
故答案为：D.
【分析】由题意可知抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），用待定系数法可求抛物线的解析式，并将求得的解析式配成顶点式根据二次函数的性质可求解.
4．（2020九上·武汉月考）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 时，水面宽 .若水面再下降 ，水面宽度为（ ） .
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：如图，以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则由题意可知A（-2，0），B（2，0），C（0，2），
设该抛物线的解析式为y=ax2+2，将B（2，0）代入得：
0=a×4+2，
解得：a=- .
∴抛物线的解析式为y=- x2+2，
∴若水面再下降1.5m，则有-1.5=- x2+2，
解得：x=± .
∵ -（- ）=2 ，
∴水面宽度为2 m.
故答案为：D.
【分析】以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，由待定系数法求得二次函数的解析式，然后将y=-1.5代入解析式得关于x的一元二次方程，解得x的值，用较大的x值减去较小的x值即可得出答案.
5．（2020九上·石家庄月考）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A．此抛物线的解析式是y=- x2+3.5
B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）
D．篮球出手时离地面的高度是2m
【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：A、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5．
∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05=a×1.52+3.5，
∴a=- ，
∴y=- x2+3.5．
故本选项符合题意；
B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），
故本选项不符合题意；
C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），
故本选项不符合题意；
D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，
因为（1）中求得y=-0.2x2+3.5，
∴当x=-2.5时，
h=-0.2×（-2.5）2+3.5=2.25m．
∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m．
故本选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据题干中给的点坐标代入计算求出抛物线解析式，再利用函数的性质求解即可。
6．（2020九上·舒城月考）图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣ （x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（ ）
A．16 米 B． 米 C．16 米 D． 米
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】∵AC⊥x轴，OA=10米，
∴点C的横坐标为﹣10，
当x=﹣10时，y=﹣ （x﹣80）2+16=﹣ （﹣10﹣80）2+16=﹣ ，
∴C（﹣10，﹣ ），∴桥面离水面的高度AC为 m．
故答案为：B．
【分析】根据图象求出点C的横坐标，再将-10代入抛物线解析式计算即可。
7．（2020九上·亳州月考）如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离OB是（ ）
A．2.5米 B．3米 C．3.5米 D．4米
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3，
把A（0，2.25）代入，得
2.25=a+3，
a=-0.75．
∴抛物线的解析式为：y=-0.75（x-1）2+3．
当y=0时，
0=-0.75（x-1）2+3，
解得：x1=-1（舍去），x2=3．
OB=3米．
故答案为：B．
【分析】由题意可以知道M（1，3），A（0，2.25），用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y=0时就可以求出x的值，这样就可以求出OB的值．
8．（2020九上·瑞安期中）我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E，点P）以及点A，点B落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF）与第2根栏杆未涂色部分（PQ）长度相等，则EF的长度是（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：如图，令P下方的点为H，以AB中点为原点，建立坐标系xOy，则A(1，0)B(-1，O)，
设抛物线的方程为y=ax2+bx+c
∴抛物线的对称轴为x=0，则 ＝0，即b＝0．
∴y＝ax2 +c．
将A(1，0)代入得a+c＝0，则c＝－a．
∴y＝ax2－a．
∵OH＝2× × ＝0.2，则点H的坐标为（-0.2，0）
同理可得：点F的坐标为（-0.6，0）．
∴PH＝a×(-0.2)2-a＝－0.96a
EF＝a×(-0.6)2-a＝－0.64a．
又∵PQ＝EF＝1－（－0.96a）＝－0.64a
∴1＋0.96a＝－0.64a．
解得a＝ ．
∴y＝ x2＋ ．
∴EF＝（ ）×（-0.6）2＋ ＝ ．
故选：C．
【分析】设P下方的点为H，以AB中点为原点，建立坐标系xOy，则A(1，0)B(-1，O)，根据图像设抛物线的函数解析式为y＝ax2 +c，根据题意可知点A，B的坐标，由中间被4根栏杆五等分，可得到点H，点F的坐标；再用含a代数式表示出PH，EF的长，然后根据PQ＝EF，建立关于a的方程，解方程求出a的值，可得到函数解析式，利用函数解析式可求出EF的长。
9．（2020九上·鹿城月考）如图，某隧道美化施工，横截面形状为抛物线y =－ x2 + 8（单位:米），施工队计划在隧道正中搭建一个矩形脚手架DEFG，已知DE:EF = 3:2，则脚手架高DE为（ ）
A．7米 B．6.3米 C．6米 D．5米
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：设EF=2k, EF=3k,
∴OF=k,
∴G（k,3k）,
∴3k= － k2 + 8 ,
∴k2+6k-16=0,
∴（k+8）(k-2)=0,
∴k=-8（舍去）, 或k=2,
∴DE=3k=6（米）.
