四川省南充市2020-2021学年高二下学期教学质量监测（期末）理科数学试卷 (Word版，含解析)

四川省南充市2020-2021学年高二下学期理数期末考试试卷
一、单选题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.复数
的共轭复数是（???
）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
2.双曲线
的渐近线方程是（???
）
A.
B.
C.
D.
3.设函数
则
（???
）
A.1
B.2
C.3
D.
4.3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是（???
）
A.
B.
C.
D.
5.
的展开式中
的系数是（???
）
A.-84
B.-56
C.56
D.84
6.函数
的最大值为（???
）
A.1
B.
C.
D.3
7.以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数为（???
）
A.70
B.64
C.60
D.58
8.设偶函数
满足
，则
（??
）
A.
B.
C.
D.
9.若
，
，
，则（???
）
A.
B.
C.
D.
10.直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M
，
N分别是A1B1
，
A1C1的中点，BC＝CA＝CC1
，
则BM与AN所成角的余弦值为(??
)
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
11.以抛物线
的顶点为圆心的圆交
于
，
两点，交
的准线于
，
两点，已知
，
，则
（???
）
A.2
B.4
C.6
D.8
12.若函数
有两个极值点，则实数
的取值范围是（???
）
A.
B.
C.
D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知向量
，
，若
，则
________.
14.设
为等差数列
的前
项和，
，
，则
________.
15.若曲线
在
处的切线方程为
，则
________.
16.抛物线
的焦点为
，其准线与双曲线
有两个交点
，
，若
，则双曲线的离心率为________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.随机抛掷一枚质地均匀的骰子，设向上一面的点数为
.
（1）求
的分布列；
（2）求
和
.
18.在
中，角
所对的边分别为
,其中
（1）求
;
（2）求
边上的高，
19.如图，在四棱锥
中，底面
是边长为2的正方形，
.
（1）证明：
平面
；
（2）若
，求二面角
的正弦值.
20.已知抛物线
的准线与
轴的交点为
.
（1）求
的方程；
（2）若过点
的直线
与抛物线
交于
，
两点.求证：
为定值.
21.已知函数
的最小值为0.
（1）求
的值；
（2）若
为整数，且对于任意的正整数
，
，求
的最小值.
22.已知
，
，求证：
（1）
；
（2）
.
23.已知函数
的图象过点
.
（1）求
；
（2）用反证法证明：
没有负零点.
答案解析部分
四川省南充市2020-2021学年高二下学期理数期末考试试卷
一、单选题
1.复数
的共轭复数是（???
）
A.???????????????????????????????????B.???????????????????????????????????C.???????????????????????????????????D.?
【答案】
A
【考点】复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】因为
，所以其共轭复数是
故答案为：A
【分析】由复数的除法整理已知复数，进而由共轭复数概念表示答案.
2.双曲线
的渐近线方程是（???
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
D
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由
得：
，
所以其渐近线方程为
.
故答案为：D
【分析】由双曲线的简单性质即可得出答案。
3.设函数
则
（???
）
A.1
B.2
C.3
D.
【答案】
B
【考点】函数的值，分段函数的应用
【解析】【解答】因为
，所以
.
故答案为：B
【分析】根据题意选择合适的函数解析式代入数值计算出结果即可。
4.3个班分别从5个风景点中选择一处游览，不同选法的种数是（???
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
D
【考点】分步乘法计数原理
【解析】【解答】解：由题意可知，每个班都有5种选法，则由分步计数原理可得共有
种方法.
故答案为：D
【分析】根据分步计数原理结合已知条件代入数值计算出结果即可。
5.
的展开式中
的系数是（???
）
A.-84
B.-56
C.56
D.84
【答案】
A
【考点】二项式定理，二项式系数的性质
【解析】【解答】由已知
，令
，
，
所以
的系数是
．
故答案为：A．
【分析】根据题意首先求出二项式的通项公式，再由已知条件求出r的值，并代入通项公式计算出结果即可。
6.函数
的最大值为（???
）
A.1
B.
C.
D.3
【答案】
C
【考点】两角和与差的正弦公式，三角函数的最值，正弦函数的零点与最值
【解析】【解答】解：
（其中
），
所以当
时，
取最大值
，
故答案为：C
【分析】首先由两角和的正弦公式整理函数的解析式，再由正弦函数的性质即可求出函数的最大值。
7.以正方体的顶点为顶点的三棱锥的个数为（???
）
A.70
B.64
C.60
D.58
【答案】
D
【考点】排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】由题意知：要使正方体的顶点为顶点构成三棱锥，则4个顶点不共面，
①8个顶点任选4个，有
种，
②8个顶点任选4个，共面的有12种，
∴以正方体的顶点为顶点的三棱锥有
个.
