期末复习 第4章多项式的运算
专题一、多项式的加法和减法
【知识要点】
1．多项式的加、减法的法则是__________.(合并同类项)
2. 多项式加减运算往往需要去括号，去括号的法则是：去掉括号和“-”，括号里面的各项要_______,去掉括号和“+”，括号里的各项_________.添括号和去括号法则类似。
3.多项式的加减，一般要把多项式加________.(括号)
二、典型题例剖析
【例1】计算：3x2+2x2+5x2y-2x2y
【分析】整式加减运算，其实就是合并同类项，合并时，同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
【解】3x2+2x2+5x2y-2x2y=（3x2+2x2）+(5x2y-2x2y)=5x2+3x2y
【点评】注意！把同类项组合，需要添括号，添括号时要注意符号。
【例2】化简求值：4a2-[-a2+(2a2-3a)-2(a2-1.5a)],其中a=-0.5
【解】4a2-[-a2+(2a2-3a)-2(a2-1.5a)]=4a2-[-a2+2a2-3a-2a2+3a]=4a2-(-a2)=5a2
当a=-0.5时，原式=5×（-0.5）2=1.25
【点评】对于有多重括号的加减运算，应逐步去括号，一般从内向外。求代数式的值，一般要先化简，再代入计算。这样可以简化运算。
【例3】绿谷商场“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示：
类别 冰箱 彩电
进价（元/台） 2220 1800
售价（元/台） 2420 1980
为了满足市场需求商场决定采购冰箱、彩电共40台，设采购冰箱x台，求该商场获得的总利润。
【分析】每台的利润乘以台数等于总利润。
【解】冰箱每台利润是（2420-2220）元，x台冰箱利润是：（2420-2220）x
彩电每台利润是：（1980-1800）元，彩电的数量是：（40-x）,(40-x)台彩电的利润是：
（1980-1800）（40-x），因此冰箱、彩电共40台的总利润是：
（2420-2220）x+（1980-1800）（40-x）=200x+180(40-x)=20x+7200
即该商场的总利润是：（20x+7200）元。
【点评】对于实际问题，理解题意是关键，本题关键是理解利润和售价、进价的关系。
【变式练习】
1、已知0.5x2+x+1与A的和是x,则A=( )
A、 0.5x2+1，B、 -0.5 x2+1，C、 0.5x2,-1，D、-0.5 x2-1，
【解】A=x-（0.5x2+x+1）=x-0.5x2-x-1=-0.5x2-1.选D.
2、如果多项式A减去-3x+5,再加上x2-x-7后得5x2-3x-1,则A为（ ）
A、 4x2+5x+11, B、 4x2-5x-11 C、 4x2-5x+11, D、 4x2+5x-11
【解】A=(5x2-3x-1)-( x2-x-7)+( -3x+5)=5x2-3x-1 -x2+x+7-3x+5=4x2-5x+11,选C
3、已知A=3x2-2x+1.B= 2x3-x2+3x-7,求3A-2B.
【解】3A-2B=3（3x2-2x+1）-2（2x3-x2+3x-7）
=9x2-6x+3-4x3+2x2-6x+14
=-4x3+11x2-12x+17
主题二、幂的运算
知识要点
1、同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数______,指数___________.即：am.an=am+n
2、幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数_____．可表示为（am）n=amn（m,n都是正整数）．如(52)6=52×6=512,(x4)3=x4×3=x12等.
3、积的乘方法则：积的乘方，等于积里各个因式分别________,即：(ab)n=anbn(n是正整数)
【典型题例剖析】
【例1】（2011江苏南京，2，2分）下列运算正确的是（ ）
A、a2+a3=a5 B、a2 a3=a6
C、a3+a2=a D、（a2）3=a6
【分析】：根据合并同类项法则、积的乘方和幂的乘方的法则运算．
【解】
A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误；
B、a2 a3=a2+3=a5≠a6，故本选项错误；
C、a3与a2不是同类项，不能合并，故本选项错误；
D、（a2）3=a2×3=a6，故本选项正确．
故选D．
【点评】：熟练掌握幂的乘方与积的乘方、合并同类项等知识，是解题的关键。
【例2】若a2m-1.am+2=a7,则m=______.
【解】因为a2m-1.am+2=a7，所以，a3m+1=a7,所以，3m+1=7,所以，m=2.
【点评】本题利用了am=an,则m=n.
若am=2,bm=0.5,求(ab)2m的值。
【解】(ab)2m=a2mb2m=(am)2.(bm)2=(ambm)2=(2×0.5)2=12=1.