故答案为：C.
【分析】设EF=2k, EF=3k, 把G的坐标用含k的代数式表示, 代入函数式求出求出k值，则脚手架高DE可求.
10．（2020九上·沧州开学考）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h （单位： m ）与小球运动时间 （单位： s ）之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是 40m ；②小球运动的时间为 6s ；③小球抛出3秒时，速度为0；
④当 时，小球的高度 ．其中正确的是（ ）
A．①④ B．①② C．②③④ D．②④
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m，故①不符合题意；
②当t=6时，高度为0，则运动时间是6s，故②符合题意；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0，故③符合题意；
④设函数解析式为：h=a（t-3）2+40，
把O点（0，0）代入得 ，
解得： ，
∴ ，
当t=1.5时， ，
解得：h=30米，故④符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据函数图象依次判断各选项即可.
二、填空题
11．（2021九下·杭州开学考）一个球从地面上竖直向上弹起的过程中，距离地面高度 （米）与经过的时间 （秒）满足以下函数关系： ，则该球从弹起回到地面需要经过 秒，距离地面的最大高度为 米.
【答案】3；
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：在h=-5t2+15t中，令h=0，
则-5t2+15t=0，
∴5t（3-t）=0，
∴t1=0，t2=3，
∴该球从弹起至回到地面的时间需3-0=3(秒)；
∵h=15t-5t2
=-5（t-）2+，
∴当t=，h有最大值，即它距离地面的最大高度为米．
故答案为：3，.
【分析】 在h=-5t2+15t中，令h=0得关于t的一元二次方程，求得方程的解则可得球从弹起至回到地面的时间；将h=-5t2+15t写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
12．（2021·三台模拟）如图所示，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同.正常水位时，大孔水面宽度 为 ，顶点M距水面 （即 ），小孔顶点N距水面 （即 ）.当水位上涨到刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，可以得出此时大孔的水面宽度 是 m.
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：设大孔抛物线的解析式为 ，
把点 解析式，得
，解得 ，
因此大孔抛物线的解析式为 ；
由 ，可知点F的纵坐标为4，
代入解析式 ，
解得 .
所以 ，
所以 .
故答案为： .
【分析】利用待定系数法求出大孔抛物线的解析式，然后根据NC的长即可求出点E、F的坐标，从而求出结论.
13．（2020九上·顺义期末）如图，小明抛投一个沙包，沙包被抛出后距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）近似满足函数关系式 ，则沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是 米．
【答案】5
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】由 可得，当t=6时，h最大=5，
所以小球距离地面的最大高度是5米，
故答案为：5．
【分析】根据函数解析式可知：当x=6时，h最大。
14．（2021九上·甘州期末）河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数表达式为y＝－ ，当水面离桥拱的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为 m
【答案】20
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：根据题意A、B的纵坐标为－4，
把y=－4代入 ，
得x=±10，
∴A(－10，－4)，B(10，－4)，
∴AB=20m，
即水面宽度AB为20m.
故答案为：20.
【分析】根据题意，把y=－4直接代入解析式即可解答.
15．（2021九上·浦北期末）甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为 ，羽毛球飞行的水平距离 （米）与其距地面高度 （米）之间的关系式为 ，如图，已知球网 距原点 米，乙（用线段 表示）扣球的最大高度为 米，设乙的起跳点 的横坐标为 ，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则 的取值范围是 .
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：当 时， ，解得 ；
∵扣球点必须在球网右边，即 ，
∴ .
