期末复习 第3章 平面上直线的位置关系和度量关系
专题一、线段、直线、射线
【知识要点】
直线、射线、线段之间的区别：
名称 区别
端点个数 延伸状态 长度
直线 无 向两方无限延伸 不确定
射线 1个 向一方无限延伸 不确定
线段 2个 向两方都不延伸 有长度，可度量
联系 射线是直线的一部分。线段是射线的一部分，也是直线的一部分
2．直线和线段的性质：
直线的性质：（1）经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线；
（2）两条直线相交，有且只有一个交点．
线段的性质：两点之间的所有连线中，线段最短，即两点之间，线段最短
3、线段中点的概念：把线段分成相等的两条线段的点叫线段的中点。
如图，若OA=OB,则点O是AB的中点，若点O是线段AB的中点，则OA=OB.
【典型题例剖析】
【例1】如图，平面内有A、B、C、D四个点，分别画出直线OA,射线OB，线段OC，在所画图形中可以得到几条线段，写出各线段。
【分析】画直线要向两方延伸，画线段只向一方延伸，画线段，不能延伸。
【解】如图，可以得到三条线段：OA,OB,OC.
【例2】已知线段a,b,画线段AB，使AB=3a+b.
【分析】先画一条射线，再在射线上依次画四条线段分别等于a,a,a,b
【画法】(1)、画射线AM，
(2)、在射线AM上依次截取线段AC=3a，CB=b，
则线段AB=3a+b.
【例3】如图，延长线段AB到C，使BC=2AB,取AC的中点D，已知BD=2cm,求AC的长。
【解】因为D是AC的中点，所以,AD=DC
设AB=x，则AD=DC=2+x,BC=2+2+x,
由于BC=2AB，所以，2+2+x=2x,解得：x=4.
所以AC=2AD=2(2+x)=2(2+4)=12(cm).
【点评】解决本题关键是理解线段中点的含义，利用数形结合，设未知数建立方程求解。
【变式练习】
1、下列语句不正确的是（ ）
A 画直线AB，使CD=AB; B、 延长线段AB到C。
C 点M是线段AB的中点，则AM=MB, D 、画线段AB，使AB=a,
2、如图，点A、B、C是直线l上三个点，则图中共有线段的条数是（ ）
A、 1条， B 、2条， C、 3条, D 、 4条
3、已知线段AB=6cm,在直线AB上取一点C，使AC=2cm,则BC=_____cm.
【解】如图，C在线段AB反向延长线上时，BC=AC+AB=2+3=5cm,
C在线段AB上是，BC=AB-AC=3-2=1cm.
4、如图，已知线段a,b(a>3b),画线段AB使AB=a-3b.
【解】（1）、作射线AM, （2）在射线AM上取AB=a,
（3）在线段AB上取BC=3a.
则AC=a-3b.
专题二、角的度量与计算
知识要点
1．角的定义：有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角；或是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形．
2．角的度量：把平角分成180份，每一份是1°的角，1°=6 0′，1′= 6 0″
3．角的分类：
分类 锐角 直角 钝角
度数 00<α<90° α=90° 90 <α，180
分类 平角 周角
度数 α=180° α=360°
4．相关的角及其性质：
余角：如果两个角的和等于90 ，那么这两个角互为余角．
补角：如果两个角的和等于180°，那么这两个角互为补角．
性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等；对顶角相等．
6．角平分线：从角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。
典型题例
【例1】（2011邵阳，8，3分）如图所示，已知O是直线AB上一点，∠1=40°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是
（ ）
A.20° B.25° C.30° D.70°
【分析】：先根据平角的定义求出∠COB的度数，再由OD平分∠BOC即可求出∠2的度数．
【解】∵∠1=40°，∴∠COB=180°﹣40°=140°，
∵OD平分∠BOC，∴∠2=∠BOC=×140°=70°．
故选D
【点评】解决本题的关键是理解角平分线的含义。
【例2】一个角的补角是这个角的余角的3倍数，求这个角的度数。
【解】设这个角的度数为x则:180-x=3(90-x),解这个方程得：x=45
所以这个角为450
【点评】构造方程解题最方便
【例3】将两块直角三角板的顶点重合(如图)，
（1）写出以O为顶点的相等的角；
（2）判断∠AOD与∠BOC具有何种数量关系。
【解】（1）因为∠AOC+∠BOC=∠DOB+∠BOC=90
∴∠AOC=∠DOB
(2) ∠AOD与∠BOC互补，理由如下：
∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOD+∠BOC=∠AOB+∠COD=90 +90 =180
【变式练习】1、45.6 可以化为（ ）
45 36′,B 、 45 6′,C、 45 60′,D、 45°12′
【解】0.6 =0.6×60′=36′
∴45.6 =45 36′，选A.