【点评】本题逆用幂的乘方公式，即amm=(am)n ,anbn=(ab)n
注意！公式anbn=(ab)n与公式amam=am+n的区别。
【变式练习】
1、（2011广西来宾）下列计算正确的是（ ）
A、（a+b）2=a2+b2,B、（-2a）3=-6a3
C、.(a2b)3=a5b3 D、. (-7)7÷(-a)3=a4
答案：D.
2、计算：(1)（-x）3(-x5)=_____ ,(2) [(-a2b)3]2
(1)【解法1】原式=（-x3）(-x5)=x3x5=x8
(1)【解法2】原式=（-x）3(-x)5=(-x)8=x8
(2)【解法1】 [(-a2b)3]2=[-a6b3]2=a12b6
（2）【解法2】[(-a2b)3]2=(-a2b)6=a12b6
3、计算：比较216×310与210×314的大小。
【解】216×310=26×（2×3）10，210×314=（2×3）10×34
26=64,34=81，因为64<81，所以，26<34,所以，216×310<210×314
4、计算:（-x）2.x3.x-2x4.x2-(-x).x5,
【解】原式=x2x3.x-2x6+x6=x6-2x6+x6=0
5、已知ax=7,ax+y=21,求ay的值。
【解】因为ax+y=21，所以，axay=21,所以，7ay=21,所以，ay=3.
专题三、整式乘法
知识要点
1、单项式与单项式相乘的法则：几个单项式相乘，把系数与系数相乘，同底数幂的指数相加。如：（-2a2b）.3ab2c=-6a3b3c
2、单项式与多项式相乘法则：单项式乘以多项式用乘法分配率计算。即a(b+c+d)
=ab+ac+ad.
3、多项式乘以多项式的法则：用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即：（a+b）(c+d)=ac+ad+bc+bd.
典型题例剖析
【例1】计算：(1)（-a2b3c）.(-2ab2)2.(-3a2b), (2) (2x-3) (-3x-4);
(3) (-2a)2(ab-b2-0.25);
【解】（1）原式=（-a2b3c）.(4a2b4).(-3a2b)=12a6b8c
注意！系数的符号
(2) (2x-3) (-3x-4)=-6x2-8x+9x+12=-6x2+x+12
注意！防止漏乘
(3) (-2a)2(ab -b2-0.25)=4a2(ab -b2-0.25)=4a3b-4a2b2-a2
注意！运输顺序
【例2】先化简，再求值：2（x-1）(2x+2)-4x(-x-3y)+4x(-2x2-y),其中x=-1,y=2.
【解】原式=2（2x2+2x-2x-2）+4x2+12xy-8x2-4xy
=4x2-4+4x2+12xy-8x2-4xy
=8xy-4
当x=-1,y=2时，原式=8×（-1）×2=-16
【点评】对于求值问题，一般要先化简，再求值。
【例3】在（x2+ax-b）(2x2-3x+1)的积中，x3的系数为5，x2的系数为-6，求a,b的值。
【提问】两个二次多项式相乘，哪些项相乘得三次项？哪些项相乘得二次项？
二次项与一次项相乘得三次项，-次项与一次项相乘、二次项目与常数项相乘得二次项。
【解】原式展开后x3的系数为：-3+2a, x2的系数为：1-2b-3a
因此，-3+2a=5,a=4,1-2b-3a=-6,1-2b-3×4=-6,b=-2.5
【变式练习】
1、（2011内蒙古呼和浩特）计算2x2 （-3x3）的结果是（ ）
A、-6x5 B、6x5 C、-2x6 D、2x6
【解】2x2 （-3x3）=2×（-3） （x2 x3）=-6x5．故选A．
2、（2011福建龙岩）的计算结果是（ ）
A． B． C． D．
【解】（x﹣1）（2x+3），
=2x2﹣2x+3x﹣3，
=2x2+x﹣3．
故选A．
3、（1）（2mn2）3.(-mn), (2) 2a2b(3ab2-ab-1), (3) (a+5)（a2-5a+20）
作业：数学报《多项式的运算》综合测试题(共42张PPT)
期末复习
专题一、多项式的加法和减法
【知识要点】
1．多项式加、减法的法则是__________.
多项式加减运算往往需要去括号，去括号的法则是：
（1）去掉括号和“-”，括号里面的各项要_______；
（2）去掉括号和“+”，括号里的各项_________.添括号和去括号法则类似。
3.多项式的加减，一般要把多项式________.
