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第2章 二元一次方程组
期末复习
1．什么叫二元一次方程？什么叫二元一次方程的解？
含有____个未知数，并且所含未知数的项的次数都是___的方程叫做二元一次方程
适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做二元一次方程的_______．
专题一、二元一次方程(组)的有关概念
两
1
一个解
知识要点梳理
2．什么叫二元一次方程组？什么叫二元一次方程组的解？
含有_____个未知数的两个___次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的_____．
两
一
解
典型题例分析
【例1】下列方程组中是二元一次方程组的是
（ ）
【解】A、第一个方程中的xy是二次的，故此选项错误；
B、第二个方程有 ，不是整式方程，故此选项错误
C、含有3个未知数，故此选项错误；
D、符合二元一次方程定义，故此选项正确．
分析】：组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
D
【例2】（2011湖南长沙）若 是关于
的二元一次方程ax-3y=1 的解，则 a的值为
（ ）
A． -5 B．-1 C．2 D．7
【解】：将 代入方程ax－3y＝1，
得a－6＝1，解得a＝7.
D
【变式练习】
1、下列方程组中，不是二元一次方程组的是
（ ）
C
2、下列四组数值：
，其中______________是方程x-2y=0的解，________________是方程x+2y=-8的解，
________是方程组 的解(填序号）。
（1）、（3）
（1）、（4）
（1）
3、若 是关于x,y的二元一次方程
x+ay=3的一个解，求a的值。
【解】把 代入x+ay=3中，得：
-1+2a=3,a=2
4、求二元一次方程3x+2y=14的非负整数解。
1、解二元一次方程组的思路是：
_____________________________
2、消元的方法有___________、____________
3、代入消元法的思路是：把一个方程中的某一个未
知数用含有另一个未知数的代数式表示（即化为
x=…或y=…..）,然后代入另一个方程，消去一个未
知数，得到一个一元一次方程。
专题二、二元一次方程组的解法
知识要点：
消去一个未知数化二元为一元
代入消元
加减消元
4、加减消元法的思路：
如果两个方程中有一个未知数的系数相同或互为相反数，就把这两个方程_______或者__________消去一个未知数；
如果有一个未知数的系数成倍数关系，就把一个方程乘以适当的数，使得一个未知数的系数相等或相反，或把两个方程分别乘以适当的数，使得有一个未知数的系数相等或相反。再将变形后的两个方程_______或______消去一个未知数。
相加
相减
相加
相减
典型题例分析
【例1】（2011岳阳）解方程组：
【分析】若先化简（2），再选择代入法或加减法，可行，但把x+y看着一个整体将（1）代入（2）得到关于x的方程更简单。
【解】：用①代入②得：5x=10，∴x=2
以x=2代入①得：y=1
∴方程组的解为
【例2】已知方程组
的解适合x-y=6,求m的值。
【分析】把m看着数，解已知方程组，用含有m的代数式表示x，y,再代入x-y=6中。
【解法1】解方程组 得： ，把
代入x-y=6中，得：
(5+m)-(-3m)=6, 解得：
【例2】已知方程组
的解适合x-y=6,求m的值。
【分析】（1）-（2）构造(x-y)，然后整体代入。
【解法2】（1）-（2）得：2（x-y)=10+8m
把x-y=6代入此方程得：2×6=10+8m
8m=2,
【变式练习】
1、已知方程组
的解满足x+y=3,则k的值为（ ）
A、 10 B、 8 C、 2 D 、 -8
【解】（1）+（2）得：3（x+y）=k+1,
把x+y=3代入此方程得：
3×3=k+1,
k=8.
B
2、已知5x3m-ny3m与-4x2ny5+2n是同类项，则m=________,n=_________.