2、计算：（1）14 16′+36 42′，（2）98 -55 48′
【解】（1）14 16′+36 42′=50 48′
（2）98 -55 48′=97 60′-55 48′=42°12′
3、已知∠α=36 35′，则∠α的余角等于_________,补角等于____________.
【解】∠α的余角=90 -36 35′=53°25′，∠α的余角=180 -36 35′=143°25′
4、如图，∠AOC为直角，OC是∠BOD的平分线，且∠AOB=35°，求∠AOD的度数。
【解】∠BOC=90 -∠AOB=90 -35 =55
∵OC是∠BOD的平分线, ∴∠COD=∠BOC=55
∴∠AOD=∠AOC+∠COD=90 +55 =145
专题三、对顶角、垂直及其他性质
知识要点
1、一个角的两边和另一个角的两边互为反向延长线时，这两个角角_______,对顶角_________.
2、两条直线相交，形成的四个角中，如果有一个角是_______,那么这两条直线互相垂直。
3、过直线外的一点，有且只有_____条直线与已知直线垂直。
4、连接直线外一点和直线上所有各点的线段中，__________最短。
5、点到直线的垂线段的长叫这点到这条直线的______.
典型题例剖析
【例1】如图，直线EO⊥CD，垂足为点O，OA平分∠EOD，B在直线OA上，则∠BOD的度数为（ ）
A 120°,B 130° C 135°,D 140°
【解】∵EO⊥CD, ∴∠EOD=90
∵OA平分∠EOD,∴∠AOD=0.5∠EOD=45
∵∠AOD+∠BOD=180
∴∠BOD=180 -∠AOD=180°-45°=135°
【点评】关键是充分利用垂直的定义和角平分线的性质，及观察未知角和已知角的关系。
【例2】如图，直线AB、CD、EF相交于O, ∠AOF=4∠FOB, ∠AOC=90 ,
则∠EOC=( )
A、 36°,B 、 54° C 、72 D、 90
【解】∵∠AOF+∠FOB=180°,∠AOF=4∠FOB
∴4∠FOB+∠FOB=180 ,5∠FOB=180°
∴∠FOB=36
∴∠AOE=∠FOB=36°
∠EOC=∠AOC-∠AOE=90 -36 =54 ,选B.
【点评】本题关键是寻找对顶角，并利用对顶角相等的性质。
【变式练习】
1、如图，△ABC中，AD⊥BC于D，AB=3，AC=4，BC=5，则C到AB的距离是________,B到AC的距离是_______,A到BC的距离是_______.
