河北省保定市重点高中2022届高三上学期第一次月考数学（理）试题（ Word版，含解析）

保定市重点高中2021—2022学年第一学期高三年级第一次月考
理科数学试题
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.设集合，，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
2.已知集合，且M中至多有一个偶数，则这样的集合共有（
）
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
3.“”是“函数在区间上为增函数”的（
）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知，是两个命题，若是假命题，那么（
）
A.是真命题且是假命题
B.是真命题且是真命题
C.是假命题且是真命题
D.是假命题且是假命题
5.已知函数则等于（
）
A.1
B.2
C.3
D.4
6.设，，，则a，b，c的大小关系为（
）
A.
B.
C.
D.
7.定义在上的函数，则（
）
A.既是奇函数，又是增函数
B.既是奇函数，又是减函数
C.既是偶函数，又是增函数
D.既是偶函数，又是减函数
8.函数的图象大致为（
）
A.
B.
C.
D.
9.已知函数，则（
）
A.的图象关于点对称
B.的图象关于直线对称
C.在上单调递减
D.在上单调递减，在上单调递增
10.已知，当时，，则实数的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
11.已知函数若关于的方程有三个不同的实数根，则t的取值范围为（
）
A.
B.
C.
D.
12.已知定义在上的函数，，其中函数满足且在上单调递减，函数满足且在上单调递减，设函数，则对任意，均有（
）
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.设集合，，则的一个充分不必要条件是___________.
14.若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调递增区间为___________.
15.已知是上的减函数，那么的取值范围是___________.
16.如图所示，太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：能够将圆О的周长和面积同时等分成两个部分的函数称为圆O的一个“太极函数”，则下列有关说法中：
①函数是圆：的一个太极函数；
②函数是圆：的一个太极函数；
③函数是圆：的一个太极函数；
④函数是圆：的一个太极函数.所有正确的是___________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.已知集合，集合，集合.
（1）求集合；
（2）若，求实数的取值范围.
18.设命题：函数的定义域为；命题：不等式对任意恒成立.
（1）如果是真命题，求实数的取值范围；
（2）如果命题“或”为真命题且“且”为假命题，求实数的取值范围.
19.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求函数在上的解析式；
（2）解关于的不等式.
20.设函数，已知的解集为.
（1）求b，c的值；
（2）若函数在区间上的最小值为-4，求实数a的值.
21.某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为，凤眼莲的覆盖面积（单位：）与月份（单位：月）的关系有两个函数模型与可供选择.
（1）试判断哪个函数模型更适合并求出该模型的解析式；
（2）求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份.（参考数据：，）.
22.（12分）若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“依赖函数”.
（1）判断函数是否为“依赖函数”，并说明理由；
（2）若函数在定义域上为“依赖函数”，求的取值范围；
（3）已知函数在定义域上为“依赖函数”，若存在实数，使得对任意的，不等式都成立，求实数的最大值.
2021—2022学年第一学期高三年级第一次月考
理科数学答案及解析
1.D[，，故，所以.]
2.D[∵，且中至多有一个偶数，∴可能为，，，，，.]
3.A[当时，在上为增函数，故充分性成立；当函数在区间上为增函数时，，故必要性不成立.]
4.A[若是假命题，可知与都是假命题，则是真命题且是假命题.]
5.B[依题意得，.]
6.D[因为，，，所以.]
7.A[∵函数的定义域为，且，函数为奇函数，又∵当时，为增函数，∴在上为增函数.]
8.A[函数的定义域为，恒成立，排除C，D，当时，，当时，，排除B.]
9.A[由，得函数的定义域为，，定义域为，为奇函数且单调递增，∴为向右平移两个单位长度得到，则函数在上单调递增，关于点对称.]
10.B[当时，，∵当时，，即需成立；当时，，恒成立；当时，，即需成立；对于函数，在上，在上，∴解得.]
11.A[作出的图象，如图所示，令，当时，与的图象有1个交点，即有1个根，当时，与的图象有2个交点，即有2个根，
则关于的方程转化为，
由题意得，解得，
方程的两根为，
因为关于的方程有三个不同的实数根，
则解得，满足题意.]
12.C[易知为偶函数，关于对称，又在上单调递减，
∴在上单调递增，在上单调递减，∴在上单调递增，
当时，，
当时，.
①若恒成立，则，可知关于对称，
又与关于对称；与关于对称，
∴，；
②若恒成立，则，可知关于轴对称，
当时，；
当时，，
可排除A，B；
当，即时，，∴，
当，即时，，
若，则，可排除D.]
13.（或或）
解析
集合，若，则或或；
当时，，
当时，有，解得，
当时，有，解得，
故的一个充分不必要条件定（或或）.
14.
解析
∵函数是幂函数，且其图象过点，
∴，且，求得，，可，则函数的单调递增区间为.
15.
解析
因为是上的减函数，
所以解得，所以的取值范围为.
16.①②③④
解析
①两曲线的对称中心均为点，且两曲线交于两点，所以能把圆一分为二，如图，
故正确；
②函数关于点对称，经过圆的圆心，且两曲线交于两点，如图：
所以函数是圆：的一个太极函数，故正确；
③函数为奇函数，如图：
所以函数是圆：的一个太极函数，故正确；
④函数为奇函数，且单调递增，如图，
所以函数是圆：的一个太极函数，故正确.
17.解（1）∵，∴或，∴，.
于是，，，解得，∴.
（2）∵，∴.
若，则，即；
若，则或
解得，
综上，实数的取值范围是或.
18.解
（1）命题是真命题，则恒成立，
得即，
所以的取值范围为.
（2）若命题是真命题，则不等式对一切均成立，
设，令，则，，当时，，所以.
若命题“”为真命题，“”为假命题，则p，q一真一假.
即有或，
综上，实数的取值范围为.
19.解
（1）由题意，得当时，，则，
由是定义在上的奇函数，得，且，
综上，
（2）①当时，，解得，所以；
②当时，显然成立，所以成立；
③当时，，解得.
综上，不等式的解集为.
20.解
（1）由的解集为可得的解为，3，
则，，则，，此时即为，满足题意.
∴，.
（2），二次函数在上单调递减，在上单调递增，
当，即时，在上单调递减，
的最小值为，则，解得，不满足；
当，即时，在上先递减后递增，
的最小值为，则，解得或-4，
由，可得；
当，即时，在上单调递增，
的最小值为，不满足最小值为-4.
综上可知，.
21.解
（1）函数与在上都是增函数，随着的增加，函数的值增加的越来越快，而函数的值增加的越来越慢，由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，因此选择模型符合要求.
根据题意可知当时，；
当时，，
所以解得
故该函数模型的解析式为，，.
（2）当时，，元旦放入凤眼莲的覆盖面积是，
由，得，
∴，
∵，∴.
即凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是六月份．
22.解
（1）对于函数的定义域内存在，则无解，故不是“依赖函数”.
（2）因为在上单调递增，故，即，，
由，故，得，从而在上单调递增，故.
（3）①若，故在上的最小值为0此时不存在，舍去；
②若，故在上单调递减，
从而，解得（舍）或，从而存在.使得对任意的，有不等式都成立，
即恒成立，
由，得.
由，可得，
又在上单调递减，
故当时，从而，解得，
综上，实数的最大值为.