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等差数列的性质及应用教学设计
课题
等差数列的性质及应用
单元
第一单元
学科
数学
年级
高二
教材分析
本节课是2019版高中数学(人教版)选择性必修第二册，第四章《数列》第二节课4.2.1等差数列的概念。
等差数列是一种最基本的数列，研究它的性质，需要通过观察、分析、归纳、猜想等方法，是在学习了等差数列的概念、通项公式的基础上进行的。在探究等差数列性质的过程中使学生学会研究数列的方法，提高数学学习的能力，掌握研究数列的基本方法对于学好《数列》整章内容起着重要的作用
教学
目标与
核心素养
1数学抽象：
等差数列的性质
2逻辑推理：
等差数列性质的推导
3数学运算：
等差数列性质的运用
4数学建模：
应用等差数列解决实际问题
5直观想象：
等差数列的性质及其与一次函数的关系
6数据分析：
等差数列的性质及其推导、运用，提高学生参与数学活动的能力
重点
等差数列的性质及应用
难点
等差数列性质的推导
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
复习
1
等差数列的概念
文字语言如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.符号语言
提示：
2等差中项
提示：
（1）条件：如果a，A，b成等差数列
（2）结论：A叫做a与b的等差中项
（3）满足的关系式是
2A=a+b
3等差数列的通项公式和递推公式
已知等差数列{}的首项为，公差为d
递推公式通项公式an－an－1＝d(n≥2)an＝a1＋(n－1)d(n∈N
)
复习导入
通过回顾等差数列的概念、等差中项、通项公式，发展学生数学抽象、数学建模的核心素养
讲授新课
例3
某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元.
已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.
请确定d的取值范围.
分析：这台设备使用n年后的价值构成一个数列{}.由题意可知，10年之内（含10年），这台设备的价值应不小于（2205%=）11万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元.
可以利用{}的通项公式列不等式求解.
解：设使用n年后，这台设备的价值为万元，则可得数列{}.
由已知条件，得
.
由于d是与n无关的常数，所以数列{}是一个公差为-d的等差数列.
因为购进设备的价值为220万元，所以，于是
.
根据题意，得
即
解这个不等式组，得
.
所以，d的取值范围为
.
例4
已知等差数列{}的首项
，公差d=8，在{}中每组相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{}
.
（1）求数列{}的通项公式.
（2）是不是数列{}的项？若是，它是{}的第几项？若不是，说明理由.
分析：（1）{}是一个确定的数列，只要把，表示为{}中的项，就可以利用等差数列的定义得出{}的通项公式；
（2）设{}中的第n项是{}中的第
项，根据条件可以求出n与
的关系式，由此即可判断
是否为
{}的项.
解：（1）设数列{}的公差为
.
由题意可知，，，于是
.
因为，所以，所以.
所以
.
所以，数列{}的通项公式是
.
（2）数列{}的各项依次是数列{}的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列{}，则
.
令
，解得
所以，
是数列
{}的第8项.
思考：
如果插入的是个数，那么的公差是多少？
提示：
设数列{}的公差为
.
由题意可知，，，于是
.
因为，所以，所以
例
5
已知数列{}是等差数列，,且
.
求证
.
分析：只要根据等差数列的定义写出，再利用已知条件即可得证.
证明：设数列{}的公差为d
，则
，
，
，
.
所以
因为
，所以
.
拓展
等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：
（
）
(2)
若{}是等差数列，,且
.
则
①特别地，当
时，
②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，
即
.
(3)若是公差为d的等差数列，则
①
(c为任意常数)
是公差为d的等差数列
②(c为任意常数)
是公差为cd的等差数列
③
是公差为md的等差数列．
(4)若分别是公差为的等差数列，
则数列是公差为
的等差数列.
课堂练习：
1已知数列{}是等差数列，且
，求的值.
解：∵等差数列中，若
.