故答案为：.
【分析】首先将代入二次函数解析式中，求出对应的S的值，然后根据扣球点必须在球网右边，知m>5，据此不难求得m的范围.
16．（2020九上·瑞安期中）如图，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABD8D1和其上方的抛物线D1OD8组成.若建立如图所示的直角坐标系，跨度AB=44米，∠A=45°，AC1=4米，点D2的坐标为(-13，-1.69)，则桥架的拱高OH= 米.
【答案】7.24
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】设抛物线D1OD8的解析式为y=ax2，将x=-13，y=-1.69代入，解得a=-
∵横梁D1D8=C1C8=AB-2AC1=36m
∴点D1的横坐标是-18，代入y=- x2里可得y=3.24
又∵∠A=45°，
∴D1C1=AC1=4m
∴OH=3.24+4=7.24m．
【分析】根据函数图象设抛物线D1OD8的解析式为y=ax2，将x=-13，y=-1.69代入建立关于a的方程，解方程求出a的值，根据题意可得到点D1的横坐标是-18，将其代入函数解析式可求出对应的函数值，再求出D1C1=AC1=4m，然后求出OH的长。
三、解答题
17．（2019九上·北京月考）图中所示的物线形拱桥，当拱顶离水面
m时，水面宽
m，水面上升
米，水面宽度减少多少
【答案】解：建立如图所示坐标系.
则可得过点
设解析式为
代入 得 .
所以解析式为 .
把 代入，得 ，
则水面的宽减少 米
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】根据已知得出直角坐标系，再设抛物线解析式，求出解析式确定出水面的宽度即可．
18．（2020九上·海门月考）如图所示，公园要造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面距离最大，高度2.25m.若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不致落到池外
【答案】解：以地面上任一条直线为x轴，OA为y轴建立直角坐标系，
设y=a(x-1)2+2.25，则当x=0时，y=1.25，故a+2.25=1，a=-1.
由y=0得-(x-1)2+2.25=0，得(x-1)2=2.25，解得x1=2.5，x2=-0.5(舍去)
故水池的半径至少要2.5米.
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】以地面上任一条直线为x轴，OA为y轴建立直角坐标系，由题意可设y=a(x-1)2+2.25，再根据x=0时，y=1.25即可求得函数关系式，再求出抛物线与x轴的交点坐标即可得到结果.
19．（2019九上·鄂尔多斯期中）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
【答案】解：以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系． 由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m， 则设抛物线的解析式为： y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3）， 代入（3，0）求得：a＝ ． 将a值代入得到抛物线的解析式为： y＝ （x﹣1）2+3（0≤x≤3）， 令x＝0，则y＝ ＝2.25． 故水管长为2.25m．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），将（3，0）代入求得a值，则x＝0时得的y值即为水管的长．
20．（2019九上·西岗期末）某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门地面宽AB＝4米，顶部C离地面高度为4.4米.现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8米，装货宽度为2.4米.请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？
【答案】解：根据题意知，A（-2，-4.4），B（2，-4.4），设这个函数为y=kx2.
将A的坐标代入，得y=-1.1x2，
∴E、F两点的横坐标就应该是-1.2和1.2，
∴将x=1.2代入函数式，得
y≈-1.6，
∴GH=CH-CG=4.4-1.6=2.8m，
因此这辆汽车正好可以通过大门.
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】本题只要计算大门顶部宽2.4米的部分离地面是否超过2.8米即可.如果设C点是原点，那么A的坐标就是（-2，-4.4），B的坐标是（2，-4.4），可设这个函数为y=kx2，那么将A的坐标代入后即可得出y=-1.1x2，那么大门顶部宽2.4m的部分的两点的横坐标就应该是-1.2和1.2，因此将x=1.2代入函数式中可得y≈-1.6，因此大门顶部宽2.4m部分离地面的高度是4.4-1.6=2.8m，因此这辆汽车正好可以通过大门.