【解】C到AB的距离是线段AC的长即为4，B到AC的距离为线段AB的长，即为3，根据三角形面积公式有：AD×BC=AB×AC
∴3×4=5AC, ∴AC=2.4
2、（2011泰安）如图，l∥m，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上，若∠β＝20°，则∠α的度数为（ ）
A．25° B．30° C．20° D．35°
解答：解：
∵∠β＝20°，∠ACB＝90°，
∴∠ACR＝180°－90°－20°＝70°，
∵l∥m，∠FDC＝∠ACR＝70°，
∴∠AFD＝∠FDC－∠A＝70°－45°＝25°，
∴∠a＝∠AFD＝25°，
故选A．
3、如图，直线AB，CD交于点O,OF⊥CD，∠BOF=∠DOE,你能说出OE与AB的位置关系吗？说明理由。
【解】直线OE与AB垂直，理由如下：
∵OF⊥CD, ∴∠2+∠BOD=90 ,
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BOD=90 ,即: ∠EOB=90
∴OE⊥AB
考点四、平行线的性质与判定
知识要点
1、平行公理
（1）过直线外一点有且只有____条直线和已知直线平行。
（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线_______.
2、平行线的判定
（1）利用角的关系有：
同位角______,两直线平行，内错角_______,两直线平行。同旁内角______,两直线平行。
注意！两条直线被第三条直线所截，形成的同位角、内错角、同旁内角具有上面关系，才能判定这两条直线平行。
(2) 利用线的关系：
两条直线都和第三条直线_______,那么这两条直线互相平行。
②两条直线都垂_____第三条直线，那么这两条直线互相平行，
3、平行线的性质
（1）两条直线平行，同位角_____,(2) ）两条直线平行，内错角_____,
（3））两条直线平行，同旁内角_____,
典型题例
【例1】（2011四川泸州）如图，∠1与∠2互补，∠3=135°，则∠4的度数是（ ）
A.45° B.55° C.65° D.75°
【分析】：因为∠1与∠2互补，所以a∥b，又因为∠3=∠5，
(
5
)所以∠4与∠5互补，则∠4的度数可求．
【解】∵∠1与∠2互补，∴a∥b，
∵∠3=∠5， ∴∠5=135°，
∵a∥b， ∴∠4与∠5互补，
∴∠4=180°－135°=45°．
故选A．
【点评】本题由角的关系得到线的平行，由线的平行，得到角的关系，正确认识平行线的性质和判定是解题的关键。
【例2】（2011 恩施州）将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是（ ）
A、43° B、47° C、30° D、60°
【分析】：如图，延长BC交刻度尺的一边于D点，利用平行线的性质，对顶角的性质，将已知角与所求角转化到Rt△CDE中，利用内角和定理求解．
【解】如图，延长BC交刻度尺的一边于D点，
∵AB∥DE，
∴∠β=∠EDC，
又∠CED=∠α=43°，
∠ECD=90°，
∴∠β=∠EDC=90°﹣∠CED=90°﹣43°=47°，
故选B．
【点评】：本题关键是构造两条平行线之间的截线，将问题转化到直角三角形中求解．
【变式练习】
1、如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（ ）
(
3
)A、32° B、58° C、68° D、60°
【解】因为直尺的两边是平行的，
所以∠2=∠3=90 -∠1=90 -32 =58
选B.