则
∴，
由条件等式得
∴
2
(多选题)下列命题正确的是（）
A
给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式
B
若等差数列的过程，则是递增数列
C
若
a，b，c成等差数列，则，可能成等差数列
D
若数列是等差数列，则数列不一定是等差数列
答案:
BC
3灵活设元求解等差数列
(1)三个数成等差数列，首末两数之积比中间数的平方小16，则公差是多少？
(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
解：
（1）设这三个数依次为a－d，a，a＋d，
又“首末两数之积比中间数的平方小16”
解得
故公差是
(2)法一：
设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，
，
∴
，
∴d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d＞0，
∴
d＝1，故所求的四个数为－2,
0,
2,
4.
法二：
若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)，
依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，
把
代入a(a＋3d)＝－8，
得
即，
化简得，所以d＝2或－2.
又四个数成递增等差数列，所以d＞0，所以d＝2，
a＝－2.
故所求的四个数为－2,
0,
2,
4.
常见设元技巧
(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a－d，a＋d，公差为2d；
(2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a－d，a，a＋d，公差为d；
(3)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d.
4
在等差数列{}中，若
，
，求.
解：
法一
由等差数列的性质得
，，…，.
∴
.
法二
∵数列{}是等差数列
∴
，，
也成等差数列，
即
30,
80，
成等差数列.
∴
∴
.
5
在等差数列中，是方程的根，则________.
解：由已知得.
又数列为等差数列，
∴.
答案：3
学生独立思考、互相讨论
根据前面的例题，学生讨论、合作、探讨推导等差数列的常用性质
通过实际问题，让学生体会等差数列的应用
课堂小结
等差数列的常用性质
1若{}是等差数列，,且
.
则
2通项公式的推广：
（
）
3若分别是公差为的等差数列，
则数列是公差为
的等差数列.
常见设元技巧
(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a－d，a＋d，公差为2d；
(2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a－d，a，a＋d，公差为d；
(3)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d.
板书
例3
例4
例5
等差数列的常用性质
常见设元技巧
教学反思
21世纪教育网
www.21cnjy.com
精品试卷·第
2
页
（共
2
页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共24张PPT)
4.2.1等差数列的性质及应用
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
复习
1
等差数列的概念
提示：
文字语言
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
符号语言
新知导入
2
等差中项
复习
提示：
（1）条件：如果
a，A，b
成等差数列
（2）结论：A
叫做
a
与
b
的等差中项
（3）满足的关系式是
2A=a+b
3
等差数列的通项公式和递推公式
已知等差数列{}的首项为，公差为d
递推公式
通项公式
an－an－1＝d
(n≥2)
an＝a1＋(n－1)d
(n∈N
)
新知讲解
例3
某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少.经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元.
已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废.
请确定d的取值范围.
分析：
这台设备使用n年后的价值构成一个数列{}.由题意可知，10年之内（含10年），这台设备的价值应不小于（2205%=）11万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元.
可以利用{}的通项公式列不等式求解.
新知讲解
解：
设使用n年后，这台设备的价值为万元，则可得数列{}.
由已知条件，得
.
由于d是与n无关的常数，所以数列{}是一个公差为-d的等差数列.
因为购进设备的价值为220万元，所以，
于是
.
根据题意，得
即
解这个不等式组，得
所以，d
的取值范围为
新知讲解
例4
已知等差数列{}的首项
，公差d=8，在{}中每组相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列{}
.
（1）求数列{}的通项公式.
（2）是不是数列{}的项？若是，它是{}的第几项？若不是，说明理由.
分析：
（1）{}是一个确定的数列，只要把，表示为{}中的项，就可以利用等差数列的定义得出{}的通项公式；
（2）设{}中的第n项是{}中的第
项，根据条件可以求出n与
的关系式，由此即可判断
是否为
{}的项.
合作探究
解：
（1）设数列{}的公差为
.
由题意可知，，，
于是
.
因为，
所以
，
所以
.
所以
.
所以，数列{}的通项公式是
.
