湖北省部分重点中学2022届高三上学期新起点联考数学试题（Word版含答案解析）

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湖北省部分重点中学2022届高三新起点联考
数学试题
本试卷共4页，22题.全卷满分150分。考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，考生先将自己的姓名、考生号、座号填写在相应位置，认真核对条形码上的姓名、考生号和座号，并将条形码粘贴在指定位置上。
2.选择题答案必须使用2B铅笔（按填涂样例）正确填涂；非选择题答案必须使用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3.请按照题号在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。保持卡面清洁，不折叠、不破损。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（原创，易）已知集合，，则
A．
B．
C．
D．
2．（原创，易）若复数满足(其中为虚数单位)，则复数的共轭复数=（
）
A．
　B．
C．
D．
3．（原创，易）已知，则向量的夹角为（
）
A．
　B．
C．
D．
4．（原创，易）设，则（
）
A．
　B．
C．
D．
5.
（原创，中）已知函数的部分图象如图所示，且经过点，则（
）
A．关于点对称
B．关于直线对称
C．为奇函数
D．为偶函数
6．已知：“，”，：“，且的图象不过第一象限”，则是的
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
7．（原创，中）已知双曲线的左右焦点为，过的直线交双曲线右支于，若，且,则双曲线的离心率为（
）
A．
　B．
C．
D．
8．（原创，中）定义空间直角坐标系中的任意点的“数”为：在点的坐标中不同数字的个数,如:,若点的坐标，则所有这些点的“数”的平均值为
B.
D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.
9．（原创，易）已知，则（
）
A.
的最大值为
B.
的最小值为
C.
D.
的最小值为
10
（原创，易）已知为上的偶函数，且是奇函数，则
A．关于点对称
B．关于直线对称
C．的周期为
D．的周期为
11．（原创，中）已知，，且，则（
）
A.
B.
C.
D.
若，则
(
A
C
B
D
E
)12．如图，菱形边长为，，为边的中点．将沿折起，使到，且平面平面，连接，．
(
A'
C
B
D
E
)
则下列结论中正确的是
A．
B．四面体的外接球表面积为
C．与所成角的余弦值为
D．直线与平面所成角的正弦值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（改编，易）海水稻的灌溉是将海水稀释后进行灌溉.某试验基地为了研究海水浓度(‰)对亩产量(吨)的影响，测得了某种海水稻的亩产量与海水浓度的数据如下表.绘制散点图发现，可用线性回归模型拟合亩产量与海水浓度之间的相关关系，最小二乘法计算得与之间的线性回归方程为，则
海水浓度(‰)
3
4
5
6
7
亩产量(吨)
0.52
0.48
0.39
0.3
0.21
14．直线与圆相交于，若，则
。
15.已知等比数列的前项和分别记为，且，则
16.点在函数的图象上，若满足到直线的距离为的点只有个，则实数的取值范围为
。
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）
数列的前项和为，，，等差数列的公差大于0.已知，且成等比数列.
求数列的通项公式；
求数列的前项和.
18.
（本小题满分12分）
从某企业生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布表和频率分布直方图．
分组
频数
频率
[2.5，7.5)
2
0.002
[7.5，12.5)
0.054
[12.5，17.5)
106
0.106
[17.5，22.5)
149
0.149
[22.5，27.5)
352
[27.5，32.5)
190
0.190
[32.5，37.5)
100
0.100
[37.5，42.5)
47
0.047
合计
1000
1.000
（1）求，，的值；
（2）求出这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，其中已计算得．如果产品的质量指标值位于区间
，企业每件产品可以获利10元，如果产品的质量指标值位于区间之外，企业每件产品要损失100元，从该企业一天生产的产品中随机抽取20件产品，记为抽取的20件产品所获得的总利润，求．
附：，，．
19．（原创，易）（本小题满分12分）
在中，角A,B,C所对的边为a,b,c.且满足
（1）求角B；
（2）若周长为6，求的面积.
20.
（本小题满分12分）
如图，在三棱锥与三棱锥拼接而成的五面体中，平面,平面平面,是边长为的正三角形，是直角三角形，且
（1）（原创，中）求证：平面；
（2）（原创，中）若多面体的体积为，求直线与平面所成角的正弦值
21.
（本小题满分12分）
已知为椭圆与抛物线的交点，设椭圆的左右焦点为，抛物线的焦点为，直线将的面积分为9:7两部分.
（1）（原创，易）求椭圆及抛物线的方程；
（2）（原创，难）若直线：与椭圆相交于两点，且的重心恰好在圆上，求的取值范围.
【答案】(1)
，
；(2)
或
22．（本小题满分12分）
已知（）
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若在上恒成立，证明：的最小值为.
1.【答案】B
2.【答案】B
【解析】，故选
【考点】复数运算.
