广西柳州市2022届新高三上学期摸底考试数学（理）试题 （Word版，含答案）

柳州市2022届新高三摸底考试
理科数学
一?选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）
1.
已知集合，集合，则（
）
A.
B.
C.
D.
2.
复数（i为虚数单位），则其共轭复数（
）
A.
B.
C.
D.
3.
在等差数列中，若，则（
）
A.
20
B.
24
C.
27
D.
29
4.
已知F是抛物线的焦点，直线l是抛物线的准线，则F到直线l的距离为（
）
A
2
B.
4
C.
6
D.
8
5.
设是非零向量，“”是“”的（
）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
6.
三棱锥中，若，则P在底面上的投影О为的（
）
A.
垂心
B.
外心
C.
内心
D.
重心
7.
已知函数，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
1
8.
年初，新型冠状病毒（）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：
第周
治愈人数（单位：十人）
由上表可得关于的线性回归方程为，则此回归模型第周的残差（实际值减去预报值）为（
）
A.
B.
C.
D.
9.
我国著名数学家华罗庚曾说：数缺形时少直观，形少数时难人微，数形结合百般好，割裂分家万事休.在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的解析式琢磨函数图象的特征.如函数的图象大致是（
）
A.
B.
C
D.
10.
执行如图所示的程序框图，如果输入的．那么输出的S=（　　）
A.
B.
C.
D.
1
11.
已知双曲线左右焦点分别是和，点关于渐近线的对称点恰好落在圆上，则双曲线的离心率为（
）
A.
B.
2
C.
D.
3
12.
已知函数，有下述四个结论：
①函数是奇函数
②函数的最小正周期是
③函数在上是减函数
④函数在上的最大值是1
其中正确的结论一共有（
）个
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
二?填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.
展开式中的常数项为__________．
14.
已知变量x，y满足，则的最大值为___________.
15.
将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若函数在上为增函数，则的取值范围是___________.
16.
若球О是直三棱柱的外接球，三棱柱的高和体积都是4，底面是直角三角形，则球О表面积的最小值是___________.
三?解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明?证明过程及演算步骤）
17.
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求角A大小；
（2）求的取值范围.
18.
设数列的前n项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，求使得立的n的最小值.
19.
为庆祝2021年中国共产党成立100周年，某校高二年级举行“党史知识你我答”活动，共有10个班，每班选5名选手参加了预赛，预赛满分为150分，现预赛成绩全部介于90分到140分之间.将成绩结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组.按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示.
（1）若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的，求参赛学生在这次活动中成绩良好的人数；
（2）若从第一?五组中共随机取出两个成绩，记X为取得第一组成绩的个数，求X的分布列与数学期望.
20.
如图，直四棱柱中，，E为的中点，底面是边长为4的菱形，.
（1）证明：E，，A，D四点共面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
21.
已知动点P到点的距离与到点的距离之和为，若点P形成的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）过作直线l与曲线C分别交于两点M，N，当最大时，求的面积.
22.
已知函数.
（1）若函数在点处切线的斜率等于1，求a的值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若函数有两个极值点分别为，证明.
柳州市2022届新高三摸底考试
理科数学
答案版
一?选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的）
1.
已知集合，集合，则（
）
A.
B.
C.
D.
答案：B
2.
复数（i为虚数单位），则其共轭复数（
）
A.
B.
C.
D.
答案：C
3.
在等差数列中，若，则（
）
A.
20
B.
24
C.
27
D.
29
答案：D
4.
已知F是抛物线的焦点，直线l是抛物线的准线，则F到直线l的距离为（
）
A
2
B.
4
C.
6
D.
8
答案：B
5.
设是非零向量，“”是“”的（
）
A.
充分而不必要条件
B.
必要而不充分条件
C.
充分必要条件
D.
既不充分也不必要条件
答案：B
6.
三棱锥中，若，则P在底面上的投影О为的（
）
A.
垂心
B.
外心
C.
内心
D.
重心
答案：B
7.
已知函数，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
1
答案：C
8.
年初，新型冠状病毒（）引起的肺炎疫情爆发以来，各地医疗机构采取了各种针对性的治疗方法，取得了不错的成效，某医疗机构开始使用中西医结合方法后，每周治愈的患者人数如下表所示：
第周
治愈人数（单位：十人）
由上表可得关于的线性回归方程为，则此回归模型第周的残差（实际值减去预报值）为（
）
A.
B.
C.
D.
答案：A
9.
我国著名数学家华罗庚曾说：数缺形时少直观，形少数时难人微，数形结合百般好，割裂分家万事休.在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的解析式琢磨函数图象的特征.如函数的图象大致是（
）
A.
B.
C
D.
答案：C
10.
执行如图所示的程序框图，如果输入的．那么输出的S=（　　）
A.
B.
C.
D.
1
答案：B
11.
已知双曲线左右焦点分别是和，点关于渐近线的对称点恰好落在圆上，则双曲线的离心率为（
）
A.
B.
2
C.
D.
3
答案：B
12.
已知函数，有下述四个结论：
①函数是奇函数
②函数的最小正周期是
③函数在上是减函数
④函数在上的最大值是1
其中正确的结论一共有（
）个
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
答案：A
二?填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.
展开式中的常数项为__________．
答案：
14.
已知变量x，y满足，则的最大值为___________.
答案：
15.
将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若函数在上为增函数，则的取值范围是___________.
答案：
16.
若球О是直三棱柱的外接球，三棱柱的高和体积都是4，底面是直角三角形，则球О表面积的最小值是___________.
答案：
三?解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明?证明过程及演算步骤）
17.
的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
（1）求角A大小；
（2）求的取值范围.
答案：（1）；（2）.
18.
设数列的前n项和.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，求使得立的n的最小值.
答案：（1）;
(2)
9
19.
为庆祝2021年中国共产党成立100周年，某校高二年级举行“党史知识你我答”活动，共有10个班，每班选5名选手参加了预赛，预赛满分为150分，现预赛成绩全部介于90分到140分之间.将成绩结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组.按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示.
（1）若成绩大于或等于100分且小于120分认为是良好的，求参赛学生在这次活动中成绩良好的人数；
（2）若从第一?五组中共随机取出两个成绩，记X为取得第一组成绩的个数，求X的分布列与数学期望.
答案：(1)27；(2)分布列见解析，数学期望为
20.
如图，直四棱柱中，，E为的中点，底面是边长为4的菱形，.
（1）证明：E，，A，D四点共面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
答案：(1)证明见解析；(2)
21.
已知动点P到点的距离与到点的距离之和为，若点P形成的轨迹为曲线C.
（1）求曲线C的方程；
（2）过作直线l与曲线C分别交于两点M，N，当最大时，求的面积.
答案：
22.
已知函数.
（1）若函数在点处切线的斜率等于1，求a的值；
（2）讨论函数的单调性；
（3）若函数有两个极值点分别为，证明.
答案：(1)
;
(2)
当，在上单调递增，当，在和上单调递增，在上单调递减.(3)证明见解析