2、如图，点B、C、D在同一条直线上，CE∥AB，∠ACB=90°，如果∠ECD=36°，那么∠A=
【解】解：∵∠ECD=36°，∠ACB=90°，
∴∠ACD=90°，
∴∠ACE=∠ACD-∠ECD=90°-36°=54°，
∵CE∥AB，
∴∠A=∠ACE=54°．
故答案为：54°．
3、（2011四川攀枝花，14，4分）如图，直线l1∥l2，∠1=55°，∠2=65°，则∠3= 60° ．
【解】如图所示：∵l1∥l2，∠2=65°，∴∠6=65°，∵∠1=55°，∴∠1=∠4=55°，在△ABC中，∠6=65°，∠4=55°，∴∠3=180°﹣65°﹣55°=60°．故答案为：60°．
4（2011山东淄博19，分）如图，直线AB，CD分别与直线AC相交于点A，C，与直线BD相交于点B，D．若∠1=∠2，∠3=75°，求∠4的度数．
【分析】：根据平行线的判定得出AB∥CD，从而得出∠3=∠4，即可得出答案．
【解】∵∠1=∠2，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行），
∴∠3=∠4=75°（两直线平行，内错角相等）．
专题五 图形的平移
知识要点：
1．什么是平移？
把一个图形上的所有的点按照同一方向移动相同的距离叫做平移．
注意！所以判断一种变换是否是平移要从两个方面来分析：一是各点移动的方向相同；二是各点移动的距离相等．
2．平移变换有哪些性质？
（1）“平移不改变图形的形状和大小”．也就是说平移后，图形的长度、角度、面积等都不发生变化．
（2）“平移把直线变成与它平行的直线”．所以可以利用平移来作平行线．
（3）两条平行线中的一条，可以通过平移与另一条重合．
典型题例剖析
【例1】（2011 西宁）如图，△DEF经过怎样的平移得到△ABC（ ）
A、把△DEF向左平移4个单位，再向下平移2个单位 B、把△DEF向右平移4个单位，再向下平移2个单位
C、把△DEF向右平移4个单位，再向上平移2个单位 D、把△DEF向左平移4个单位，再向上平移2个单位
【分析】：根据网格图形的特点，结合图形找出对应点的平移变换规律，然后即可选择答案．
【解】根据图形，△DEF向左平移4个单位，向下平移2个单位，即可得到△ABC．
故选A．
【点评】：本题考查了平移变换的性质以及网格图形，准确识别图形是解题的关键．
(
a
a
a
a
a
a
)
【例2】.如图,阴影部分的面积为 ( )
A.a2； B.2 a2； C. a2； D.a2.
【解析】把左边正方形中的阴影部分平移到右边正方形的空白处，阴影部分刚好拼成了一个正方形。所以阴影部分面积为a2,选A.
【点评】有些不规则的图形可以通过平移（或轴反射、旋转）使它变成规则图形。
【例题3】在方格中平移将△ＡＢＣ平移两次，第一次使A点移到M，第二次使A点移到N。
【变式练习】
1、如图，要为一段高为5米，水平长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要 米.
2、如图4.2-25所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿方向平移得到．如果，，，则HE=_____cm．CF=_____cm.
【解】根据平移的性质，得：DE=AB=8cm,
BE=CF=4cm.
所以，HE=DE-DH=8-3=5cm.
3、在右面的网格中，平移图形A，使它与图形B拼合成一个长方形，应将图A向 （填“左”或“右”）平移 格；再向 （填“上”或“下”）平移 格.(共55张PPT)
期末复习
专题一、线段、直线、射线
【知识要点】
1、直线、射线、线段之间的区别：
名称 区别
端点个数 延伸状态 长度
直线 无 向两方无 限延伸 不确定
射线 1个 向一方无 限延伸 不确定
线段 2个 向两方都 不延伸 有长度，
可度量
联系 射线是直线的一部分。线段是 射线的一部分，也是直线的一部分
2．直线和线段的性质：
直线的性质：
（1）经过两点有且只有____条直线，即两点确定___条直线；
（2）两条直线相交，有且只有___个交点．
线段的性质：
两点之间的所有连线中，
___最短，即两点之间，线段最短
一
一
一
线段
3、线段中点的概念：
把线段分成相等的两条线段的点叫线段的______。
如图，若OA=OB,
则点O是AB的_____，
若点O是线段AB的中点，则________.
中点
中点
OA=OB
【典型题例剖析】
【例1】如图，平面内有A、B、C、D四个点，分别画出直线OA,射线OB，线段OC，在所画图形中可以得到几条线段，写出各线段。
【分析】画直线要向两方延伸，
画射线只向一方延伸，画线段，
不能延伸。
【解】如图，可以得到三条线段：OA,OB,OC.
【例2】已知线段a,b,画线段AB，使AB=3a+b.
