湖南师大附高2022届高三上学期入学考试数学试题（Word版含答案）

湖南师范大学附属中学2022届高三上学期入学考试
数学
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
已知是虚数单位，复数满足，则（
）
A.
B.
C.
D.
2.
若抛物线上一点到焦点的距离为8，则（
）
A.
1
B.
2
C.
4
D.
8
3.
已知?是全集的两个非空子集.若，则下列说法可能正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
4.
如图是藏于清华大学的“算表”.算表距今已有2300余年历史，它能够快速进行100以内任意两整数的乘除运算，其计算能力远强于人们熟知的“九九乘法表”.算表是迄今为止发现的人类最早的十进制计算器，表明当时中国的数学研究水平已经初具规模.下以计算为例，解释算表的大致原理：
①将22分为2和20；将35分为5和30；
②在算表第1行分别找到2和20；在算表第1列找到5和30；
③分别在算表中找到2和5?30及20和5?30的交叉点所对应的数字；
④将4个对应的数字相加，得.
×
2
10
20
5
10
…
100
10
…
…
…
30
60
…
600
如果从现代数学体系来看，该计算方法所利用的公理是（
）
A.
加法交换律
B.
乘法分配律
C.
加法结合律
D.
乘法交换律
5.
若，则的值为（
）
A.
1或
B.
或
C.
或
D.
或
6.
已知随机变量，则下列说法不正确的是（
）
A.
若，则
B
若，则
C.
不论取何值，总成立
D.
根据“原则”，在一次试验中，事件“”几乎不可能发生
7.
已知数列，设：，，三项既是等差数列，又是等比数列；：是常数列.则是的（
）
A.
充要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分不必要条件
D.
既不充分也不必要条件
8.
设定义在上的连续偶函数满足，且当时，.若函数恰好有5个零点，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
二?多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.
对于一组样本数据，，…，，下列表达式中，能够刻画该组数据的离散程度的是（
）注：；和分别表示，，…，中的最大值和最小值.
A.
B.
C.
D.
10.
已知，，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
11.
在正方体中，，点为正方形内部一点，点为棱中点，平面.则（
）
A.
异面直线和夹角的余弦值为
B.
点和点到平面的距离相等
C.
正方体被平面截得的截面为等腰梯形
D.
三棱锥外接球的半径为
12.
在平面直角坐标系中，已知圆，直线，为圆上一动弦，且.则（
）
A.
当实数变化时，圆最多能够经过3个象限
B.
存在，使得直线和圆相交
C.
的最小值是
D.
点到直线距离的最小值是
三?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
若平面单位向量，，满足，则___________.
14.
写出一个同时满足下列要求的连续函数___________.①的表达式中至少含有??中的两个；②存在一个极值点.
15.
在平面直角坐标系中，椭圆的左右焦点分别为?，与轴垂直的直线经过，交于?两点，记.若内切圆的半径为，则的离心率为___________.
16.
在四面体中，是边长为2的等边三角形，平面，且，则点到平面的距离是___________；动点?分别在线段（含端点）上和所在平面中运动，满足.记的外心为，则的取值范围是___________.
四?解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
17.
在中，，，分别为，，所对的边，，.
（1）求；
（2）若，求的面积.
18.
已知数列满足：，.
（1）若是常数列，求；
（2）已知.
（i）证明：是等比数列；
（ii）设，求数列的前项和.
19.
如图，在圆锥中，的内接为等边三角形，，且圆锥的侧面展开图恰好为半圆.
（1）证明：；
（2）点是底面上的一个动点，，求二面角余弦值的最小值.
20.
近日，河南突降暴雨，郑州?驻马店等多地陷入灾情.习近平总书记对防汛救灾工作作出重要指示，各地迅速向河南伸出援手，体现了“一方有难，八方支援”人间真情.降雨重现期是指在一定年代的降雨量记录资料统计期间内，大于或等于某暴雨强度的降雨出现一次的平均间隔时间.现已知近年来郑州市暴雨强度与降雨历时具有的关系大致是.其中中间变量与降雨重现期（年）具有如图所示的关系.现有两个回归模型可供选择：①根据与成正相关关系，直接采用线性回归模型；②根据与成正相关关系，且考虑模型拟合曲线的增减速率，采用回归模型.
相关数据统计如下表（其中）；
，，，，，，
（1）请选择合适的回归模型，求出暴雨强度?降雨历时?降雨重现期（年）具有的函数关系；
（2）已知郑州7月20日16时-17时降雨量曾经达到过.请利用（1）得到的函数关系，分析“今年河南的暴雨千年一遇”这种说法的合理性，（参考数据：，）
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
21.
设函数.
（1）当时，证明：；
（2）已知恰好有3个极值点，，.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：.
22.
在平面直角坐标系中，双曲线左顶点到右焦点的距离是，且的离心率是.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）点是上位于第一象限的一点，点、关于原点对称，点、关于轴对称.延长至使得，且直线和的另一个交点位于第二象限中.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：不可能是三等分线.
湖南师范大学附属中学2022届高三上学期入学考试
数学
答案版
一?选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.
已知是虚数单位，复数满足，则（
）
A.
B.
C.
D.
答案：A
2.
若抛物线上一点到焦点的距离为8，则（
）
A.
1
B.
2
C.
4
D.
8
答案：C
3.
已知?是全集的两个非空子集.若，则下列说法可能正确的是（
）
A.
