辽宁省鞍山市2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题 （Word版，含解析）

2020-2021学年辽宁省鞍山市高二（下）期中数学试卷
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．等差数列{an}中，a1+a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知＝，＝，＝，则用向量，，可表示向量为（　　）
A．
B．
C．
D．﹣
3．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1．若am＝a1a2a3a4a5，则m＝（　　）
A．9
B．10
C．11
D．12
4．等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，当首项a1和d变化时，a2+a8+a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是（　　）
A．S7
B．S8
C．S13
D．S15
5．公元480年左右，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是：3.1415926到3.1415927之间，在之后的800年里祖冲之计算出的圆周率都是最准确的，所以，国际上曾提议将3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．某老师为了帮助学生了解“祖率”，让同学们把小数点后的7个数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么得到小于3.14的不同数字个数为（　　）
A．2280
B．440
C．720
D．240
6．唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河“，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤5，若将军从点A（4，0）出发，河岸线所在直线方程为x+y＝8，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短路程为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．某地组织普通高中数学竞赛．初赛共有20000名学生参赛，考试结束后发现考试成绩X（满分150分）服从正态分布N（110，100），决定考试成绩140分及以上者可以进入决赛．已知进入决赛的人数为26，那么估计本次考试成绩130分以上的人数大约为（　　）
附：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974．
A．456
B．1587
C．955
D．683
8．如果数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且，则此数列的第10项为（　　）
A．
B．
C．
D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．关于（a﹣b）10的说法，正确的是（　　）
A．展开式中的二项式系数之和为1024
B．展开式中第6项的二项式系数最大
C．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
10．若直线y＝2x﹣1与双曲线有且只有一个公共点，则m的值可能为（　　）
A．3
B．4
C．8
D．10
11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则（　　）
A．直线BD1⊥平面A1C1D
B．点P到平面A1C1D的距离为定值
C．异面直线AP与A1D所成角的取值范围是
D．直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为
12．已知数列{an}，{bn}满足an+1＝2an+bn，bn+1＝an+2bn+ln．如果a1+b1＞0，那么下列说法正确的有（　　）
A．数列{an﹣bn}单调递增
B．数列{an+bn}单调递增
C．数列{an}从某项以后单调递增
D．数列{bn}从某项以后单调递增
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知等比数列{an}各项均为正数，若a1+a3＝16，a5+a7＝4，则{an}的公比为
　
　．
14．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，定点A（2，1），设P为抛物线上的动点，|PA|+|PF|的最小值为
　
　，此时点P坐标为
　
　．
15．如果a1+a2+a3+…+an＝2n﹣1，那么＝　
　．
16．已知0＜P（A）＜1，且P（B|A）＝P（B）．若P（）＝0.6，P（B|）＝0.3，则P（AB）＝　
　．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．某数学兴趣小组为了探究参与某项老年运动是否与性别有关的问题，对城区60岁以上老人进行了随机走访调查，得到的数据如表：
男性
女性
总计
参与该项老年运动
p
8
x
不参与该项老年运动
q
32
y
总计
60
40
100
从参与该项老年运动的被调查者中随机抽取1人个人是男性的概率是．
（1）求2×2列联表中p，q，x，y的值；
（2）是否有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关？
参考公式及数据：，其中n＝a+b+c+d．
α＝P（χ2＞k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
18．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn+Sm＝Sn+m，?m，n∈N+．
（1）求数列{an}的通项an；
（2）设数列{bn}满足，求数列{Sn?bn}的前n项和Tn．