合并同类项
变号
不要变号
加括号
二、典型题例剖析
【例1】计算：3x2+2x2+5x2y-2x2y
【分析】整式加减运算，其实就是合并同类项，合并时，同类项的系数相加，字母和字母的指数不变。
【解】3x2+2x2+5x2y-2x2y
=（3x2+2x2）+(5x2y-2x2y)
=5x2+3x2y
注意！把同类项组合，需要添括号，添括号时要注意符号。
【例2】化简求值：
4a2-[-a2+(2a2-3a)-2(a2-1.5a)],其中a=-0.5
【解】4a2-[-a2+(2a2-3a)-2(a2-1.5a)]
=4a2-[-a2+2a2-3a-2a2+3a]
=4a2-(-a2)
=5a2
当a=-0.5时，原式=5×（-0.5）2=1.25
【点评】对于有多重括号的加减运算，应逐步去括号，一般从内向外。求代数式的值，一般要先化简，再代入计算。这样可以简化运算。
【例3】绿谷商场“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示：
为了满足
市场需求商场
决定采购冰箱、
彩电共40台，
设采购冰箱x台，求该商场获得的总利润。
【分析】每台的利润乘以台数等于总利润。
【解】冰箱每台利润是（2420-2220）元，x台冰箱利润是：（2420-2220）x
彩电每台利润是：（1980-1800）元，彩电的数量是：（40-x）,(40-x)台彩电的利润是：
（1980-1800）（40-x），
类别 冰箱 彩电
进价（元/台） 2220 1800
售价（元/台） 2420 1980
【例3】绿谷商场“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价如下表所示：
为了满足市
场需求商场
决定采购冰箱、
彩电共40台，
设采购冰箱x台，求该商场获得的总利润。
【解】因此冰箱、彩电共40台的总利润是：
（2420-2220）x+（1980-1800）（40-x）=200x+180(40-x)=20x+7200
即该商场的总利润是：（20x+7200）元。
【点评】对于实际问题，理解题意是关键，本题关键是理解利润和售价、进价的关系。
类别 冰箱 彩电
进价（元/台） 2220 1800
售价（元/台） 2420 1980
【变式练习】
1、已知0.5x2+x+1与A的和是x,则A=( )
A、 0.5x2+1， B、 -0.5 x2+1，
C、 0.5x2,-1， D、-0.5 x2-1，
【解】A=x-（0.5x2+x+1）
=x-0.5x2-x-1
=-0.5x2-1.选D.
D
2、如果多项式A减去-3x+5,再加上x2-x-7后得5x2-3x-1,则A为（ ）
A、 4x2+5x+11, B、 4x2-5x-11
C、 4x2-5x+11, D、 4x2+5x-11
【解】A=(5x2-3x-1)-( x2-x-7)+( -3x+5)
=5x2-3x-1 -x2+x+7-3x+5
=4x2-5x+11,选C
3、已知A=3x2-2x+1.B= 2x3-x2+3x-7,
求3A-2B.
【解】3A-2B
=3（3x2-2x+1）-2（2x3-x2+3x-7）
=9x2-6x+3-4x3+2x2-6x+14
=-4x3+11x2-12x+17
专题二、幂的运算
知识要点
1、同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数______,指数_______.即：am.an=_____
2、幂的乘方法则：幂的乘方，底数_____，指数_____．
即：（am）n=_____（m,n都是正整数）．
3、积的乘方法则：积的乘方，等于积里各个因式分别________.
即：(ab)n=______ (n是正整数)
am+n
amn
anbn
不变
相加
不变
相乘
乘方
【典型题例剖析】
【例1】（2011江苏南京）下列运算正确的是
（ ）
A、a2+a3=a5 B、a2 a3=a6
C、a3+a2=a D、（a2）3=a6
【解】
A、a2与a3不是同类项，不能合并，故本选项错误
B、a2 a3=a2+3=a5≠a6，故本选项错误；
C、a3与a2不是同类项，不能合并，故本选项错误
D、（a2）3=a2×3=a6，故本选项正确．
【点评】：熟练掌握幂的乘方与积的乘方、合并同类项等知识，是解题的关键。
D．
【例2】若a2m-1.am+2=a7,则m=______.
【解】因为a2m-1.am+2=a7
所以，a3m+1=a7
所以，3m+1=7,所以，m=2.
【点评】本题利用了am=an,则m=n.
【例3】若am=2,bm=0.5,求(ab)2m的值。
【解】(ab)2m=a2mb2m
=(am)2.(bm)2
=(ambm)2
=(2×0.5)2=12=1.
