安徽省蚌埠市2022届高三上学期第一次教学质量检查理科数学试题（Word版含答案）

蚌埠市2022届高三年级第一次教学质量检查考试数学（理工类）
本试卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名?准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
一?选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知为虚数单位，复数满足，则（
）
A.
B.
C.
D.
2.已知全集，集合，则（
）
A.
B.
C.
D.
3.若且，则“”是“”的（
）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4，我国在2020年开展了第七次全国人口普查，并于2021年5月11日公布了结果，自新中国成立以来，我国共进行了七次全国人口普查，下图为我国历次全国人口普查人口性别构成及总人口性别比（以女性为100，男性对女性的比例）统计图，则下列说法错误的是（
）
A.近三次全国人口普查总人口性别比呈递减趋势
B.我国历次全国人口普查总人口数呈逐次递增
C.第五次全国人口普查时，我国总人口数已经突破12亿
D.第七次人口普查时，我国总人口性别比最高
5.为得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点（
）
A.向右平移个单位
B.向右平移个单位
C.向左平移个单位
D.向左平移个单位
6.勒洛三角形是一种特殊三角形，指分别以正三角形的三个顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形.如图，在勒洛三角形内随机选取一点，则该点位于正三角形内的概率为（
）
A.
B.
C.
D.
7.过点的直线与轴正半轴相交于点，与轴正半轴相交于点，则的最小值为（
）
A.6
B.
C.
D.
8.某中学为了发挥青年志原者的模范带头作用，利用周末开展青年志愿者进社区服务活动.该校决定成立一个含有甲?乙两人的4人青年志愿者社区服务团队，现把4人分配到和两个社区去服务，若每个社区都有志愿者，每个志愿者只服务一个社区，且甲?乙两人不同在一个社区的分配方案种类有（
）
A.4
B.8
C.10
D.12
9.若定义域为的奇函数满足，且，则（
）
A.2
B.1
C.0
D.
10.已知椭圆的右顶点为，坐标原点为，若椭圆上存在一点使得是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为（
）
A.
B.
C.
D.
11.正四面体中，点是棱上的动点（包含端点），记异面直线与所成角为，直线与平面所成角为，则（
）
A.
B.
C.
D.
12.实数满足，则（
）
A.256
B.32
C.8
D.4
二?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的焦距为__________.
14.已知球面上三点满足，且球心到平面的距离为6，则球的表面积为.__________.
15.已知是三个不同的非零向量，若且，则称是关于的对称向量.已知向量，则关于的对称向量为__________.（填坐标形式）.
16.若二项式展开式中第4项的系数最大，则的所有可能取值的个数为__________.
三?解答题：共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤
17.（10分）
设的内角的对边分别为，且的最大边的边长为
（1）求角；
（2）求的取值范围.
18.（12分）
已知数列的前项和为，满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，数列的前项和为，求证为定值.
19.（12分）
如图，多面体中，平面，点为的中点，
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的大小.
20.（12分）
某校计划在秋季运动会期间开展“运动与健康”知识大赛，为此某班开展了10次模拟测试，以此选拔选手代表班级参赛，下表为甲，乙两名学生的历次模拟测试成绩.
场次
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
甲
98
94
97
97
95
93
93
95
93
95
乙
92
94
93
94
95
94
96
97
97
98
甲，乙两名学生测试成绩的平均数分别记作，方差分别记作.
（1）求
（2）若某班A，B两名学生模拟测试成绩的平均分并列第一，且每班只能派出一名学生参赛，则需要对他们进行加试，规则如下：设置5轮抢答，每轮抢到答题权并答对则该学生得1分，答错则对方得1分，当分差达到2分或答满5轮时，比赛结束，得分高者获胜，已知A，B每轮均抢答且抢到答题权的概率相同，A答对的概率为0.5，B答对的概率为0.7，且两人每轮是否回答正确均相互独立，设抢答了轮后比赛结束，求随机变量的分布列.
21.（12分）
已知函数.
（1）求的单调区间；
（2）当时，求证：.
22.（12分）
已知抛物线的焦点为，点为坐标原点，直线过定点（其中，）与抛物线相交于两点（点位于第一象限.
（1）当时，求证：；
（2）如图，连接并延长交抛物线于两点，，设和的面积分别为和，则是否为定值？若是，求出其值；若不是，请说明理由.
蚌埠市2022届高三年级第一次教学质量检查考试
数学（理工类）参考答案及评分标准
一?选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
A
B
D
D
A
B
B
D
C
C
B
二?填空题：
13.
14.
15.
16.4
三?解答题：
17.（10分）
（1）由题意可得，
由余弦定理得，
即.
（2）由（1）可知，中角为最大角，由大角对大边知，
由正弦定理知，，
所以，
而，
又因为，
所以，
可得，
所以.
18.（12分）
（1）当时，，解得.
当时，，从而，
化简得，
所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，
则，即.
（2），
所以，
从而，
两式相减，得
即，
所以，
而，
所以为定值.
19.（12分）
（1）取中点，连接，
则且，
又且，
所以，即四边形为平行四边形，
从而，
而，
所以，
平面，
所以平面，
所以
且，
所以平面，
所以平面平面，
所以平面平面
（2）由（1）知，分别以为轴建立空间坐标
系，又，
所以，
所以平面的一个法向量，
设平面的法向量分别为，
所以，
即，
可得平面的一个法向量为
所以二面角为余弦值，
沂以二面角的大小为.
20.（12分）
（1）
（2）每轮得1分的概率为，
每轮得1分的概率为，
的所有可能取值为，
所以随机变量的分布列为
2
4
5
21.（12分）
（1）因为，
所以，
令，解得，且
当时，时，
所以在单调递增，在上单调递减；
（2）要证
即证，
即，
设，
即证.
因为
所以当时，恒成立，单调递增
故当时，；
当时，；
当时，.
所以当.
即当时，.
22.（12分）
（1）设直线方程为，
联立直线与抛物线的方程，
消去，得，
所以
即.
（2）设直线方程为，
联立直线与抛物线的方程，
消去，得，
故.
设的方程为，
联立直线与拋物线的方程，
消去得，
从而，则，
同理可得，
，
即为定值.