【分析】先画一条射线，再在射线上依次画四条线段分别等于a,a,a,b
【画法】
(1)、画射线AM，
(2)、在射线AM上依次截取线段AC=3a，CB=b，
则线段AB=3a+b.
【例3】如图，延长线段AB到C，使BC=2AB,取AC的中点D，已知BD=2cm,求AC的长。
【解】因为D是AC的中点，所以,AD=DC
设AB=x，则AD=DC=2+x,BC=2+2+x=4+x,
由于BC=2AB，
所以，2+2+x=2x,解得：x=4.
所以AC=2AD=2(2+x)=2(2+4)=12(cm).
【点评】解决本题关键是理解线段中点的含义，利用数形结合，设未知数建立方程求解。
【变式练习】
1、下列语句不正确的是（ ）
A 画直线AB，使CD=AB;
B、 延长线段AB到C。
C 点M是线段AB的中点，则AM=MB,
D 、画线段AB，使AB=a,
A
2、如图，点A、B、C是直线l上三个点，则图中共有线段的条数是（ ）
A、 1条， B 、2条，
C、 3条, D 、 4条
C
3、已知线段AB=6cm,在直线AB上取一点C，使AC=2cm,则BC=_____cm.
【解】如图，C在线段AB反向延长线上时，
BC=AC+AB=2+6=8cm,
C在线段AB上时，
BC=AB-AC=6-2=4cm.
4、如图，已知线段a,b(a>3b),画线段AB使AC=a-3b.
【解】（1）、作射线AM,
(2）在射线AM上取AB=a,
（3）在线段AB上取BC=3b.
则AC=a-3b.
专题二、角的度量与计算
知识要点
1．角的定义：
有___________的两条射线所组成的图形叫做角；
由一条射线绕着它的
端点_______而成的图形．
公共端点
旋转
2．角的度量：
(1)、把平角分成180份，每一份是____°的角；
(2)、1°=_____′，1′= _____″
3．角的分类：
1
6 0
6 0
分类 锐角 直角 钝角
度数 00<α<90° α=90° 90 <α<180
分类 平角 周角
度数 α=180° α=360°
4．相关的角及其性质：
余角：如果两个角的和等于_____ ，那么这两个角互为余角．
如图，∠1与∠2，∠B与∠1
∠2与∠C是互为余角。
补角：如果两个角的和等于_____°，那么这两个角互为补角．
如图，∠α、∠β互为补角。
90
180
性质：（1）同角或等角的余角_______；
如图，∵∠1+∠2=90 ，∠B+∠1=90
∴∠B=∠2
（2） 同角或等角的补角_____；
如图，∵ ∠ α +∠ γ=180 °， ∠ β+ ∠ γ=180 °
∴ ∠ α =∠ β
(3)对顶角_______．
相等
相等
相等
5．角平分线：从角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个______的角，这条射线叫做这个角的平分线。
如图，若 ∠1= ∠2，
则OC是 ∠AOB的平分线。
若OC是∠AOB的平分线，则， ∠1= ∠2
相等
【例1】（2011邵阳）如图所示，已知O是直线AB上一点，∠1=40°，OD平分∠BOC，则∠2的度数是（ ）
A.20° B.25° C.30° D.70°
【分析】：先根据平角的定义求出∠COB的度数，再由OD平分∠BOC即可求出∠2的度数．
【解】∵∠1=40°，∴∠COB=180°﹣40°=140°
∵OD平分∠BOC，∴∠2=0.5∠BOC=0.5×140°=70°．
【点评】解决本题的关键是理解角平分线的含义。
D
典型题例剖析
【例2】一个角的补角是这个角的余角的3倍数，求这个角的度数。
【解】设这个角的度数为x,
则:180-x=3(90-x),
解这个方程得：x=45
所以这个角为450
【点评】构造方程解题最方便
【例3】将两块直角三角板的顶点重合(如图)
（1）写出以O为顶点的相等的角；
（2）判断∠AOD与∠BOC具有何种数量关系。
【解】
（1）因为∠AOC+∠BOC
=∠DOB+∠BOC=90
∴∠AOC=∠DOB
(2) ∠AOD与∠BOC互补，理由如下：
∠AOD+∠BOC=∠AOB+∠BOD+∠BOC
=∠AOB+∠COD
=90 +90 =180
1、45.6 可以化为（ ）
A、45 36′, B 、 45 6′,
C、 45 60′, D、 45°12′
【解】0.6 =0.6×60′=36′
∴45.6 =45 36′，选A.