1 / 1初中数学人教版九年级上册——22.3实际问题与二次函数②抛物线型问题
一、单选题
1．（2021·洪洞模拟）在中考体育训练期间，小宇对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为 ，由此可知小宇此次实心球训练的成绩为（ ）
A． 米 B．8米 C．10米 D．2米
2．（2021·建湖模拟）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球运动时间t（单位：s）之间的函数关系如图所示.下列结论：①小球抛出3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③小球的高度h＝20时，t＝1s或5s.④小球抛出2秒后的高度是35m.其中正确的有（ ）
A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③
3．（2021九上·八步期末）某广场有一个小型喷泉，水流从垂直于地面的水管 喷出， 长为 .水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落到地面上，某方向上抛物线路径的形状如图所示，落点B到O的距离为 .建立平面直角坐标系，水流喷出的高度 与水平距离 之间近似满足函数关系 ，则水流喷出的最大高度为（ ）
A． B． C． D．
4．（2020九上·武汉月考）如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面 时，水面宽 .若水面再下降 ，水面宽度为（ ） .
A． B． C． D．
5．（2020九上·石家庄月考）一位篮球运动员在距离篮圈中心水平距离4m处起跳投篮，球沿一条抛物线运动，当球运动的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮框内．已知篮圈中心距离地面高度为3.05m，在如图所示的平面直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A．此抛物线的解析式是y=- x2+3.5
B．篮圈中心的坐标是（4，3.05）
C．此抛物线的顶点坐标是（3.5，0）
D．篮球出手时离地面的高度是2m
6．（2020九上·舒城月考）图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=﹣ （x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC⊥x轴，若OA=10米，则桥面离水面的高度AC为（ ）
A．16 米 B． 米 C．16 米 D． 米
7．（2020九上·亳州月考）如图，某幢建筑物从2.25米高的窗口A用水管向外喷水，喷的水流呈抛物线型(抛物线所在平面与墙面垂直)，如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面3米，则水流下落点B离墙的距离OB是（ ）
A．2.5米 B．3米 C．3.5米 D．4米
8．（2020九上·瑞安期中）我校门口道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图1），图2是一个长为2米，宽为1米的矩形隔离栏，中间被4根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点E，点P）以及点A，点B落上同一条抛物线上，若第1根栏杆涂色部分（EF）与第2根栏杆未涂色部分（PQ）长度相等，则EF的长度是（ ）
A． 米 B． 米 C． 米 D． 米
9．（2020九上·鹿城月考）如图，某隧道美化施工，横截面形状为抛物线y =－ x2 + 8（单位:米），施工队计划在隧道正中搭建一个矩形脚手架DEFG，已知DE:EF = 3:2，则脚手架高DE为（ ）
A．7米 B．6.3米 C．6米 D．5米
10．（2020九上·沧州开学考）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h （单位： m ）与小球运动时间 （单位： s ）之间的函数关系如图所示．下列结论：
①小球在空中经过的路程是 40m ；②小球运动的时间为 6s ；③小球抛出3秒时，速度为0；
④当 时，小球的高度 ．其中正确的是（ ）
A．①④ B．①② C．②③④ D．②④
二、填空题
11．（2021九下·杭州开学考）一个球从地面上竖直向上弹起的过程中，距离地面高度 （米）与经过的时间 （秒）满足以下函数关系： ，则该球从弹起回到地面需要经过 秒，距离地面的最大高度为 米.
12．（2021·三台模拟）如图所示，三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小都相同.正常水位时，大孔水面宽度 为 ，顶点M距水面 （即 ），小孔顶点N距水面 （即 ）.当水位上涨到刚好淹没小孔时，借助图中的直角坐标系，可以得出此时大孔的水面宽度 是 m.
13．（2020九上·顺义期末）如图，小明抛投一个沙包，沙包被抛出后距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）近似满足函数关系式 ，则沙包在飞行过程中距离地面的最大高度是 米．
14．（2021九上·甘州期末）河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数表达式为y＝－ ，当水面离桥拱的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为 m
15．（2021九上·浦北期末）甲、乙两人进行羽毛球比赛，甲发出一颗十分关键的球，出手点为 ，羽毛球飞行的水平距离 （米）与其距地面高度 （米）之间的关系式为 ，如图，已知球网 距原点 米，乙（用线段 表示）扣球的最大高度为 米，设乙的起跳点 的横坐标为 ，若乙原地起跳，因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败，则 的取值范围是 .