故答案为：D
【分析】根据题意由排列组合以及计数原理，结合已知条件计算出结果即可。
8.设偶函数
满足
，则
（??
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【考点】偶函数，不等式的综合
【解析】【解答】当x-2≥0，即x≥2时，联立
得：x＞4；
∵y=f（x）为偶函数，
∴当x-2＜0，即x＜2时，
，解得：x＜0；
综上所述，原不等式的解集为：{x|x＜0或x＞4}．
故答案为：B
【分析】首先由已知条件求出不等式的解集，再由偶函数的定义结合题意求解出x的取值范围，联立两个不等式求解出答案即可。
9.若
，
，
，则（???
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
B
【考点】指数函数的单调性与特殊点，对数函数的单调性与特殊点，余弦函数的单调性
【解析】【解答】由指数函数，对数函数，余弦函数的性质知：
，
，
，
，
所以
．
故答案为：B．
【分析】根据题意由指数函数，对数函数，余弦函数的性质知，即可得出a、b、c的取值范围
，从而比较出a、b、c的大小即可。
10.直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M
，
N分别是A1B1
，
A1C1的中点，BC＝CA＝CC1
，
则BM与AN所成角的余弦值为(??
)
A.??????????????????????????????????????B.??????????????????????????????????????C.??????????????????????????????????????D.?
【答案】
C
【考点】异面直线及其所成的角
【解析】【解答】以C为原点，直线CA为x轴，直线CB为y轴，直线
为
轴，则设CA=CB=1，则
，
，A（1，0，0），
，故
，
，所以
，故选C.
【分析】本小题主要考查利用空间向量求线线角，考查空间向量的基本运算，考查空间想象能力等数学基本能力，考查分析问题与解决问题的能力.
11.以抛物线
的顶点为圆心的圆交
于
，
两点，交
的准线于
，
两点，已知
，
，则
（???
）
A.2
B.4
C.6
D.8
【答案】
B
【考点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】由题意，若圆的半径为
，则
、
坐标为
，且
，
∴
，解得
.
故答案为：B
【分析】由直线与圆的位置关系结合点到直线的距离公式即可得出关于r和p的方程组，求解出p的值即可。
12.若函数
有两个极值点，则实数
的取值范围是（???
）
A.
B.
C.
D.
【答案】
D
【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】因为
，所以
，
因为函数
有两个极值点，所以
在
上有两个不同的零点，
令
，得
，设
，则
，
因为当
时，
；当
时，
，
所以
在
上单调递增，在
单调递减，
又当
时，
；当
时，
所以
，所以
，所以
.
故答案为：D
【分析】根据题意对函数求导，结合极值和零点的定义即可得出当时，整理得到构造函数
，
对函数求导由导函数的性质即可得出函数g(x)的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最大值，由此得出a的取值范围即可。
二、填空题
13.已知向量
，
，若
，则
________.
【答案】
-2
【考点】平面向量的坐标运算，平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为
，
，所以
，
又
，所以
，解得
.
故答案为:
-2
【分析】根据题意求出向量的坐标，再由共线向量的坐标公式代入数值计算出结果即可。
14.设
为等差数列
的前
项和，
，
，则
________.
【答案】
0
【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n项和
【解析】【解答】设数列的公差为
，则
，
，
所以
．
故答案为：0．
【分析】根据题意由等差数列的定义结合等差数列的前n项和公式计算出结果即可。
15.若曲线
在
处的切线方程为
，则
________.
【答案】
3
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为
，所以
，
令
，得切线的斜率为
，
又因为曲线
在
处的切线方程为
，
所以
，解得
.
故答案为:3
【分析】首先对函数求导，再把点的坐标代入到导函数的解析式计算出切线的斜率，然后由点斜式求出直线的方程，计算出a的值即可。
16.抛物线
的焦点为
，其准线与双曲线
有两个交点
，
，若
，则双曲线的离心率为________.
【答案】
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】由已知抛物线的准线方程是
，焦点
，把
代入双曲线方程解得
，
又
，所以
，
，
所以
．
故答案为：
．
【分析】首先由抛物线的简单性质求出准线的方程和焦点坐标，再把
代入双曲线方程解得x的代数式，然后由三角形的几何计算关系，结合双曲线的简单性质计算出结果即可。
三、解答题
17.随机抛掷一枚质地均匀的骰子，设向上一面的点数为
.
（1）求
的分布列；
（2）求
和
.
【答案】（1）由题意，的可能取值为且各点面的概率均为，
∴的分布列为
1
2
3
4
5
6
（2）；
.
【考点】离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】(1)根据题意求出X的取值，再由概率公式计算出对应每个X的概率值，由此即可得出
的分布列即可。
(2)由方差和期望公式代入数值计算出结果即可。
?