【点评】本题逆用幂运算公式，即
amm=(am)n ,anbn=(ab)n
注意！公式anbn=(ab)n与公式amam=am+n的区别。
【变式练习】
1、（2011广西来宾）下列计算正确的是
（ ）
A、（a+b）2=a2+b2,
B、（-2a）3=-6a3
C、.(a2b)3=a5b3
D、. (-7)7÷(-a)3=a4
D
2、计算：(1)（-x）3(-x5)=_____ ,
(2) [(-a2b)3]2
(1)【解法1】原式=（-x3）(-x5)=x3x5=x8
(1)【解法2】原式=（-x）3(-x)5=(-x)8=x8
(2)【解法1】 [(-a2b)3]2=[-a6b3]2=a12b6
（2)【解法2】[(-a2b)3]2=(-a2b)6=a12b6
3、计算：比较216×310与210×314的大小。
【解】216×310=26×（2×3）10
210×314=（2×3）10×34
26=64,34=81，
因为64<81，
所以，26<34,
所以，216×310<210×314
4、计算:（-x）2.x3.x-2x4.x2-(-x).x5
【解】原式=x2x3.x-2x6+x6
=x6-2x6+x6
=0
5、已知ax=7,ax+y=21,求ay的值。
【解】因为ax+y=21，
所以，axay=21,
因为，ax=7
所以，7ay=21,
所以，ay=3.
专题三、整式乘法
知识要点
1、单项式与单项式相乘的法则：
几个单项式相乘，把系数与系数____，同底数幂的指数______。
如：（-2a2b）.3ab2c=-6a3b3c
2、单项式与多项式相乘法则：
单项式乘以多项式用乘法分配率计算。
即:a(b+c+d)=_______________.
相乘
相加
ab+ac+ad
3、多项式乘以多项式的法则：
用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积____。
即：（a+b）(c+d)=ac+ad+bc+bd.
相加
典型题例剖析
【例1】计算：
(1)（-a2b3c）.(-2ab2)2.(-3a2b),
(2) (2x-3) (-3x-4);
(3) (-2a)2(ab-b2-0.25);
【解】（1）原式=（-a2b3c）.(4a2b4).(-3a2b)
=12a6b8c
(2) (2x-3) (-3x-4)=-6x2-8x+9x+12=-6x2+x+12
(3) (-2a)2(ab -b2-0.25)
=4a2(ab -b2-0.25)
=4a3b-4a2b2-a2
注意！系数的符号
注意！防止漏乘
注意！运输顺序
【例2】先化简，再求值：
2（x-1）(2x+2)-4x(-x-3y)+4x(-2x2-y),
其中x=-1,y=2.
【解】原式=2（2x2+2x-2x-2）+4x2+12xy
- 8x2-4xy
=4x2-4+4x2+12xy-8x2-4xy
=8xy-4
当x=-1,y=2时，原式=8×（-1）×2-4=-20
【点评】对于求值问题，一般要先化简，再求值。
【例3】在（x2+ax-b）(2x2-3x+1)的积中，x3的系数为5，x2的系数为-6，求a,b的值。
【思考】两个二次多项式相乘，哪些项相乘得三次项？哪些项相乘得二次项？
二次项与一次项相乘得三次项，-次项与一次项相乘、二次项目与常数项相乘得二次项。
【解】展开后x3的系数为：-3+2a,
x2的系数为：1-2b-3a
因此，-3+2a=5,a=4,
1-2b-3a=-6,1-2b-3×4=-6,b=-2.5
【变式练习】
1、（2011内蒙古呼和浩特）
计算2x2 （-3x3）的结果是（ ）
A、-6x5 B、6x5 C、-2x6 D、2x6
【解】2x2 （-3x3）
=2×（-3） （x2 x3）
=-6x5．
A
2、（2011福建龙岩）(x-1)(2x+3)的计算结果是（ ）
A．2x2+x-3 B．2x2-x-3
C．2x2-x+3 D．2x2+x+3
【解】（x﹣1）（2x+3），
=2x2﹣2x+3x﹣3，
=2x2+x﹣3．
A
3、计算：（1）（2mn2）3.(-mn),
(2) 2a2b(3ab2-ab-1),
(3) (a+5)（a2-5a+20）
【解】：
（1）（2mn2）3.(-mn)=（8m3n6）.(-mn)
=-8m4n7
(2) 2a2b(3ab2-ab-1)=6a3b3-2a3b2-2a2b
(3) (a+5)（a2-5a+20）
=a3-5a2+20a+5a2-25a+100
=a3-5a+100
4、若（x2+nx+3）.(x2-3x+m)的展开式中不含x3和x2的项，求m,n的值。
【解】展开式中，含有x3的项是：
-3x3+nx3=(-3+n)x3,
含有x2的项是：mx2-3nx2+3x3=(m-3n+3)x2
依题意，得:
专题四、乘法公式
知识要点
1、平方差公式：（a＋b）（a－b）=________
两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的_________。
【思考】公式有什么特征？
①左边：二项式乘以二项式，两数（a与b）的和与它们差的乘积．
②右边：这两数的平方差．
（2）找a与b的简便方法：
相同的项为a,相反的项为b。
a2－b2
平方差
2、完全公式：
公式：（a+b）2=______________
（a-b）2=______________
【思考】公式有什么特征？
从“数”的角度来理解公式：两个数和（差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．
从“项”的角度来理解公式：一个二项式的平方；等于两项的平方和，加上这两项的积的2倍
(3)公式的变形：（a+b）2+（a-b）2=_________
（a+b）2-（a-b）2=_______
a2+b2=(a+b)2-_____=(a-b)2+____.
