(共28张PPT)
4.2.1
等差数列的概念及
通项公式
人教A版（2019）
选择性必修第二册
新知导入
数列是一种特殊的函数.
在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性、奇偶性等）后，通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的函数模型.
类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用.
下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手.
新知导入
请看下面几个问题中的数列.
1.
北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为
9，18，27，36，45，54，63，72，81.
①
2.
S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是
38，40，42，44，46，48.
②
3.
测量某地垂直地面方向海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：）依次为
25，24，23，22，21.
③
新知导入
4.
某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年.如果个人贷款月利率为r,那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b（=）元，每月支付给银行的利息（单位：元）依次为
ar
，
ar-br，
ar-2br，
ar-3br，…
.
④
新知讲解
思考：
你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？
9，18，27，36，45，54，63，72，81.
①
38，40，42，44，46，48.
②
25，24，23，22，21.
③
ar
，
ar-br，
ar-2br，
ar-3br，…
.
④
对于①，我们发现
18=9+9，27=18+9，…，81=72+9，
换一种写法，就是
18-9=9，27-18=9，…，81-72=9.
如果用{}表示数列
①，那么有
，，…，
.
这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.
数列②~④也有这样的取值规律.
新知讲解
等差数列的概念
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d
表示.
（符号语言）
概念解析：
(1)
“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．
(2)
定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．
新知讲解
等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.
这时，A
叫做
a
与
b
的等差中项.
根据等差数列的定义可以知道，2A=a+b.
（1）条件：如果a，A，b成等差数列
（2）结论：A叫做a与b的等差中项
（3）满足的关系式是
2A=a+b
合作探究
等差数列的通项公式
探究:
你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
设一个等差数列{}的首项为，公差为d.根据等差数列的定义，
可得，
，
所以,
，，，…
.
于是
，
……
归纳可得
.
当n=1时，上式为
这就是说，上式当n=1时也成立.
合作探究
等差数列的通项公式
首项为，公差为d的等差数列{}的通项公式为
思考：上面的推导采用了不完全归纳法，还有其他的方法吗？怎么做?
提示：还可以用累加法
解：因为
，
，
……
将上述（n-1）个式子相加得
，
所以
.
当n=1时，
上式为，
符合上式，
所以
合作探究
已知等差数列{}的首项为，公差为d
递推公式
通项公式
an－an－1＝d
(n≥2)
an＝a1＋(n－1)d
(n∈N
)
合作探究
从函数角度认识等差数列
思考：
观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
由于
，
所以当时，等差数列{}的第n项是一次函数
当x=n时的函数值，即
.
如图4.2-1，
在平面直角坐标系中画出
的图象，
就得到一条斜率为d，截距为的直线.
提示：
合作探究
在这条直线上描出点
就得到了等差数列{}的图象.
事实上，公差的等差数列{}的图象是点(n,
)组成的集合，这些点均匀分布在直线
上.
反之，任给一次函数
(k,
b为常数)，
则
构成一个等差数列
首项为
,
公差为b
合作探究
例1
（1）已知等差数列{}的通项公式为，求{}的公差和首项；
（2）求等差数列8，5，2，…的第20项.
分析：
（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由
即可求出公差d；
（2）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项.
解：
（1）当时，由{}的通项公式，
可得
于是
把n=1代入，得
所以，{}的公差为-2，首项为3.
合作探究
例1
（1）已知等差数列{}的通项公式为，求{}的公差和首项；
（2）求等差数列8，5，2，…的第20项.
（2）由已知条件，得d=5-8=-3.
解：
把，d=-3代入,
得
.
把
n=20
代入上式，得
所以，这个数列的第20项是-49.
合作探究
例2
-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？
分析：
先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看-401是否能使这个方程有正整数解.
解：
由，d=-9-(-5)=-4，
得这个数列的通项公式为
.
令
，
解这个关于
n
的方程，
得
n=100.
所以，-401是这个数列的项，是第100项.
课堂练习
1在等差数列中，
(1)已知
(2)已知
解：
(1)∵
∴
解得
(2)
设数列的公差为d.