【变式练习】
A
2、计算：（1）14 16′+36 42′，
（2）98 -55 48′
【解】
（1）14 16′+36 42′=50 58′
（2）98 -55 48′
=97 60′-55 48′
=42°12′
3、已知∠α=36 35′，则∠α的余角等于_________, ∠α补角等于____________.
【解法1】
∠α的余角=90 -36 35′=53°25′，
∠α的补角=180 -36 35′=143°25′
【解法2】
∠α的补角=90°+ 53°25′ =143°25′
4、如图，∠AOC为直角，OC是∠BOD的平分线，且∠AOB=35°，求∠AOD的度数。
【解】∠BOC=90 -∠AOB=90 -35 =55
∵OC是∠BOD的平分线,
∴∠COD=∠BOC=55
∴∠AOD=∠AOC+∠COD
=90 +55 =145
专题三、对顶角、垂直及其他性质
知识要点
1、一个角的两边和另一个角的两边互为反向延长线时，这两个角叫_______,
对顶角_________.
如图，∠AOC与∠BOD,
∠AOD与∠BOC是对顶角。
2、两条直线相交，形成的四个角中，如果有一个角是_______,那么这两条直线互相垂直。
如图，若∠BOC=90 ,则AB⊥CD
若AB⊥CD,
则∠BOC=∠AOC
=∠AOD=∠DOB=90°
对顶角
相等
直角
3、过直线外的一点，有且只有_____条直线与已知直线垂直。
4、连接直线外一点和直线上所有各点的线段中，________最短。
如图，点B、C、D、E在直线
L上，AD⊥ L，则AD在线段
AB、AC、AD、AE中是最短的。
一
垂线段
5、点到直线的垂线段的长叫这点到这条直线的______.
如图，AD ⊥l，垂足为D，则线段AD的长度就是点A到直线l的距离。
距离
典型题例剖析
【例1】如图，直线EO⊥CD，垂足为点O，OA平分∠EOD，B在直线OA上，则∠BOD的度数为
（ ）
A 120°,B 130° C 135°,D 140°
【解】∵EO⊥CD, ∴∠EOD=90
∵OA平分∠EOD,
∴∠AOD=0.5∠EOD=45
∵∠AOD+∠BOD=180
∴∠BOD=180 -∠AOD
=180°-45°=135°
【点评】关键是充分利用垂直的定义和角平分线的性质，及观察未知角和已知角的关系
C
【例2】 如图，直线AB、CD、EF相交于O, ∠AOF=4∠FOB, ∠AOC=90 ,
则∠EOC=( )
A、 36°,B 、 54° C 、72 D、 90
【解】∵∠AOF+∠FOB=180°,∠AOF=4∠FOB
∴4∠FOB+∠FOB=180 ,5∠FOB=180°
∴∠FOB=36
∴∠AOE=∠FOB=36°
∠EOC=∠AOC-∠AOE
=90 -36 =54 ,选B.
【点评】本题关键是寻找对顶角，并利用对顶角相等的性质。
B
【变式练习】
1、如图，△ABC中，AD⊥BC于D，AB=3，AC=4，BC=5，则C到AB的距离是________,B到AC的距离是_______,A到BC的距离是_______.
