湖南省名校联盟2022届高三上学期入学摸底考试数学试题 （Word版，含答案）

名校联盟?2022届高三入学摸底考试
数学
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
3.本卷命题范围：高考范围．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．
1.
已知复数z满足：，则（
）
A.
B.
C.
D.
2.
集合，，则中的元素个数为（
）
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
3.
已知等差数列的通项公式为，则其前n项和的最大值为（
）
A.
15
B.
16
C.
17
D.
18
4.
已知；，若是的充分条件，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
5.
已知是定义在上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点成中心对称的是（
）
A.
B.
C.
D.
6.
已知文印室内有份待打印的文件自上而下摞在一起，秘书小王要在这份文件中再插入甲、乙两份文件，甲文件要在乙文件前打印，且不改变原来次序，则不同的打印方式的种数为（
）
A.
B.
C.
D.
7.
将函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，然后将所得图象向左平移个单位，可得函数的图象，则a＋b＝（
）
A
2
B.
0
C.
＋1
D.
1－
8.
如图，在正方体中，M为中点，过且与平行的平面交平面于直线l，则直线l与AB所成角的余弦值是（
）
A
B.
C.
D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在毎小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.
有一组样本数据：1，2，4，3，1，2，1，则（
）
A.
这组数据的众数为2
B.
这组数据的极差为3
C.
这组效据的平均数为2
D.
这组数据的中位数为
10.
已知a＞b＞1＞c＞0，则（
）
A.
B.
C.
D.
11.
已知，则（
）
A.
a＞b
B.
a＜b
C.
b＞c
D.
c＞a
12.
抛物线C：的焦点为F，准线l交x轴于点Q（－2，0），过焦点的直线m与抛物线C交于A，B两点，则（
）
A.
p＝2
B.
C.
直线AQ与BQ的斜率之和为0
D.
准线l上存在点M，若△MAB为等边三角形，可得直线AB的斜率为
三、填空题：本题共4小题，毎小题5分，共20分．
13.
向量，向量与的夹角为，则cos＝________．
14.
双曲线的一条渐近线与垂直，右焦点为，则以原点为圆心，为半径的圆的面积为________．
15.
如图，在六面体ABC－FEDG中，BG⊥平面ABC，平面ABC∥平面FEDG，AF∥BG，FE∥GD，∠FGD＝90°，AB＝BC＝BG＝2，四边形AEDC是菱形，则六面体ABC－FEDG的体积为________．
16.
已知：，且，则________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17.
如图，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2b，且．
（1）求C；
（2）△ABC内有点M，∠CMA＝∠CMB，且BM＝3AM，直线CM交AB于点Q，求tan∠CQA．
18.
已知：数列满足．
（1）求；
（2）求满足的最大的正整数n的值．
19.
四棱锥中，，，，，，平面平面．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的正弦值．
20.
已知函数．
（1）讨论单调性；
（2）若在上有零点，求实数a的取值范围．
21.
有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球2个红球，乙袋中有2个白球2个红球，从甲袋中随机取出一球与乙袋中随机取出一球进行交换．
（1）一次交换后，求乙袋中红球与白球个数不变的概率；
（2）二次交换后，记X为“乙袋中红球的个数”，求随机变量X的分布列与数学期望．
22.
椭圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，直线的斜率为，的面积为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆上有两点M，N（异于椭圆顶点，且MN与x轴不垂直），证明：当的面积最大时，直线与的斜率之积为定值．
名校联盟?2022届高三入学摸底考试
数学
答案版
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟．
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效．
3.本卷命题范围：高考范围．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的．
1.
已知复数z满足：，则（
）
A.
B.
C.
D.
答案：C
2.
集合，，则中的元素个数为（
）
A.
2
B.
3
C.
4
D.
5
答案：A
3.
已知等差数列的通项公式为，则其前n项和的最大值为（
）
A.
15
B.
16
C.
17
D.
18
答案：B
4.
已知；，若是的充分条件，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
答案：C
5.
已知是定义在上的偶函数，则以下函数中图象一定关于点成中心对称的是（
）
A.
B.
C.
D.
答案：B
6.
已知文印室内有份待打印的文件自上而下摞在一起，秘书小王要在这份文件中再插入甲、乙两份文件，甲文件要在乙文件前打印，且不改变原来次序，则不同的打印方式的种数为（
）
A.
B.
C.
D.
答案：B
7.
将函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，然后将所得图象向左平移个单位，可得函数的图象，则a＋b＝（
）
A
2
B.
0
C.
＋1
D.
1－
答案：C
8.
如图，在正方体中，M为中点，过且与平行的平面交平面于直线l，则直线l与AB所成角的余弦值是（
）
A
B.
C.
D.
答案：D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在毎小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.
有一组样本数据：1，2，4，3，1，2，1，则（
）
A.
这组数据的众数为2
B.
这组数据的极差为3
C.
这组效据的平均数为2
D.
这组数据的中位数为
答案：BC
10.
已知a＞b＞1＞c＞0，则（
）
A.
B.
C.
D.
答案：BCD
11.
已知，则（
）
A.
a＞b
B.
a＜b
C.
b＞c
D.
c＞a
答案：AC
12.
抛物线C：的焦点为F，准线l交x轴于点Q（－2，0），过焦点的直线m与抛物线C交于A，B两点，则（
）
A.
p＝2
B.
C.
直线AQ与BQ的斜率之和为0
D.
准线l上存在点M，若△MAB为等边三角形，可得直线AB的斜率为
答案：BCD
三、填空题：本题共4小题，毎小题5分，共20分．
13.
向量，向量与的夹角为，则cos＝________．
答案：
14.
双曲线的一条渐近线与垂直，右焦点为，则以原点为圆心，为半径的圆的面积为________．
答案：
15.
如图，在六面体ABC－FEDG中，BG⊥平面ABC，平面ABC∥平面FEDG，AF∥BG，FE∥GD，∠FGD＝90°，AB＝BC＝BG＝2，四边形AEDC是菱形，则六面体ABC－FEDG的体积为________．
答案：8
16.
已知：，且，则________．
答案：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17.
如图，△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2b，且．
（1）求C；
（2）△ABC内有点M，∠CMA＝∠CMB，且BM＝3AM，直线CM交AB于点Q，求tan∠CQA．
答案：（1）；（2）
18.
已知：数列满足．
（1）求；
（2）求满足的最大的正整数n的值．
答案：（1）；（2）
19.
四棱锥中，，，，，，平面平面．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的正弦值．
答案：（1）证明见解析；（2）
20.
已知函数．
（1）讨论单调性；
（2）若在上有零点，求实数a的取值范围．
答案：（1）当时，在R上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减；（2）
21.
有甲、乙两个袋子，甲袋中有2个白球2个红球，乙袋中有2个白球2个红球，从甲袋中随机取出一球与乙袋中随机取出一球进行交换．
（1）一次交换后，求乙袋中红球与白球个数不变的概率；
（2）二次交换后，记X为“乙袋中红球的个数”，求随机变量X的分布列与数学期望．
答案：（1）；（2）分布列见解析，.
22.
椭圆的右顶点为A，上顶点为B，O为坐标原点，直线的斜率为，的面积为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）椭圆上有两点M，N（异于椭圆顶点，且MN与x轴不垂直），证明：当的面积最大时，直线与的斜率之积为定值．
答案：（1）；（2）证明见解析.