由已知得，
解得
课堂练习
解:
2
《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春风、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春风的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为（
）
A．15.5尺
B.
12.5尺
C.
9.5尺
D.
6.5尺
因为从冬至之日起，小寒等这十二个节气的日影子长依次成等差数列，
故可设该等差数列为，则冬至、小寒、大寒、
…
、芒种的日影子长分别
记为由题可得：
即
解之得
所以立夏的日影子长为：
(尺)
课堂练习
解：
3
已知数列是等差数列，
,求数列的通项公式
.
由题意得
所以，
时,
,所以
时，，
所以
课堂练习
解：
4
已知
m
和
2n
的等差中项是
8，2m
和
n
的等差中项是10，则
m
和
n
的等差中项是____
由题意得
答案：
6
课堂练习
5
已知数列满足记
.求证：数列是等差数列．
证明：[定义法]
又
∴
数列是首项为，公差为的等差数列．
课堂练习
5
已知数列满足记
.求证：数列是等差数列．
证明：[等差中项法]
∵
∴
∴
∴
∴
∴
数列是等差数列
合作探究
拓展
等差数列的证明与判定的方法
(1)定义法：
?
或
是等差数列
(2)定义变形法：
验证是否满足
(3)等差中项法：
是等差数列
(4)通项公式法：
通项公式形如
是等差数列.
合作探究
注意
（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项
，使得
（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.
课堂总结
1
等差数列的概念
2
等差中项
3
等差数列的通项公式
4
从函数角度认识等差数列
板书设计
1
等差数列的概念
2
等差中项
3
等差数列的通项公式
4
例题巩固与课堂练习
作业布置
课本24页习题4.2
1，2，
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php中小学教育资源及组卷应用平台
等差数列的概念及通项公式教学设计
课题
等差数列的概念及通项公式
单元
第一单元
学科
数学
年级
高二
教材分析
本节课是2019版高中数学(人教版)选择性必修第二册，第四章《数列》第二节课4.2.1等差数列的概念。本节课主要学习等差数列的概念、等差中项及等差数列的通项公式。
数列是一种特殊的函数，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用.
等差数列是一类取值规律比较简单的数列，是对数列知识的进一步深入和拓展.
教学
目标与
核心素养
1数学抽象：
等差数列的概念
2逻辑推理：
等差数列通项公式的推导
3数学运算：
通项公式的应用
4数学建模：
等差数列的应用
5直观想象：等差数列与一次函数的关系
6数据分析：
学习等差数列的概念
，同时探究等差数列通项公式的推导方法，提高学生数学判断的能力，以及参与数学活动的能力
重点
等差数列概念的理解、通项公式的应用
难点
等差数列通项公式的推导、等差数列的判定
教学过程
教学环节
教师活动
学生活动
设计意图
导入新课
我们知道，数列是一种特殊的函数.在函数的研究中，我们在理解了函数的一般概念，了解了函数变化规律的研究内容（如单调性、奇偶性等）后，通过研究基本初等函数，不仅加深了对函数的理解，而且掌握了幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等非常有用的函数模型.
类似地，在了解了数列的一般概念后，我们要研究一些具有特殊变化规律的数列，建立它们的通项公式和前n项和公式，并运用它们解决实际问题和数学问题，从中感受数学模型的现实意义与应用.下面，我们从一类取值规律比较简单的数列入手.
复习导入
通过新课导入，让学生回顾有关函数的学习，帮助学生通过比较、探索数列的学习。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养
讲授新课
请看下面几个问题中的数列.
1.
北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，最中间是圆形的天心石，围绕天心石的是9圈扇环形的石板，从内到外各圈的石板数依次为
9，18，27，36，45，54，63，72，81.
①
2.
S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装上衣对应的尺码分别是
38，40，42，44，46，48.
②
3.
测量某地垂直地面方向海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度（单位：）依次为
25，24，23，22，21.
③
4.
某人向银行贷款a万元，贷款时间为n年.如果个人贷款月利率为r,那么按照等额本金方式还款，他从某月开始，每月应还本金b（=）元，每月支付给银行的利息（单位：元）依次为
ar
，
ar-br，
ar-2br，
ar-3br，…
.