【解】C到AB的距离是线段AC的长即为4，
B到AC的距离为线段AB的长，即为3，
根据三角形面积公式有：
AD×BC=AB×AC
∴3×4=5AD, ∴AD=2.4
∴A到BC的距离是AD的长度2.4.
4
3
2.4
2、（2011泰安）如图，l∥m，等腰直角三角形ABC的直角顶点C在直线m上，若∠β＝20°，则∠α的度数为（ ）
A．25° B．30° C．20° D．35°
【解】
∵∠β＝20°，∠ACB＝90°，
∴∠ACR＝180°－90°－20°
＝70°，
∵l∥m，∠FDC＝∠ACR＝70°，
∴∠AFD＝∠FDC－∠A＝70°－45°＝25°，
∴∠a＝∠AFD＝25°，
3、如图，直线AB，CD交于点O,OF⊥CD，∠1=∠2,你能说出OE与AB的位置关系吗？说明理由。
【解】直线OE与AB垂直，理由如下：
∵OF⊥CD,
∴∠2+∠BOD=90 ,
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BOD=90 ,
即: ∠EOB=90
∴OE⊥AB
考点四、平行线的性质与判定
知识要点
1、平行公理
（1）过直线外一点有且只有____条直线和已知直线平行。
（2）如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线_______.
若a ∥c,b ∥c
则a ∥b
一
a
b
c
平行
2、平行线的判定
（1）利用角的关系有：
同位角______,两直线平行，
内错角_______,两直线平行。
同旁内角______,两直线平行。
如图，若∠1=∠2（或∠2=∠3或∠2+∠4=180°）则AB∥CD
思考：如图，∠1=∠2，
能判定 AB∥CD 吗？
相等
相等
互补
(2) 利用线的关系：
①两条直线都和第三条直线_______,那么这两条直线互相平行。
如图，若c ∥a,b ∥a
则c ∥b
②两条直线都垂_____第三条直线，那么这两条直线互相平行.
如图，若a ⊥c,b ⊥c
则a ∥b
平行
垂直
3、平行线的性质
（1）两条直线平行，同位角_____,
(2) 两条直线平行，内错角_____,
（3））两条直线平行，同旁内角_____,
如图，若AB ∥CD,
则∠ 1=∠2， ∠2=∠ 3,∠ 2+∠4=180
（4）一条直线垂直于两条平行线中的一条，必垂直另一条。
如图，若，a ∥b,a ⊥c
则b⊥C
相等
相等
互补
典型题例剖析
【例1】（2011四川泸州）如图，∠1与∠2互补，∠3=135°，则∠4的度数是（ ）
A.45° B.55° C.65° D.75°
【解】
∵∠1与∠2互补，∴a∥b，
∵∠3=∠5，
∴∠5=135°，
∵a∥b，
∴∠4与∠5互补，
∴∠4=180°－135°=45°．
A
【分析】：因为∠1与∠2互补，所以a∥b，又因为∠3=∠5，
所以∠4与∠5互补，则∠4的度数可求．
【点评】本题由角的关系得到线的平行，由线的平行，得到角的关系，正确认识平行线的性质和判定是解题的关键。
5
【例2】（2011 恩施州）将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果∠α=43°，则∠β的度数是（ ）
A、43° B、47° C、30° D、60°
【解】如图，延长BC交刻度尺的一边于D点，
∵AB∥DE，
∴∠β=∠EDC，
又∠CED=∠α=43°，
∠ECD=90°，
∴∠β=∠EDC=90°﹣∠CED
=90°﹣43°=47°
【分析】：如图，延长BC交刻度尺的一边于D点，利用平行线的性质，对顶角的性质，将已知角与所求角转化到Rt△CDE中，利用内角和定理求解．
B
【点评】：本题关键是构造两条平行线之间的截线，将问题转化到直角三角形中求解
A
B
C
D
E
【变式练习】