（2）数列{}的各项依次是数列{}的第1，5，9，13，…项，
这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列{}，
则
.
令
，
解得
所以，
是数列
{}的第8项.
合作探究
思考：
如果插入的是个数，那么的公差是多少？
提示：
设数列
{}
的公差为
.
由题意可知，，，
于是
.
因为，
所以
，
所以
合作探究
例
5
已知数列{}是等差数列，
且
求证：
分析：
只要根据等差数列的定义写出，再利用已知条件即可得证.
证明：
设数列{}的公差为d
，则
，
，
，
.
所以
因为
所以
合作探究
拓展
等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：
（
）
(2)
若{}是等差数列，,且
.
则
①
特别地，当
时，
②
对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，
即
.
(3)若是公差为d的等差数列，则
①
(c为任意常数)
是公差为d的等差数列
②
(c为任意常数)
是公差为cd的等差数列
③
是公差为md的等差数列．
(4)若分别是公差为的等差数列，
则数列是公差为
的等差数列.
课堂练习
1已知数列{}是等差数列，且
，求的值.
解：
∵
等差数列中，若
.
则
∴，
由条件等式得
∴
课堂练习
2
(多选题)下列命题正确的是（
）
A
给出数列的有限项就可以唯一确定这个数列的通项公式
B
若等差数列的过程，则是递增数列
C
若
a，b，c成等差数列，则
，可能成等差数列
D
若数列是等差数列，则数列不一定是等差数列
答案:
BC
课堂练习
3
灵活设元求解等差数列
(1)三个数成等差数列，首末两数之积比中间数的平方小16，则公差是多少？
(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
解：
（1）设这三个数依次为a－d，a，a＋d，
又“首末两数之积比中间数的平方小16”
解得
故公差是
课堂练习
3
灵活设元求解等差数列
(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
解法1：
设这四个数为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)，
依题意，2a＝2，且(a－3d)(a＋3d)＝－8，
即a＝1，
，
∴
，
∴d＝1或d＝－1.
又四个数成递增等差数列，所以d＞0，
∴
d＝1，故所求的四个数为－2,
0,
2,
4.
课堂练习
3
灵活设元求解等差数列
(2)四个数成递增等差数列，中间两项的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．
解法2：
若设这四个数为a，a＋d，a＋2d，a＋3d(公差为d)，
依题意，2a＋3d＝2，且a(a＋3d)＝－8，
把
代入a(a＋3d)＝－8，
得
即，
化简得，所以d＝2或－2.
又四个数成递增等差数列，所以d＞0，所以d＝2，
a＝－2.
故所求的四个数为－2,
0,
2,
4.
课堂练习
常见设元技巧
(1)某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a－d，a＋d，公差为2d；
(2)三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a－d，a，a＋d，公差为d；
(3)四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d.
课堂练习
4
在等差数列{}中，若
求
.
解法1：
由等差数列的性质得
，，…，.
∴
.
课堂练习
4
在等差数列{}中，若
求
.
解法2：
∵数列{}是等差数列
∴
，，
也成等差数列，
即
30,
80，
成等差数列
∴
∴
.
课堂练习
5
在等差数列中，是方程的根，则________.
由已知得.
又数列为等差数列，
∴.
答案：3
解：
课堂总结
等差数列的常用性质
1
若{}是等差数列，,且
.
则
2
通项公式的推广：
（
）
3
若分别是公差为的等差数列，
则数列是公差为
的等差数列.
常见设元技巧
(1)
某两个数是等差数列中的连续两个数且知其和，可设这两个数为：a－d，a＋d，公差为2d；
(2)
三个数成等差数列且知其和，常设此三数为：a－d，a，a＋d，公差为d；
(3)
四个数成等差数列且知其和，常设成a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，公差为2d.
板书设计
例3
例4
例5
等差数列的常用性质
常见设元技巧
作业布置
课本25页习题4.2
10，12，
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