a2+2ab+b2
4ab
2ab
2ab
a2-2ab+b2
2(a2+ b2)
典型题例剖析
【例1】（2011安徽省芜湖市）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ）
A、（2a2+5a）cm2 B、（3a+15）cm2
C、（6a+9）cm2 D、（6a+15）cm2
【例1】（2011安徽省芜湖市）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（ ）
A、（2a2+5a）cm2 B、（3a+15）cm2
C、（6a+9）cm2 D、（6a+15）cm2
【解】（a+4）2﹣（a+1）2，
=（a2+8a+16）﹣（a2+2a+1），
=a2+8a+16﹣a2﹣2a﹣1，
=6a+15．
【分析】：利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算．
D
【点评】：此题主要考查了完全平方公式的计算，熟记公式是解题的关键
【例2】（2011浙江绍兴）先化简．再求值：
a（a﹣2b）+2（a+b）（a﹣b）+（a+b）2，其中a=﹣0.5 ，b=1．
【分析】：（2）根据单项式乘以多项式，平方差公式，完全平方公式分别计算，然后合并同类项，化简后再代入a，b的值．
【解】a（a﹣2b）+2（a+b）（a﹣b）+（a+b）2
=a2﹣2ab+2a2﹣2b2+a2+b2+2ab
=4a2﹣b2，
当a=﹣ 0.5，b=1，
原式=4a2﹣b2=4×0.52 ﹣1=0．
【点评】：这是整式混合运算综合题，关键是熟练掌握整式乘法法则和乘法公式。
【变式练习】
1、（2011湖南益阳）下列计算正确的是
（ ）
A．（x+y）2=x2+y2 B．（x﹣y）2=x2﹣2xy﹣y2
C．（x+2y）（x﹣2y）=x2﹣2y2 D．（﹣x+y）2=x2﹣2xy+y2
【解】A．（x+y）2=x2+2xy+y2，本选项错误；
B．（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2，本选项错误；
C．（x+2y）（x﹣2y）=x2﹣4y2，本选项错误
D．（﹣x+y）2=（x﹣y）2=x2﹣2xy+y2，正确
D
2、下列计算中正确的是（ ）
A 、(2X-1)(-2x+1)=-4x2-1,
B 、(1+2X)(-2X+1)=-4x2+1
C、 (-2X-1)2=4X2-4X+1,
D、 (2a+b)2=4a2+b2
B
3、计算：（3-4y）(3+4y)+4(1+2y)2;
【解】原式=9-16y2+4(1+4y+4y2)
=9-16y2+4+16y+16y2
=16y+13
4、（2011 贺州）先化简，再求值：
（a+1）（a﹣1）+a （1﹣a），
其中a=2012．
．
【解法一】：原式=a2﹣1+a﹣a2=a﹣1，
当a=2012时，原式=a﹣1=2012﹣1=2011；
【解法二】原式=（a+1）（a﹣1）﹣a （a﹣1）
=（a﹣1）（a+1﹣a）
=a﹣1
当a=2012时，原式=a﹣1=2012﹣1=2011
5、已知x2-2x=1,
求：4（x-1）(x+1)-2(x+1)2的值。
【解】4（x-1）(x+1)-2(x+1)2
=4（x2-1）-2(x2+2x+1)
=4x2-4-2x2-4x-2
=2x2-4x-6
=2（x2-2x）-2
=2×1-6=-4
作业：数学报《整式的运算》综合测试卷