?
18.在
中，角
所对的边分别为
,其中
（1）求
;
（2）求
边上的高，
【答案】
（1）
因为
且
，
，
，
由正弦定理可得
，即
解得
，
因为
，
（2）如图，过
作
交
于点
，
在
中
如图所示，在
中，
故
边上的高为
【考点】解三角形，正弦定理，三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)根据题意由已知条件结合同角三角函数的基本关系式，计算出sinB的值再由正弦定理代入数值计算出sinA的值
，然后由角的取值范围即可求出角A的值。
(2)首先由两角和的正弦公式代入数值计算出sinC的值，再由三角形的几何计算关系代入数值计算出BD的值。
?
?
19.如图，在四棱锥
中，底面
是边长为2的正方形，
.
（1）证明：
平面
；
（2）若
，求二面角
的正弦值.
【答案】
（1）证明：因为
为正方形，所以
，
因为
，所以
，
又因为
，所以
平面
，
平面
，所以
，
因为
为正方形，所以
，
因为
，所以
，
又因为
，所以
平面
，
平面
，所以
，又
，
所以
平面
.
（2）以
为坐标原点，射线
，
，
分别为
轴，
轴，
轴的正半轴建立空间直角坐标系
，
则
，
，
，
，
，
，
，
设平面
的一个法向量为
，
由
，得
令
，得
，
由（1）知
平面
，
平面
，
所以
，因为
为正方形，所以
，
又
，所以
平面
，
所以
是平面
的一个法向量，
所以
，
故二面角
的正弦值为
..
【考点】直线与平面垂直的判定，直线与平面垂直的性质，空间向量的数量积运算，用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)根据题意由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，再由正方形的几何性质结合线面垂直的判定定理即可得证出结论。
(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，结合同角三角函数的基本关系式由此得到二面角
的正弦值。
?
?
20.已知抛物线
的准线与
轴的交点为
.
（1）求
的方程；
（2）若过点
的直线
与抛物线
交于
，
两点.求证：
为定值.
【答案】
（1）由题意，可得
，即
，
∴抛物线
的方程为
.
（2）证明：设直线
的方程为
，
，
，
联立抛物线有
，消去x得
，则
，
∴
，
，又
，
.
∴
.
∴
为定值.
【考点】抛物线的标准方程，抛物线的简单性质，直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据题意由抛物线的简单性质即可求出p的值，由此得出抛物线的方程。
(2)由设而不求法设出点的坐标,并由斜截式设出直线的方程再联立直线与抛物线的方程，消去x等到关于y的一元二次方程结合韦达定理即可得到关于m的两根之和与两根之积的代数式，再由弦长公式整理代入计算出结果即可。
?
?
21.已知函数
的最小值为0.
（1）求
的值；
（2）若
为整数，且对于任意的正整数
，
，求
的最小值.
【答案】
（1）
.
①若
，则
，
单调递减，无最小值；
②若
，则当
时，
，
当
时，
，
所以
在
单调递减，在
上单调递增.
的最小值为
，
所以
.
（2）由（1）得，当
时，
，
即
，即
，
令
得
，
所以
，
故
，
又
，且
为整数，
所以
的最小值为3
【考点】利用导数研究函数的单调性，利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】(1)根据题意对函数求导，由a的取值范围即可得出导函数的正负情况，由此得出函数的单调性，由函数的单调性即可求出函数的最小值，由此即可求出a的值。
(2)由(1)
的结论整理即可得出即
，
令由此得出
，
结合已知条件整理即可得出
，
由此即可得出结论。
?
?
22.已知
，
，求证：
（1）
；
（2）
.
【答案】
（1）∵
，
∴
，当且仅当a=b=c等号成立，
∴
；
（2）由基本不等式
，
∴
，同理
，
，
∴
，当且仅当a=b=c等号成立
∴
．
【考点】基本不等式，基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】(1)由基本不等式即可得出结论。
(2)由基本不等式即可得出结论。
?
?
23.已知函数
的图象过点
.
（1）求
；
（2）用反证法证明：
没有负零点.
【答案】
（1）解：因为函数
的图象过点
.
所以
，
即
，
解得
，
所以
.
（2）证明：假设函数
有负零点
，则
，
故
，
因为函数
在
上是增函数，
且
，
所以
，
所以
，
所以
，解得
，
与
相矛盾.
故假设不成立，即函数
没有负零点.
【考点】函数的图象，反证法，函数的零点
【解析】【分析】(1)根据题意把点的坐标代入函数的解析式计算出
，
由此求出b的值即可。
(2)根据题意由反证法结合零点的定义，然后由指数函数的单调性即可得出
相矛盾，从而即可得证出结论。
?
?
(
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
(
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)