【解】根据同类项的概念得： ，
解这个方程组得：
5
5
3、甲乙两人共解方程组
由于甲看错了方程（2）中的n值，得到方程
组的解为： ，乙看错了方程（1）中m
的值，得到方程组的解为 ，请问原方程组正
确的解为多少？
【解】把 代入（1）得：m=1,
把 代入（2）得：n=1.5
所以，原方程组是：
知识要点:
1、建立方程组解应用题的一般有哪些步骤？
(1)审题，弄清题意，找到等量关系。
（2）设元，一般直接设，如果直接设元，很难建立方程组，也可以间接设元。
（3）建立二元一次方程组。
（4）解二元一次方程组，
（5）检验，作答。
专题三、二元一次方程组的实际应用
注意！
（1）建立方程组之前，
要检查是否需要统一
单位，
（2）设元和作答要带单位。
2、常用数量关系：
（1）行程问题：路程=速度×______；
（2）工程问题：工作量=________×工作效率
（3）数字问题：一个三位数用代数式表示为：百位数字×_____+十位数字×____+个位数字。
（4）销售问题：售价-进价=_____，
，售价=（1+利润率） ×____
时间
工作时间
100
10
利润
进价
进价
【例1】（2011山东济南）某小学在6月1日组织师生共110人到趵突泉公园游览，趵突泉公园规定：成人票价每位40元，学生票价每位20元．该学校购票共花费2400元，在这次游览活动中，教师和学生各有多少人？
【解】：设在这次游览活动中，教师有x人，学生
各有y人，由题意得：
解得： ，
答：这次游览活动中，教师有10人，学生各有100人．
【思考】题中等量关系是什么？
①教师人数+学生人数=110人，
②教师的总票钱+学生的总票钱=2400元．
【点评】
解题关键是弄
清题意，找到合
适的等量关系。
【例2】.为建设节约型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困难，切实做好节能减排工作．某地决定对居民家庭用电实行“阶梯电价”，电力公司规定：居民家庭每月用电量在80千瓦时以下（含80千瓦时，1千瓦时俗称1度）时，实行“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”．
（1）小张家2011年4月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元．求“基本电价”和“提高电价”分别为多少元/千瓦时？
（2）若6月份小张家预计用电130千瓦时，请预算小张家6月份应上缴的电费．
【例2】公司规定：居民家庭每月用电量在80千瓦时以下（含80千瓦时，1千瓦时俗称1度）时，实行“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”．
（1）小张家2011年4月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元．求“基本电价”和“提高电价”分别为多少元/千瓦时？
【思考】（1）等量关系是什么？
4月份缴纳的电费=68元，
5月份缴纳的电费=88元。
【例2】公司规定：居民家庭每月用电量在80千瓦时以下（含80千瓦时，1千瓦时俗称1度）时，实行“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”．
（1）小张家2011年4月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元．求“基本电价”和“提高电价”分别为多少元/千瓦时？
【思考】设“基本电价”和“提高电价”分别为x、y元/千瓦时，用含有x、y的代数式表示4月份的电价为__________________,
5月份的电价为____________________.
80x+（100-80）y
80x+（120-80）y
【例2】公司规定：居民家庭每月用电量在80千瓦时以下（含80千瓦时，1千瓦时俗称1度）时，实行“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”．
（1）小张家2011年4月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元．求“基本电价”和“提高电价”分别为多少元/千瓦时？
【解】（1）设“基本电价”为x 元/千瓦时，“提高电价”为y元/千瓦时，根据题意，得：
解之，得
答：“基本电价”为0.6元/千瓦时，“提高电价”为1元/千瓦时．
【例2】电力公司规定：居民家庭每月用电量在80千瓦时以下（含80千瓦时，1千瓦时俗称1度）时，实行“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”．
（2）若6月份小张家预计用电130千瓦时，请预算小张家6月份应上缴的电费．
【解】（2）80×0.6+（130-80）×1
=98（元）．
答：预计小张家6月份上缴的电费为98元．
【点评】关键是理解明确上缴电费的计算方法，并列出方程组．
【变式练习】
1、（2011福建泉州）某班将举行“庆祝建党90周年知识竞赛“活动，班长安排小明购买奖品，下面两图是小明买回奖品时与班长的对话情境：
请根据下面的信息．解决问題：
（1）试计算两种笔记本各买了多少本？
（2）请你解释：小明为什么不可能找回68元？
1、请根据下面面的信息．解决问題：
（1）试计算两种笔记本各买了多少本？
（2）请你解释：小明为什么不可能找回68元？
(1)【解法1】：设5元、8元的笔记本分别买x本、y本，
依题意得 ， 解得 ，
答：5元、8元的笔记本分别买了25本和15本；
1、请根据下面面的信息．解决问題：
（1）试计算两种笔记本各买了多少本？
