河北省部分学校2022届高三上学期第一次考试数学试题 （Word版，含解析）

河北省部分学校2022届高三上学期第一次考试
数学
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2．问答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．本试卷主要考试内容：人教A版集合与常用逻辑用语，函数与导数，三角函数。
一、选择题：本题共8小题，每小雁5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则
A．
B．
C．
D．
2．命题“，”的否定为
A．，
B．，
C．，
D．，
3．已知是奇函数，当时，，则
A．1
B．0
C．
D．
4．已知函数，则
A．
B．
C．
D．
5．已知，，，则
A．
B．
C．
D．
6．已知，则
A．1
B．2
C．
D．
7．已知，为实数，则“，”是“”的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
8．已知当时，不等式恒成立，则正实数的最小值为
A．1
B．
C．
D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题自要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下列选项正确的是
A．
B．
C．若终边上有一点，则
D．若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的面积为
10．函数的大致图像可能是
A．
B．
C．
D．
11．在数学史上，为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性，曾经出现过下列两种三角函数：定义为角的正矢，记作，定义为角的余矢，记作，则
A．函数在上单调递增
B．若，则
C．若，则的最小值为0
D．若，则的最小值为
12，关于函数，下列说法正确的是
A．有3个极值点
B．
C．为偶函数
D．在上单调递减
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．设曲线在处的切线与直线垂直，则____________．
14．设函数，则____________．
15．已知函数在上单调递增，则的取值范围是____________．
16．已知函数与函数的部分图像如图所示，且函数的图像可由函数的图像向右平移个单位长度得到，则____________，____________．（本题第一空2分，第二空3分）
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
（1）求的定义域；
（2）若，求的解析式．
18．（12分）
已知函数．
（1）求图像的对称中心；
（2）求在上的值域．
19．（12分）
已知函数．
（1）求的极值；
（2）判断函数的单调性．
20．（12分）
已知函数．
（1）当时，求不等式的解集
（2）当时，若关于的不等式在上有解，求的取值范围．
21．（12分）
已知函数的最小正周期为．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若先将函数图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将其图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，求方程在上根的个数．
22．（12分）
已知函数．
（1）求过点与曲线相切的切线方程．
（2）若，函数有且只有一个零点，证明：．
河北省部分学校2022届高三上学期第一次考试
数学参考答案
1．C
【解析】本题考查集合的交集，考查运算求解能力．
因为，，故．
2．B
【解析】本题考查命题的否定，考查逻辑推理能力．
存在量词命题的否定是全称量词命题．
3．D
【解析】本题考查函数的奇偶性，考查推理论证能力．
．
4．A
【解析】本题考查导数的计算，考查运算求解能力．
因为，所以．
5．C
【解析】本题考查指数函数与对数函数的性质，考查推理论证能力．
因为，，，所以．
6．B
【解析】本题考查三角恒等变换，考查运算求解能力．
由，解得．
7．A
【解析】本题考查充分条件与必要条件，考查逻辑推理能力．
若“，”，则“”成立．但是当“”成立时，“，”不一定成立，比如，，满“”，而不满足“，”．
8．B
【解析】本题考查导数在函数中的应用，考查逻辑推理与数学运算的核心素养．
由题意，原不等式可变形为，即．
设，则当时，恒成立．
因为，所以函数在（0，1）上单调递减，在上单调递增．
因为，所以，．
因为在上单调递增，所以要使，只需，
两边取对数，得．因为，所以；
令，因为，所以在上单调递增，
所以，所以，则，故正实数的最小值为．
9．AB
【解析】本题考查三角函数知识，考查逻辑推理与数学运算的核心素养．
，故A正确；，故B正确；
若终边上有一点，则，故C不正确；
若一扇形弧长为2，圆心角为，则该扇形的半径为，面积为，故D不正确．
10．ABD
【解析】本题考查函数的图像与性质，考查推理论证能力．
当时，的大致图像如选项A所示；当时，的大致图像如选项B所示；当时，的大致图像如选项D所示．
11．BCD
【解析】本题考查三角函数知识，考查信息提取及运算求解能力．
因为，
所以在上单调递增，在上单调递减，故A错误；
因为，
所以
，故B正确；
，
令，则，
所以，所以，故C正确；
因为，
所以，故D正确．
12．BCD
【解析】本题考查函数的图像与性质，考查推理论证能力．
因为，且，所以．因为，所以是偶函数．因为当时，单调递增，所以当时，单调递减，所以，且只有1个极值点．故BCD正确．
13．
【解析】本题考查导数的几何意义，考查运算求解能力．
因为，所以，故．
14．
【解析】本题考查分段函数求值，考查运算求解能力．
因为．
15．
【解析】本题考查导数的应用，考查化归与转化的数学思想及运算求解能力．
因为，所以对恒成立，则，即．
16．；
【解析】本题考查三角函数的图像及其性质，考查运算求解能力．
由题意可知将函数图像上的点向右平移个单位长度，
可得的图像与轴负半轴的第一个交点，坐标为，
因为的图像与轴正半轴的第一个交点为，
所以，解得，
所以，，
故．
17．解：（1）由，
得，即的定义域为．
（2）令，则，
则，
故．
评分细则：
【1】第一问考虑不周到，不给分．
【2】第二问解法二：因为，
所以．
18．解：（1）．
令，，得，，
所以图像的对称中心为，．
（2）因为，所以，
所以，则．
即在上的值域是．
评分细则：
【1】第一问中若漏掉，则扣1分；若对称中心写为，，则同样扣1分；
【2】第二问中若直接代入端点求解，不给分．
19．解：（1）因为，
所以令，得．
因为在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得极小值，极小值为，无极大值．
（2）因为，
所以．
令，得；令，得．
所以在上单调递减，在单调递增．
评分细则：
【1】第一问中若没有交待无极大值，扣1分；
【2】第二问中若单调区间里没有，不扣分；若写成在上单调递减，则扣2分．
20．解：（1）当时，，
不等式，即，
所以，
解得，
即所求不等式的解集为．
（2）当时，．
因为在上有解，所以在上有解．
令，
因为，在上均为增函数，所以在上是增函数．
因为在上的值域为，
所以的取值范围是．
评分细则：
【1】第一问中若没考虑到，则扣3分；
【2】第二间中若的取值范围是，则扣1分．
21．解：（1）
．
因为的最小正周期，所以，
故．
令，，
得，，
所以的单调递增区间为，．
（2）由（1）知．
方程在上根的个数，即方程的根的个数．
结合和的图像，如图所示．
因为在上单调递减，在上单调递增，且，，
所以结合图像可知函数在上有4个零点，
即方程在上根的个数为4．
评分细则：
【1】第一问中若漏掉，则扣1分；
【2】第二问中若解析里没有作出和的图像，不扣分．
22．（1）解：设切点，则．
因为，所以，
所以切线方程为，
将点代入，得．
令，则，所以在上单调递增．
因为，所以，所以切点为，故所求切线方程为．
（2）证明：因为，所以．
设，．
当时，，单调递增；当时，，单调递减．
所以，即，
所以．
因为在上单调递增，且，
所以存在唯一的，使得，即．
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
所以当时，取得最小值．
因为，，，
所以要使有唯一的零点，则，即，
所以．
设，则在上单调递减．
因为，，
所以，即．
评分细则：
【1】第一问中若没有说明在上单调递增，则扣1分；
【2】第二问用其他方法解答，只要解答正确则正常给分．