B.
C.
D.
答案：D
4.
如图是藏于清华大学的“算表”.算表距今已有2300余年历史，它能够快速进行100以内任意两整数的乘除运算，其计算能力远强于人们熟知的“九九乘法表”.算表是迄今为止发现的人类最早的十进制计算器，表明当时中国的数学研究水平已经初具规模.下以计算为例，解释算表的大致原理：
①将22分为2和20；将35分为5和30；
②在算表第1行分别找到2和20；在算表第1列找到5和30；
③分别在算表中找到2和5?30及20和5?30的交叉点所对应的数字；
④将4个对应的数字相加，得.
×
2
10
20
5
10
…
100
10
…
…
…
30
60
…
600
如果从现代数学体系来看，该计算方法所利用的公理是（
）
A.
加法交换律
B.
乘法分配律
C.
加法结合律
D.
乘法交换律
答案：B
5.
若，则的值为（
）
A.
1或
B.
或
C.
或
D.
或
答案：D
6.
已知随机变量，则下列说法不正确的是（
）
A.
若，则
B
若，则
C.
不论取何值，总成立
D.
根据“原则”，在一次试验中，事件“”几乎不可能发生
答案：D
7.
已知数列，设：，，三项既是等差数列，又是等比数列；：是常数列.则是的（
）
A.
充要条件
B.
必要不充分条件
C.
充分不必要条件
D.
既不充分也不必要条件
答案：C
8.
设定义在上的连续偶函数满足，且当时，.若函数恰好有5个零点，则实数的取值范围是（
）
A.
B.
C.
D.
答案：B
二?多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.
对于一组样本数据，，…，，下列表达式中，能够刻画该组数据的离散程度的是（
）注：；和分别表示，，…，中的最大值和最小值.
A.
B.
C.
D.
答案：AC
10.
已知，，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
答案：ABD
11.
在正方体中，，点为正方形内部一点，点为棱中点，平面.则（
）
A.
异面直线和夹角的余弦值为
B.
点和点到平面的距离相等
C.
正方体被平面截得的截面为等腰梯形
D.
三棱锥外接球的半径为
答案：BC
12.
在平面直角坐标系中，已知圆，直线，为圆上一动弦，且.则（
）
A.
当实数变化时，圆最多能够经过3个象限
B.
存在，使得直线和圆相交
C.
的最小值是
D.
点到直线距离的最小值是
答案：D
三?填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
若平面单位向量，，满足，则___________.
答案：
14.
写出一个同时满足下列要求的连续函数___________.①的表达式中至少含有??中的两个；②存在一个极值点.
答案：或（答案不唯一）
15.
在平面直角坐标系中，椭圆的左右焦点分别为?，与轴垂直的直线经过，交于?两点，记.若内切圆的半径为，则的离心率为___________.
答案：
16.
在四面体中，是边长为2的等边三角形，平面，且，则点到平面的距离是___________；动点?分别在线段（含端点）上和所在平面中运动，满足.记的外心为，则的取值范围是___________.
答案：
①.
；
②.
四?解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明?证明过程或演算步骤.
17.
在中，，，分别为，，所对的边，，.
（1）求；
（2）若，求的面积.
答案：（1）；（2）.
18.
已知数列满足：，.
（1）若是常数列，求；
（2）已知.
（i）证明：是等比数列；
（ii）设，求数列的前项和.
答案：（1）或1；（2）（i）证明见解析；（ii）.
19.
如图，在圆锥中，的内接为等边三角形，，且圆锥的侧面展开图恰好为半圆.
（1）证明：；
（2）点是底面上的一个动点，，求二面角余弦值的最小值.
答案：（1）证明见解析；（2）最小值是.
20.
近日，河南突降暴雨，郑州?驻马店等多地陷入灾情.习近平总书记对防汛救灾工作作出重要指示，各地迅速向河南伸出援手，体现了“一方有难，八方支援”人间真情.降雨重现期是指在一定年代的降雨量记录资料统计期间内，大于或等于某暴雨强度的降雨出现一次的平均间隔时间.现已知近年来郑州市暴雨强度与降雨历时具有的关系大致是.其中中间变量与降雨重现期（年）具有如图所示的关系.现有两个回归模型可供选择：①根据与成正相关关系，直接采用线性回归模型；②根据与成正相关关系，且考虑模型拟合曲线的增减速率，采用回归模型.
相关数据统计如下表（其中）；
，，，，，，
（1）请选择合适的回归模型，求出暴雨强度?降雨历时?降雨重现期（年）具有的函数关系；
（2）已知郑州7月20日16时-17时降雨量曾经达到过.请利用（1）得到的函数关系，分析“今年河南的暴雨千年一遇”这种说法的合理性，（参考数据：，）
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.
答案：（1）；（2）答案见解析.
21.
设函数.
（1）当时，证明：；
（2）已知恰好有3个极值点，，.
（i）求实数的取值范围；
（ii）证明：.
答案：（1）证明见解析；（2）（i）；（ii）证明见解析.
22.
在平面直角坐标系中，双曲线左顶点到右焦点的距离是，且的离心率是.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）点是上位于第一象限的一点，点、关于原点对称，点、关于轴对称.延长至使得，且直线和的另一个交点位于第二象限中.
（i）求的取值范围；
（ii）证明：不可能是三等分线.
答案：（1）；（2）（i）；（ii）证明见解析.