4.3.2等比数列的前n项和公式（教案）-高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章
数列
4.3
等比数列
4.3.2
等比数列的前n项和公式
教学设计
一、教学目标
1.
理解等比数列的前n项和公式的推导方法；
2.
掌握等比数列的前n项和公式并能运用公式解决一些简单问题.
二、教学重难点
1.
教学重点
等比数列的前n项和公式.
2.
教学难点
等比数列的前n项和公式的应用.
三、教学过程
（一）新课导入
思考：前面学习了等差数列的前n项和，那么如何求等比数列的前n项和呢？
（二）探索新知
设等比数列的首项为，公比为q，则的前n项和是.
根据等比数列的通项公式，上式可写成.①
用公比q乘①的两边，可得.②
①②两式的右边有很多相同的项，用①的两边分别减去②的两边，就可以消去这些相同的项，可得，即.
因此，当时，我们就得到了等比数列的前n项和公式.
因为，所以上述公式还可以写成.
例1
已知数列是等比数列.
（1）若，，求；
（2）若，，，求；
（3）若，，，求n.
解：（1）因为，，
所以.
（2）由，，可得，即.
又由，得，
所以.
（3）把，，代入，
得.
整理，得.解得.
例2
已知等比数列的公比，前n项和为.证明，，成等比数列，并求这个数列的公比.
证明：当时，
，
，
，
所以，，成等比数列，公比为1.
当时，
，
，
.
所以.
因为为常数，所以，，成等比数列，公比为.
（三）课堂练习
1.在等比数列中，，则(
)
A.8
B.15
C.
D.31
答案：C
解析：由等比数列的前项和公式可得.故选C.
2.已知等比数列中，，，前n项和，则(
)
A.9
B.8
C.7
D.6
答案：D
解析：由等比数列前n项和公式，知，，故选D.
3.已知等比数列的公比为2，前4项和是1，则该数列的前8项和为(
)
A.15
B.17
C.19
D.21
答案：B
解析：由题意得，解得，所以该数列的前8项和为.
4.已知数列是公比为的等比数列，其前项和为，则______________.
答案：7
解析：由题意，数列是公比为2的等比数列，则.
5.已知在等比数列中，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
答案：（1）设等比数列的公比为，
因为，所以，
解得，所以.
所以.
（2）由于，所以，
所以，①
，②
①②得，，
解得.
（四）小结作业
小结：等比数列的前n项和公式.
作业：
四、板书设计
4.3.2
等比数列的前n项和公式
等比数列的前n项和公式.