1、如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=32°，那么∠2的度数是（ ）
A、32° B、58° C、68° D、60°
【解】因为直尺的两边是平行的，
所以∠2=∠3
=90 -∠1
=90 -32
=58
B
3
2、如图，点B、C、D在同一条直线上，CE∥AB，∠ACB=90°，如果∠ECD=36°，那么∠A= ______
【解】∵∠ECD=36°，∠ACB=90°
∴∠ACD=90°
∴∠ACE=∠ACD-∠ECD
=90°-36°
=54°
∵CE∥AB
∴∠A=∠ACE=54°．
54°
3、（2011四川攀枝花）如图，直线l1∥l2，∠1=55°，∠2=65°，则∠3=_____
【解】如图所示：
∵l1∥l2，∠2=65°
∴∠6=∠5=65°
∵∠1=55°
∴∠1=∠4=55°，
在△ABC中，∠6=65°，∠4=55°
∴∠3=180°﹣65°﹣55°=60°．
60°
5
6
4
4（2011山东淄博）如图，直线AB，CD分别与直线AC相交于点A，C，与直线BD相交于点B，D．若∠1=∠2，∠3=75°，求∠4的度数．
【分析】：根据平行线的判定得出AB∥CD，从而得出∠3=∠4，即可得出答案．
【解】∵∠1=∠2，
∴AB∥CD
（同位角相等，两直线平行），
∴∠3=∠4=75°
（两直线平行，内错角相等）．
专题五 图形的平移
知识要点：
1．什么是平移？
把一个图形上的所有的点按照______方向移动相同的______叫做平移．
注意！
所以判断一种变换是否是平移要从两个方面来分析：一是各点移动的方向相同；二是各点移动的距离相等．
同一
距离
2．平移变换有哪些性质？
（1）“平移不改变图形的_____和_____”
也就是说平移后，图形的长度、角度、面积等都不发生变化．
（2）“平移把直线变成与它平行的直线”
所以可以利用平移来作平行线．
（3）两条平行线中的一条，可以通过平移与另一条重合．
形状
大小
典型题例剖析
【例1】（2011 西宁）如图，△DEF经过怎样的平移得到△ABC（ ）
A、把△DEF向左平移4个单位，再向下平移2个单位
B、把△DEF向右平移4个单位，再向下平移2个单位
C、把△DEF向右平移4个
单位，再向上平移2个单位
D、把△DEF向左平移4个
单位，再向上平移2个单位
A
关键是（1）分清是哪个
图形移动得到哪个图形；
（2）只需要考虑一个点移动
的方式就可以了。
【例2】.如图,阴影部分的面积为 ( )
A.a2； B.2 π a2；
C. π a2； D. a2.
【解析】把左边正方形中的阴影部分平移到右边正方形的空白处，阴影部分刚好拼成了一个正方形。所以阴影部分面积为a2,选A.
【点评】
有些不规则的图形可以通过平移（或轴反射、旋转）使它变成规则图形。
【例题3】在方格中平移将△ＡＢＣ平移两次，第一次使A点移到M，第二次使A点移到N。
【变式练习】
1、如图，要为一段高为5米，水平长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少要 米.
【解】通过平移，地毯的长度等于直角三角形的两条直角边
所以地毯的长度为5+13=18（米）
2、如图所示是重叠的两个直角三角形．将其中一个直角三角形沿 方向平移得到 ．如果 AB=8cm，BE=4cm ，DH=3cm ，则HE=_____cm．CF=_____cm.
【解】根据平移的性质，得：DE=AB=8cm,
BE=CF=4cm.
所以，HE=DE-DH=8-3=5cm.
3、在右面的网格中，平移图形A，使它与图形B拼合成一个长方形，应将图A向 ____（填“左”或“右”）平移 __格；再向___ （填“上”或“下”）平移 格.
右
五
上
两
作业：《数学报》P9
《平面上直线的位置关系和度量关系》综合检测试题