19．如图AD∥BC，且AD＝2BC，AD∥EG，且AD＝EG，CD∥FG，且CD＝2FG，AD⊥CD，DG⊥平面ABCD，AD＝CD＝DG＝2．
（1）求二面角E﹣BC﹣F的余弦值；
（2）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为，求线段DP的长．
20．某篮球队内部进行一次罚篮测试，规定：每名队员若连续罚中两次，则不用继续罚篮，判定为通过测试；否则罚篮5次停止测试，已知队员甲罚球命中率为．
（1）用X表示甲罚球的次数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（2）记“甲罚篮5次”为事件A，“甲通过测试”为事件B，求P（B|A）．
21．已知长度为3的线段的两个端点A，B分别在x轴和y轴上运动，动点P满足，记动点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设曲线C与y轴的正半轴交于点D，过点D作互相垂直的两条直线，分别交曲线C于M，N两点，连接MN，试判断直线是否经过定点．若是，求出该定点坐标；若否，请说明理由．
22．Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，．
（1）设，证明：，并求an；
（2）证明：．
参考答案
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．等差数列{an}中，a1+a5＝10，a4＝7，则数列{an}的公差为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
解：设数列{an}的公差为d，则由a1+a5＝10，a4＝7，可得2a1+4d＝10，a1+3d＝7，解得d＝2，
故选：B．
2．如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知＝，＝，＝，则用向量，，可表示向量为（　　）
A．
B．
C．
D．﹣
解：＝++＝﹣++，
故选：D．
3．在等比数列{an}中，a1＝1，公比|q|≠1．若am＝a1a2a3a4a5，则m＝（　　）
A．9
B．10
C．11
D．12
解：根据等比数列的性质得，a1?a5＝a2?a4＝，
又am＝a1a2a3a4a5，所以，
因为＝qm﹣1，＝q2，
所以qm﹣1＝（q2）5，所以m﹣1＝10，即m＝11，
故选：C．
4．等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，当首项a1和d变化时，a2+a8+a11是一个定值，则下列各数中也为定值的是（　　）
A．S7
B．S8
C．S13
D．S15
解：∵a2+a8+a11＝（a1+d）+（a1+7d）+（a1+10d）＝3（a1+6d）＝3a7，
且a2+a8+a11是一个定值，
∴a7为定值，
又S13＝＝13a7，
∴S13为定值．
故选：C．
5．公元480年左右，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是：3.1415926到3.1415927之间，在之后的800年里祖冲之计算出的圆周率都是最准确的，所以，国际上曾提议将3.1415926称为“祖率”，这是中国数学的伟大成就．某老师为了帮助学生了解“祖率”，让同学们把小数点后的7个数字1，4，1，5，9，2，6进行随机排列，整数部分3不变，那么得到小于3.14的不同数字个数为（　　）
A．2280
B．440
C．720
D．240
解：由题意可得，小数点后两位为3.11或3.12时，余下的5个数全排列得到的数字小于3.14，
故小于3.14的不同数字个数为＝240．
故选：D．
6．唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河“，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题：即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x2+y2≤5，若将军从点A（4，0）出发，河岸线所在直线方程为x+y＝8，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短路程为（　　）
A．
B．
C．
D．
解：设点A关于直线x+y＝8的对称点B（a，b），设军营所在区域的圆心为O，
根据题意，|BO|﹣为最短距离，
AB的中点为（，），直线AB的斜率为1，
由，解得a＝8，b＝4，
所以|BO|﹣＝﹣＝3．
故选：B．
7．某地组织普通高中数学竞赛．初赛共有20000名学生参赛，考试结束后发现考试成绩X（满分150分）服从正态分布N（110，100），决定考试成绩140分及以上者可以进入决赛．已知进入决赛的人数为26，那么估计本次考试成绩130分以上的人数大约为（　　）
附：P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）＝0.9544，P（μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）＝0.9974．
A．456
B．1587
C．955
D．683
解：∵考试成绩X（满分150分）服从正态分布N（110，100），
∴μ＝110，σ2＝100，即σ＝10，
∴＝，
故本次考试成绩130分以上的人数大约为20000×0.0228＝456人．
故选：A．
8．如果数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且，则此数列的第10项为（　　）
A．
B．
C．
D．
解：由，得
，
∴，
即．
∴{}构成以为首项，以1为公比的等比数列．
∵a1＝2，a2＝1，∴＝1﹣＝．
则．
∴＝．
．
…
．
累加得：．
∴．
故选：D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．关于（a﹣b）10的说法，正确的是（　　）
A．展开式中的二项式系数之和为1024