16．（2020九上·瑞安期中）如图，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABD8D1和其上方的抛物线D1OD8组成.若建立如图所示的直角坐标系，跨度AB=44米，∠A=45°，AC1=4米，点D2的坐标为(-13，-1.69)，则桥架的拱高OH= 米.
三、解答题
17．（2019九上·北京月考）图中所示的物线形拱桥，当拱顶离水面
m时，水面宽
m，水面上升
米，水面宽度减少多少
18．（2020九上·海门月考）如图所示，公园要造圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线路线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到距水面距离最大，高度2.25m.若不计其他因素，那么水池的半径至少要多少米才能使喷出的水流不致落到池外
19．（2019九上·鄂尔多斯期中）要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？
20．（2019九上·西岗期末）某工厂大门是一抛物线形水泥建筑物（如图），大门地面宽AB＝4米，顶部C离地面高度为4.4米.现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，货物顶部距地面2.8米，装货宽度为2.4米.请通过计算，判断这辆汽车能否顺利通过大门？
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：当y＝0时，即 ＝0，
解得：x1＝﹣2（舍去），x2＝8，
所以小宇此次实心球训练的成绩为8米，
故答案为：B．
【分析】求出中y=0时的x值即可.
2．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），
设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，
将（0，0）代入得：0＝a（0﹣3）2+40，
解得：a＝ ，
∴h＝ （t﹣3）2+40.
①∵顶点为（3，40），
∴小球抛出3秒时达到最高点，故①正确；
②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故为40×2＝80m，故②正确；
③令h＝20，则20＝ （t﹣3）2+40，
解得t＝3± ，故③错误；
④令t＝2，则h＝ （2﹣3）2+40＝ m，故④错误.
综上，正确的有①②.
故答案为：A.
【分析】由图象可知，点（0，0），（6，0），（3，40）在抛物线上，顶点为（3，40），设函数解析式为h＝a（t﹣3）2+40，用待定系数法求得解析式，再逐个选项分析或计算即可.
3．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：由题意可得，抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），
把上述两个点坐标代入二次函数表达式得：
，
解得： ，
∴函数表达式为： ，
∵a＜0，故函数有最大值，
∴当x=1时，y取得最大值，此时y=2，
答：水流喷出的最大高度为2米.
故答案为：D.
【分析】由题意可知抛物线经过点（0，1.5）和（3，0），用待定系数法可求抛物线的解析式，并将求得的解析式配成顶点式根据二次函数的性质可求解.
4．【答案】D
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：如图，以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则由题意可知A（-2，0），B（2，0），C（0，2），
设该抛物线的解析式为y=ax2+2，将B（2，0）代入得：
0=a×4+2，
解得：a=- .
∴抛物线的解析式为y=- x2+2，
∴若水面再下降1.5m，则有-1.5=- x2+2，
解得：x=± .
∵ -（- ）=2 ，
∴水面宽度为2 m.
故答案为：D.
【分析】以AB所在直线为x轴，以过拱顶C且垂直于AB的直线为y轴，建立平面直角坐标系，由待定系数法求得二次函数的解析式，然后将y=-1.5代入解析式得关于x的一元二次方程，解得x的值，用较大的x值减去较小的x值即可得出答案.