（2）请你解释：小明为什么不可能找回68元？
(1)【解法2】设买x本5元的笔记本，则买（40﹣x）本8元的笔记本，
依题意得，5x+8（40﹣5x）=300﹣68+13，
解得:x=25（本），y=40﹣25=15（本）．
答：5元、8元的笔记本分别买了25本和15本；
1、请根据下面面的信息．解决问題：
（1）试计算两种笔记本各买了多少本？
（2）请你解释：小明为什么不可能找回68元？
（2）【解法1】：设应找回钱款为300﹣5×25﹣8×15=55≠68，故不能找回68元
1、请根据下面面的信息．解决问題：
（1）试计算两种笔记本各买了多少本？
（2）请你解释：小明为什么不可能找回68元？
（2）【解法2】买25本5元笔记本和15本8元的笔记本的价钱总数应为奇数而不是偶数，故不能找回68元．
2、（2011海南）在海南东环高铁上运行的一列“和谐号”动车组有一等车厢和二等车厢共6节，一共设有座位496个．其中一等车厢每节设座位64个，二等车厢每节设座位92个．试求该列车一等车厢和二等车厢各有多少节？
【解】：设该列车一等车厢和二等车厢各有x、y节
根据题意得： ，解得： ．
答：该列车一等车厢和二等车厢各有2，4节．
点评：解题的关键是由已知找出两个相等关系。
3、（2011吉林长春）在长为10m，宽为8m的矩形空地中，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示．求小矩形花圃的长和宽．
提问：题中的等量关系是什么？
（1）小长方形的长的2倍+小长方形的宽=10cm，
（2）小长方形的宽的2倍+小长方形的长=8cm
【解】：设小矩形的长为
xcm，宽为ycm，由题意得：
解得：
答：小矩形的长为4cm，宽为2cm．
【点评】：关键是：细心观察
图形，找出等量关系。
作业：《数学报》
《二元一次方程组》
综合测试题第2章 二元一次方程组
专题一、二元一次方程(组)的有关概念
1．什么叫二元一次方程？什么叫二元一次方程的解
定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程． 适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做二元一次方程的一个解．
2．什么叫二元一次方程组？什么叫二元一次方程组的解？
定义：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组．二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解．
【例1】（2011四川凉山）下列方程组中是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】：组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程．
【解】A、第一个方程值的xy是二次的，故此选项错误；
B、第二个方程有，不是整式方程，故此选项错误；
C、含有3个未知数，故此选项错误；
D、符合二元一次方程定义，故此选项正确．
故选D．
【例2】（2011湖南长沙）若是关于的二元一次方程的解，则的值为（ ）
A． B． C．2 D．7
【解】：将代入方程ax－3y＝1，得a－6＝1，解得a＝7，故选D．
【变式练习】
1、下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ）
答：C
2、下列四组数值：，其中______是方程x-2y=0的解，_______是方程x+2y=-8的解，________是方程组的解。
3、若是关于x,y的二元一次方程x+ay=3的一个解，求a的值。
【解】把代入x+ay=3中，得：-1+2a=3,a=2
4、求二元一次方程3x+2y=14的非负整数解。
专题二、二元一次方程组的解法
知识要点：
1、解二元一次方程组的思路是_____________________.
2、消元的方法有___________________、________________________.
3、代入消元法的思路是：把一个方程中的某一个未知数用含有另一个未知数的代数式表示（即化为x=…或y=…..）,然后代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程。
4、加减消元法的思路：如果两个方程中有一个未知数的系数相同或互为相反数，就把这两个方程_______或者__________消去一个未知数，如果有一个未知数的系数成倍数关系，就把一个方程乘以适当的数，使得一个未知数的系数相等或相反，或把两个方程分别乘以适当的数，使得有一个未知数的系数相等或相反。再将变形后的两个方程_______或______消去一个未知数。
【例1】（2011岳阳）解方程组：
【分析】若先化简（2），再选择代入法或加减法，可行，但把x+y看着一个整体将（1）代入（2）得到关于x的方程更简单。
【解】：用①代入②得：5x=10，∴x=2
以x=2代入①得：y=1
∴方程组的解为
已知方程组的解适合x-y=6,求m的值。
【分析】把m看着数，解已知方程组，用含有m的代数式表示x，y,再代入x-y=6中。
【解】解方程组得：，把代入x-y=6中，得：
(5+m)-(-3m)=6,
【变式练习】
x1、已知方程组的解满足x+y=3,则k的值为（ ）
A、 10 B、 8 C、 2 D 、 -8
【解】（1）+（2）得：3（x+y）=k+1, 把x+y=3代入此方程得：3×3=k+1,k=8.
2、已知5x3m-ny3m与-4x2ny5+2n是同类项，则m=________,n=________________.