B．展开式中第6项的二项式系数最大
C．展开式中第5项和第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
解：由二项式系数的性质知，二项式系数之和为210＝1
024，故A正确；
当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；
D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数且其绝对值最大，所以是系数中最小的．
故选：ABD．
10．若直线y＝2x﹣1与双曲线有且只有一个公共点，则m的值可能为（　　）
A．3
B．4
C．8
D．10
解：联立，可得（m﹣4）x2+4x﹣1﹣m＝0，
当m＝4时，4x﹣1﹣m＝0有唯一解，符合题意；
当m≠4时，△＝16+4（m+1）（m﹣4）＝0，解得m＝3或m＝0（舍去），
故m＝3或4．
故选：AB．
11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在线段B1C上运动，则（　　）
A．直线BD1⊥平面A1C1D
B．点P到平面A1C1D的距离为定值
C．异面直线AP与A1D所成角的取值范围是
D．直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为
解：如图，
对于A，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，
∴A1C1⊥平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1，同理，DC1⊥BD1，
∵A1C1∩DC1＝C1，∴BD1⊥平面A1C1D，故A正确；
对于B，∵A1D∥B1C，A1D?平面A1C1D，B1C?平面A1C1D，∴B1C∥平面A1C1D，
∵点P在线段B1C上运动，∴P到平面A1C1D的距离为定值，故B正确；
对于C，当点P与线段B1C的端点重合时，异面直线AP与A1D所成角取得最小值为，
故异面直线AP与A1D所成角的取值范围是[，]，故C正确，
对于D，以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，如图示：
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1中棱长为1，P（a，1，a），
则D（0，0，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1），
＝（1，0，1），＝（0，1，1），＝（a，0，a﹣1），
设平面A1C1D的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝1，得＝（1，1，﹣1），
∴直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值为：
＝＝，
∴当a＝时，直线C1P与平面A1C1D所成角的正弦值的最大值为，故D错误．
故选：ABC．
12．已知数列{an}，{bn}满足an+1＝2an+bn，bn+1＝an+2bn+ln．如果a1+b1＞0，那么下列说法正确的有（　　）
A．数列{an﹣bn}单调递增
B．数列{an+bn}单调递增
C．数列{an}从某项以后单调递增
D．数列{bn}从某项以后单调递增
解：由an+1＝2an+bn，bn+1＝an+2bn+ln，
两式作差可得an+1﹣bn+1＝an﹣bn﹣ln，当n＝1时，a2﹣b2＝a1﹣b1﹣ln2，
∴a2﹣b2＜a1﹣b1，故A错误；
两式相加可得an+1+bn+1＝3（an+bn）+ln（n+1）﹣3lnn，
即an+1+bn+1﹣ln（n+1）＝3（an+bn﹣lnn），
∴{an+bn﹣lnn}是以a1+b1为首项，3为公比的等比数列，
∴an+bn﹣lnn＝，则an+bn＝+lnn，
又a1+b1＞0，∴数列{an+bn}单调递增，故B正确；
将an+bn＝+lnn代入an+1＝2an+bn，
得an+1＝an+（an+bn）＝an++lnn，
∴an+1﹣an＝+lnn＞0，可得数列{an}从某项以后单调递增，故C正确；
将an+bn＝+lnn代入bn+1＝an+2bn+ln，
得bn+1＝bn+（an+bn）+ln＝bn++lnn+ln，
∴bn+1﹣bn＝+ln（n+1）﹣2lnn，
由a1+b1＞0，结合指数函数与对数函数的增长速度可知，从某个n起后，
﹣lnn＞0，又ln（n+1）﹣lnn＞0，∴数列{bn}从某项以后单调递增，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知等比数列{an}各项均为正数，若a1+a3＝16，a5+a7＝4，则{an}的公比为
　　．
解：设等比数列{an}的公比为q＞0，
则根据题意可得，解得q4＝，
解得q＝，即{an}的公比为．
故答案为：．
14．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，定点A（2，1），设P为抛物线上的动点，|PA|+|PF|的最小值为
　3　，此时点P坐标为
　（，1）　．
解：如图，抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），准线x＝﹣1，
点P到准线x＝﹣1的距离为PC，
则|PA|+|PF|＝|PA|+|PC|，
故当A、P、C三点共线时，|PA|+|PF|有最小值2﹣（﹣1）＝3，
此时，点P的纵坐标为1，代入可得点P的横坐标为，
故此时点P坐标为（，1）．
故答案为：3，（，1）．
15．如果a1+a2+a3+…+an＝2n﹣1，那么＝　（1﹣）　．
解：a1+a2+a3+…+an＝2n﹣1，可得a1＝2﹣1＝1，
当n≥2时，an＝2n﹣1﹣2n﹣1+1＝2n﹣1，
上式对n＝1也成立，
所以an＝2n﹣1，n∈N
，
＝＝，
所以＝（1+++...+）
＝?＝（1﹣）．
故答案为：（1﹣）．
16．已知0＜P（A）＜1，且P（B|A）＝P（B）．若P（）＝0.6，P（B|）＝0.3，则P（AB）＝　0.12　．
解：∵P（B|A）＝P（B），