5．【答案】A
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：A、∵抛物线的顶点坐标为（0，3.5），
∴可设抛物线的函数关系式为y=ax2+3.5．
∵篮圈中心（1.5，3.05）在抛物线上，将它的坐标代入上式，得 3.05=a×1.52+3.5，
∴a=- ，
∴y=- x2+3.5．
故本选项符合题意；
B、由图示知，篮圈中心的坐标是（1.5，3.05），
故本选项不符合题意；
C、由图示知，此抛物线的顶点坐标是（0，3.5），
故本选项不符合题意；
D、设这次跳投时，球出手处离地面hm，
因为（1）中求得y=-0.2x2+3.5，
∴当x=-2.5时，
h=-0.2×（-2.5）2+3.5=2.25m．
∴这次跳投时，球出手处离地面2.25m．
故本选项不符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据题干中给的点坐标代入计算求出抛物线解析式，再利用函数的性质求解即可。
6．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】∵AC⊥x轴，OA=10米，
∴点C的横坐标为﹣10，
当x=﹣10时，y=﹣ （x﹣80）2+16=﹣ （﹣10﹣80）2+16=﹣ ，
∴C（﹣10，﹣ ），∴桥面离水面的高度AC为 m．
故答案为：B．
【分析】根据图象求出点C的横坐标，再将-10代入抛物线解析式计算即可。
7．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【解答】解：设抛物线的解析式为y=a（x-1）2+3，
把A（0，2.25）代入，得
2.25=a+3，
a=-0.75．
∴抛物线的解析式为：y=-0.75（x-1）2+3．
当y=0时，
0=-0.75（x-1）2+3，
解得：x1=-1（舍去），x2=3．
OB=3米．
故答案为：B．
【分析】由题意可以知道M（1，3），A（0，2.25），用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当y=0时就可以求出x的值，这样就可以求出OB的值．
8．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：如图，令P下方的点为H，以AB中点为原点，建立坐标系xOy，则A(1，0)B(-1，O)，
设抛物线的方程为y=ax2+bx+c
∴抛物线的对称轴为x=0，则 ＝0，即b＝0．
∴y＝ax2 +c．
将A(1，0)代入得a+c＝0，则c＝－a．
∴y＝ax2－a．
∵OH＝2× × ＝0.2，则点H的坐标为（-0.2，0）
同理可得：点F的坐标为（-0.6，0）．
∴PH＝a×(-0.2)2-a＝－0.96a
EF＝a×(-0.6)2-a＝－0.64a．
又∵PQ＝EF＝1－（－0.96a）＝－0.64a
∴1＋0.96a＝－0.64a．
解得a＝ ．
∴y＝ x2＋ ．
∴EF＝（ ）×（-0.6）2＋ ＝ ．
故选：C．
【分析】设P下方的点为H，以AB中点为原点，建立坐标系xOy，则A(1，0)B(-1，O)，根据图像设抛物线的函数解析式为y＝ax2 +c，根据题意可知点A，B的坐标，由中间被4根栏杆五等分，可得到点H，点F的坐标；再用含a代数式表示出PH，EF的长，然后根据PQ＝EF，建立关于a的方程，解方程求出a的值，可得到函数解析式，利用函数解析式可求出EF的长。
9．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：设EF=2k, EF=3k,
∴OF=k,
∴G（k,3k）,
∴3k= － k2 + 8 ,
∴k2+6k-16=0,
∴（k+8）(k-2)=0,
∴k=-8（舍去）, 或k=2,
∴DE=3k=6（米）.
故答案为：C.
【分析】设EF=2k, EF=3k, 把G的坐标用含k的代数式表示, 代入函数式求出求出k值，则脚手架高DE可求.
10．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：①由图象知小球在空中达到的最大高度是40m，故①不符合题意；
②当t=6时，高度为0，则运动时间是6s，故②符合题意；
③小球抛出3秒时达到最高点即速度为0，故③符合题意；
④设函数解析式为：h=a（t-3）2+40，
把O点（0，0）代入得 ，
解得： ，
∴ ，
当t=1.5时， ，
解得：h=30米，故④符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据函数图象依次判断各选项即可.
11．【答案】3；
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：在h=-5t2+15t中，令h=0，
则-5t2+15t=0，
∴5t（3-t）=0，
∴t1=0，t2=3，
∴该球从弹起至回到地面的时间需3-0=3(秒)；
∵h=15t-5t2
=-5（t-）2+，
∴当t=，h有最大值，即它距离地面的最大高度为米．
故答案为：3，.
【分析】 在h=-5t2+15t中，令h=0得关于t的一元二次方程，求得方程的解则可得球从弹起至回到地面的时间；将h=-5t2+15t写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案．
12．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：设大孔抛物线的解析式为 ，
把点 解析式，得
，解得 ，
因此大孔抛物线的解析式为 ；
由 ，可知点F的纵坐标为4，
代入解析式 ，
解得 .