3.【答案】C
【解析】，，故选
【考点】向量的模及夹角.
4.【答案】
【解析】设，，且，则，故选
【考点】指对数函数性质及比较大小.
5.【答案】D
【解析】，由图形走势可知，，
为偶函数，故选
【考点】三角函数图象与性质.
6.【答案】A
7.【答案】D
【解析】设，且，则，，中，，故选
【考点】双曲线的性质.
8.【答案】A
【解析】（1）恰有3个相同数字的排列为种，则共有个；
（2）恰有2个相同数字的排列为种，则共有个；
（3）恰有0个相同数字的排列为种，则共有个；
平均值为
【考点】计数原理、排列组合及平均数（期望）.
9.【答案】BC
解：，则，当且仅当时，取等，故A错误；
，当且仅当时，取等，故B正确；
，故C正确；
，则当时，有最小值为，故D错误；
【考点】不等式性质及均值不等式.
10.【答案】AD
【解析】为偶关于轴对称，是奇关于轴对称的周期为，不妨设，故知正确，不正确，故选AD.
【考点】函数的周期性与函数的奇偶性.
11.【答案】ACD
【解析】
或（舍），故A正确
，故B不正确；，故C正确；
若，所以，.故D正确
【考点】三角公式及恒等变形.
12.【答案】BCD
13.【答案】
【解析】.
【考点】线性回归方程
14.【答案】或（答对1个给2分，答对两个给5分）
【解析】或
【考点】直线与圆
15.【答案】12
【解析】令；
令；
令；
解之可得：，经检验，适合题意.
【考点】等比数列基本量计算
16.【答案】
【解析】依题意设在函数点处切线斜率为
即，解得，则对应的切点为
要满足题意，结合图形只需满足：
到直线的距离小于
即有，解得
【考点】切线问题及用数形结合解决问题
17.【解析】（1）因为，所以，
所以，即，………………3分
当时，，所以，
所以是以1为首项，3为公比的等比数列，………………4分
所以.………………5分
（2）设公差为，由，得，因为成等比数列，所以，即，解得或（舍去），所以，………………6分
所以.………………7分
所以，因为，
所以.………………10分
【考点】等差数列等比数列概念、性质和基本公式，裂项求和
18．解：（1）结合频率分布表可以得到，，
………………
3分
（2）抽取这1000件产品质量指标值的样本平均数为：
，
…………………………6分
（3）因为，由（2）知，
……………………8分
从而，
设为随机抽取20件产品质量指标值位于之外的件数.
依题意知，所以，
…………………………10分
所以
答：该企业从一天生产的产品中随机抽取20件产品的利润为元.
…………………………
12分
【考点】本题涉及频率分布直方图、频率分布表、正态分布，二项分布，随机变量分布列等知识，主要考查学生数据分析、数学运算、逻辑推理等能力.
19.（1）由得
即，消得
即故
故
所以
故
所以
……………………………6分
（2）由（1）知，所以是直角三角形
令
所以
……………………………12分
20.【答案】(Ⅰ)
证明见详解；(Ⅱ)
【解析】证明：（1）设点为中点，是正三角形
，平面平面，
平面平面,则平面……2分
平面，……4分
平面,平面平面……6分
（2）连接，则
……7分
由平面平面，过点作的垂线，连接
建立如图所示的空间直角坐标系，……8分
是边长为的正三角形，
是直角三角形，且
则点
，……10分
设平面BEF的法向量为，则，……11分
又,若与平面所成角为，则……12分
【考点】空间线面、面面位置关系及计算体积、线面角.
21.解：（1）为椭圆与抛物线的交点，；……1分
；……2分
又直线将的面积分为9:7两部分；……3分
，解之可得：
抛物线的方程为：；椭圆的方程为：……5分
（2）设，，由得……6分
由，得…（※），且……7分
由重心恰好在圆上，得……8分
即，即
∴
……9分
化简得，代入（※）得,……10分
又设
，
当且仅当时，取等号……11分
∴
，则实数的取值范围为或……12分
【考点】椭圆与抛物线的方程与性质，直线与椭圆（弦中点及范围问题）.
22.【解析】
（1）因为，……1分
当时，，所以在上单调递增，……2分
当时，若时，，单调递增；……3分
若时，，单调递减，……4分
综上：时，在上单调递增；时，在上单调递增，在上单调递减；
……5分
（2）因为在上恒成立，所以在上恒成立，……6分
设，所以，……7分
当时，，所以在上单调递增，此时显然不恒成立；
当时，若时，，单调递增；若时，，单调递减，
所以，
所以，……9分
又因为，
令，，所以，……10分
当时，，单调递减；当时，，单调递增；
所以，……
所以的最小值为.……12分