∴A，B相互独立，
∵P（）＝0.6，
∴P（A）＝1﹣P（）＝1﹣0.6＝0.4，
∵P（B|）＝0.3，
∴P（B）＝0.3，
∴P（AB）＝P（A）P（B）＝0.4×0.3＝0.12．
故答案为：0.12．
四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．某数学兴趣小组为了探究参与某项老年运动是否与性别有关的问题，对城区60岁以上老人进行了随机走访调查，得到的数据如表：
男性
女性
总计
参与该项老年运动
p
8
x
不参与该项老年运动
q
32
y
总计
60
40
100
从参与该项老年运动的被调查者中随机抽取1人个人是男性的概率是．
（1）求2×2列联表中p，q，x，y的值；
（2）是否有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关？
参考公式及数据：，其中n＝a+b+c+d．
α＝P（χ2＞k）
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
解：（1）由表格中的数据可得，p＝16，q＝44，x＝24，y＝76；
（2）由表格中的数据可得，＝，
所以没有90%的把握认为参与该项老年运动与性别有关．
18．已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn+Sm＝Sn+m，?m，n∈N+．
（1）求数列{an}的通项an；
（2）设数列{bn}满足，求数列{Sn?bn}的前n项和Tn．
解：（1）因为Sn+Sm＝Sn+m，?m，n∈N+，a1＝1，
所以当m＝1时，Sn+S1＝Sn+1，即Sn+1﹣Sn＝a1＝1，
故数列{Sn}是首项为1，公差为1的等差数列，
即Sn＝n，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝1，
又因为a1＝1，
所以an＝1，n∈N+；
（2）由（1）得，故，
所以①，
②，
①﹣②得＝﹣n?2n+1，
即．
19．如图AD∥BC，且AD＝2BC，AD∥EG，且AD＝EG，CD∥FG，且CD＝2FG，AD⊥CD，DG⊥平面ABCD，AD＝CD＝DG＝2．
（1）求二面角E﹣BC﹣F的余弦值；
（2）若点P在线段DG上，且直线BP与平面ADGE所成的角为，求线段DP的长．
解：因为DG⊥平面ABCD，DA?平面ABCD，DC?平面ABCD，
所以DG⊥DA，DG⊥DC，又AD⊥CD，
故以D为坐标原点，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．
由AD∥BC且AD＝2BC，AD∥EG且AD＝EG，CD∥FG且CD＝2FG，AD＝CD＝DG＝2可知，
各点坐标为E（2，0，2），B（1，2，0），C（0，2，0），F（0，1，2），
（1）易知
设平面EBC的法向量为＝（x1，y1，z1），
则由可得，
故平面EBC的一个法向量为＝（0，1，1）．
设平面FBC的法向量为＝（x2，y2，z2），
则由可得，
故平面FBC的一个法向量为＝（0，2，1）
因为且显然二面角E﹣BC﹣F为锐角．
故二面角E﹣BC﹣F的余弦值为；
（2）因为点P在线段DG上，故可设点P坐标为（0，0，p），其中0＜p＜2，
于是，
易知平面ADGE的一个法向量为＝（0，1，0），
因为直线BP与平面ADGE所成的角为，
所以，
解得，
所以线段DP的长为．
20．某篮球队内部进行一次罚篮测试，规定：每名队员若连续罚中两次，则不用继续罚篮，判定为通过测试；否则罚篮5次停止测试，已知队员甲罚球命中率为．
（1）用X表示甲罚球的次数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（2）记“甲罚篮5次”为事件A，“甲通过测试”为事件B，求P（B|A）．
解：（1）由题意可得，随机变量X的所有可能取值为2，3，4，5，
P（X＝2）＝，P（X＝3）＝，
P（X＝4）＝+，
P（X＝5）＝1﹣P（X＝2）﹣P（X＝3）﹣P（X＝4）＝，
故所求分布列为：
X
2
3
4
5
P
．
（2）由（1）知P（A）＝，
P（AB）＝×，
故．
21．已知长度为3的线段的两个端点A，B分别在x轴和y轴上运动，动点P满足，记动点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）设曲线C与y轴的正半轴交于点D，过点D作互相垂直的两条直线，分别交曲线C于M，N两点，连接MN，试判断直线是否经过定点．若是，求出该定点坐标；若否，请说明理由．
解：（1）设点P坐标为（x，y），点A坐标为（a，0），点B坐标为（0，b），
由题意可知，a2+b2＝9（
），
由，可得，
代入（
）式化简可得，，
故所求的曲线方程为；
（2）由题意可知，直线MN的斜率存在，设其方程为y＝kx+m，
代入椭圆方程得x2+4（kx+m）2﹣4＝0，
即（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4＝0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），
那么，
因为直线DM与DN垂直，
所以，即（x1，y1﹣1）?（x2，y2﹣1）＝0，
又因为y1＝kx1+m，y2＝kx2+m，
所以（x1，kx1+m﹣1）?（x2，kx2+m﹣1）＝0，
即为x1x2+（kx1+m﹣1）（kx2+m﹣1）＝0，
整理得，
所以，
因为m≠1，
则4（k2+1）（m+1）﹣8k2m+（m﹣1）（4k2+1）＝0，
化简得，
故直线经过定点，其坐标为．
22．Sn为数列{an}的前n项和，已知a1＝1，．
（1）设，证明：，并求an；
（2）证明：．
【解答】证明：（1）当n＝1时a1+S1＝2a1＝2﹣1，即a1＝，
由，
两式相减可得，
两边同时乘2n可得即，
b1＝2a1＝1，
所以bn＝b1+（b2﹣b1）+（b3﹣b2）+...+（bn﹣bn﹣1）＝1+4+16+...+4n﹣1＝＝＝2nan，
所以；
（2）由（1）得Sn＝（﹣）＝（2n+1﹣3+）＝?，
所以，
所以＝3（1﹣+﹣+...+﹣）
＝3（1﹣）＜3．