所以 ，
所以 .
故答案为： .
【分析】利用待定系数法求出大孔抛物线的解析式，然后根据NC的长即可求出点E、F的坐标，从而求出结论.
13．【答案】5
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】由 可得，当t=6时，h最大=5，
所以小球距离地面的最大高度是5米，
故答案为：5．
【分析】根据函数解析式可知：当x=6时，h最大。
14．【答案】20
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：根据题意A、B的纵坐标为－4，
把y=－4代入 ，
得x=±10，
∴A(－10，－4)，B(10，－4)，
∴AB=20m，
即水面宽度AB为20m.
故答案为：20.
【分析】根据题意，把y=－4直接代入解析式即可解答.
15．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：当 时， ，解得 ；
∵扣球点必须在球网右边，即 ，
∴ .
故答案为：.
【分析】首先将代入二次函数解析式中，求出对应的S的值，然后根据扣球点必须在球网右边，知m>5，据此不难求得m的范围.
16．【答案】7.24
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】设抛物线D1OD8的解析式为y=ax2，将x=-13，y=-1.69代入，解得a=-
∵横梁D1D8=C1C8=AB-2AC1=36m
∴点D1的横坐标是-18，代入y=- x2里可得y=3.24
又∵∠A=45°，
∴D1C1=AC1=4m
∴OH=3.24+4=7.24m．
【分析】根据函数图象设抛物线D1OD8的解析式为y=ax2，将x=-13，y=-1.69代入建立关于a的方程，解方程求出a的值，根据题意可得到点D1的横坐标是-18，将其代入函数解析式可求出对应的函数值，再求出D1C1=AC1=4m，然后求出OH的长。
17．【答案】解：建立如图所示坐标系.
则可得过点
设解析式为
代入 得 .
所以解析式为 .
把 代入，得 ，
则水面的宽减少 米
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】根据已知得出直角坐标系，再设抛物线解析式，求出解析式确定出水面的宽度即可．
18．【答案】解：以地面上任一条直线为x轴，OA为y轴建立直角坐标系，
设y=a(x-1)2+2.25，则当x=0时，y=1.25，故a+2.25=1，a=-1.
由y=0得-(x-1)2+2.25=0，得(x-1)2=2.25，解得x1=2.5，x2=-0.5(舍去)
故水池的半径至少要2.5米.
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】以地面上任一条直线为x轴，OA为y轴建立直角坐标系，由题意可设y=a(x-1)2+2.25，再根据x=0时，y=1.25即可求得函数关系式，再求出抛物线与x轴的交点坐标即可得到结果.
19．【答案】解：以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系． 由于在距池中心的水平距离为1m时达到最高，高度为3m， 则设抛物线的解析式为： y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3）， 代入（3，0）求得：a＝ ． 将a值代入得到抛物线的解析式为： y＝ （x﹣1）2+3（0≤x≤3）， 令x＝0，则y＝ ＝2.25． 故水管长为2.25m．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝a（x﹣1）2+3（0≤x≤3），将（3，0）代入求得a值，则x＝0时得的y值即为水管的长．
20．【答案】解：根据题意知，A（-2，-4.4），B（2，-4.4），设这个函数为y=kx2.
将A的坐标代入，得y=-1.1x2，
∴E、F两点的横坐标就应该是-1.2和1.2，
∴将x=1.2代入函数式，得
y≈-1.6，
∴GH=CH-CG=4.4-1.6=2.8m，
因此这辆汽车正好可以通过大门.
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【分析】本题只要计算大门顶部宽2.4米的部分离地面是否超过2.8米即可.如果设C点是原点，那么A的坐标就是（-2，-4.4），B的坐标是（2，-4.4），可设这个函数为y=kx2，那么将A的坐标代入后即可得出y=-1.1x2，那么大门顶部宽2.4m的部分的两点的横坐标就应该是-1.2和1.2，因此将x=1.2代入函数式中可得y≈-1.6，因此大门顶部宽2.4m部分离地面的高度是4.4-1.6=2.8m，因此这辆汽车正好可以通过大门.
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