【解】根据同类项的概念得：，解这个方程组得：
3、甲乙两人共解方程组由于甲看错了方程（2）中的n值，得到方程组的解为：，乙看错了方程（1）中m的值，得到方程组的解为，请问原方程组正确的解为多少？
【解】把代入（1）得：m=1,把代入（2）得：n=1.5,
所以原方程组为：，解得：。
专题三、二元一次方程组的实际应用
知识要点:
1、建立方程组解应用题的一般步骤有：(1)审题，弄清题意，找到等量关系。
（2）设元，一般直接设，如果直接设元，很难建立方程组，也可以间接设元。
（3）建立二元一次方程组。（4）解二元一次方程组，（5）检验，作答。
注意！（1）建立方程组之前，要检查是否需要统一单位，（2）设元和作答要带单位，
2、常用数量关系：
（1）行程问题：路程=速度×时间；
（2）工程问题：工作量=工作时间×工作效率
（3）数字问题：一个三位数用代数式表示为：百位数字×100+十位数字×10+个位数字。
（4）销售问题：售价-进价=利润，，售价=（1+利润率）进价
【例1】（2011山东济南）某小学在6月1日组织师生共110人到趵突泉公园游览，趵突泉公园规定：成人票价每位40元，学生票价每位20元．该学校购票共花费2400元，在这次游览活动中，教师和学生各有多少人？
【思考】题中等量关系是什么？
．①教师人数+学生人数=110人，②教师的总票钱+学生的总票钱=2400元．
【解】：设在这次游览活动中，教师有x人，学生各有y人，由题意得：
，
解得：，
答：在这次游览活动中，教师有10人，学生各有100人．
点评：解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系。
【例2】.为建设节约型、环境友好型社会，克服因干旱而造成的电力紧张困难，切实做好节能减排工作．某地决定对居民家庭用电实行“阶梯电价”，电力公司规定：居民家庭每月用电量在80千瓦时以下（含80千瓦时，1千瓦时俗称1度）时，实行“基本电价”；当居民家庭月用电量超过80千瓦时时，超过部分实行“提高电价”．
（1）小张家2011年4月份用电100千瓦时，上缴电费68元；5月份用电120千瓦时，上缴电费88元．求“基本电价”和“提高电价”分别为多少元/千瓦时？
（2）若6月份小张家预计用电130千瓦时，请预算小张家6月份应上缴的电费．
【思考】（1)等量关系是什么？
四月份缴纳的电费=68元，5月份的电价=88元。
设“基本电价”和“提高电价”分别为x、y元/千瓦时，用含有x、y的代数式表示4月份的电价为__________________,6月份的电价为____________________.
答：80x+（100-80）y， 80x+（120-80）y
【解】（1）设“基本电价”为x 元/千瓦时，“提高电价”为y元/千瓦时，根据题意，得解之，得
答：“基本电价”为0.6元/千瓦时，“提高电价”为1元/千瓦时．
（2）80×0.6+（130-80）×1=98（元）．
答：预计小张家6月份上缴的电费为98元．
【点评】关键是理解明确上缴电费的计算方法，并列出方程组．
【变式练习】
1、（2011福建泉州）某班将举行“庆祝建党90周年知识竞赛“活动，班长安排小明购买奖品，下面两图是小明买回奖品时与班长的对话情境：
请根据上面的信息．解决问題：
（1）试计算两种笔记本各买了多少本？
（2）请你解释：小明为什么不可能找回68元？
【解】：（1）设5元、8元的笔记本分别买x本、y本，
依题意得，解得，
答：5元、8元的笔记本分别买了25本和15本；
解法二：设买x本5元的笔记本，则买（40﹣x）本8元的笔记本，
依题意得，5x+8（40﹣5x）=300﹣68+13，
解得x=25（本），y=40﹣25=15（本）．
答：5元、8元的笔记本分别买了25本和15本；
（2）解法一：设应找回钱款为300﹣5×25﹣8×15=55≠68，故不能找回68元．
解法二：设买m本5元的笔记本，则买（40﹣m）本8元的笔记本，
依题意得，5m+8（40﹣m）=300﹣68，
解得：m=，
∵m是正整数，
∴m=不合题意，舍去．
∴不能找回68元．
解法三：买25本5元笔记本和15本8元的笔记本的价钱总数应为奇数而不是偶数，故不能找回68元．
【点评】读懂两人的对话，并找到等量关系是解题的关键。
2、（2011海南）在海南东环高铁上运行的一列“和谐号”动车组有一等车厢和二等车厢共6节，一共设有座位496个．其中一等车厢每节设座位64个，二等车厢每节设座位92个．试求该列车一等车厢和二等车厢各有多少节？
【解】：设该列车一等车厢和二等车厢各有x、y节，根据题意得：
，解得：．
答：该列车一等车厢和二等车厢各有2，4节．
点评：解题的关键是由已知找出两个相等关系。
3、（2011吉林长春）在长为10m，宽为8m的矩形空地中，沿平行于矩形各边的方向分割出三个全等的小矩形花圃，其示意图如图所示．求小矩形花圃的长和宽．
提问：题中的等量关系是什么？
（1）小长方形的长的2倍+小长方形的宽=10cm，
（2）小长方形的宽的2倍+小长方形的长=8cm
解答：解：设小矩形的长为xcm，宽为ycm，由题意得：
，
解得：．
答：小矩形的长为4cm，宽为2cm．
【点评】：关键是：细心观察图形，找出等量关系。
作业：数学报《二元一次方程组》综合测试卷