④
思考
在代数的学习中，我们常常通过运算来发现规律.例如，在指数函数的学习中，我们通过运算发现了A，B两地旅游人数的变化规律.类似地，你能通过运算发现以上数列的取值规律吗？
对于①，我们发现
18=9+9，27=18+9，…，81=72+9，
换一种写法，就是
18-9=9，27-18=9，…，81-72=9.
如果用{}表示数列①，那么有
，，…，.
这表明，数列①有这样的取值规律：从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数.
数列②~④也有这样的取值规律.
等差数列的概念
（文字语言）
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示.
例如①的公差d=9.
（符号语言）
概念解析：
(1)
“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序；②这两项必须相邻．
(2)
定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．
等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.
这时，A叫做a与b的等差中项.根据等差数列的定义可以知道，2A=a+b.
（1）条件：如果a，A，b成等差数列
（2）结论：A叫做a与b的等差中项
（3）满足的关系式是
2A=a+b
在日常生活中，人们常常用到等差数列.例如，在给各种产品的尺寸划分级别时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，常按等差数列进行分级（如前面例子中的上衣尺码）.你能举出一些例子吗？
等差数列的通项公式
探究
你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？
设一个等差数列{}的首项为，公差为d.根据等差数列的定义，可得
，
所以
，，，…
.
于是
,
，
，
……
归纳可得
.
当n=1时，上式为
.
这就是说，上式当n=1时也成立.
因此，首项为，公差为d的等差数列{}的通项公式为
思考：上面的推导采用了不完全归纳法，还有其他的方法吗？怎么做?
提示：还可以用累加法
解：因为
,
，
，
……
将上述（n-1）个式子相加得
，
所以
.
当n=1时，
上式为，符合上式，
所以
已知等差数列{}的首项为，公差为d
递推公式通项公式an－an－1＝d(n≥2)an＝a1＋(n－1)d(n∈N
)
从函数角度认识等差数列
思考：观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？
由于，
所以当时，等差数列{}的第n项是一次函数
当x=n时的函数值，即
.
如图4.2-1，在平面直角坐标系中画出
的图象，就得到一条斜率为d，截距为的直线.
在这条直线上描出点
就得到了等差数列{}的图象.事实上，公差的等差数列{}的图象是点(n,)组成的集合，这些点均匀分布在直线
上.
反之，任给一次函数
(k,
b为常数)，则
构成一个等差数列，首项为
,公差为
.
下面，我们利用通项公式解决等差数列的一些问题.
例1
（1）已知等差数列{}的通项公式为，求{}的公差和首项；
（2）求等差数列8，5，2，…的第20项.
分析：（1）已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义，由即可求出公差d；
（2）可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式求数列的第20项.
解：
（1）当时，由{}的通项公式，可得
于是
把n=1代入，得
所以，{}的公差为-2，首项为3.
（2）由已知条件，得d=5-8=-3.
把，d=-3代入,得
.
把n=20代入上式，得
所以，这个数列的第20项是-49.
例2
-401是不是等差数列-5，-9，-13，…的项？如果是，是第几项？
分析：先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看-401是否能使这个方程有正整数解.
解：由，d=-9-(-5)=-4，
得这个数列的通项公式为
.
令
，
解这个关于n的方程，得
n=100.
所以，-401是这个数列的项，是第100项.
课堂练习
1在等差数列中，
(1)已知
(2)已知
解：
(1)∵
∴
解得
(2)设数列的公差为d.
由已知得，
解得
2
《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春风、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春风的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为（
）
A．15.5尺
B.
12.5尺
C.
9.5尺
D.
6.5尺
解：
因为从冬至之日起，小寒等这十二个节气的日影子长依次成等差数列，
故可设该等差数列为，则冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春风、清明、谷雨、立夏、小满、芒种的日影子长分别
记为由题可得：
即
解之得
所以立夏的日影子长为：
(尺)
故选：D
3
已知数列是等差数列，
,求数列的通项公式
.
解：由题意得
所以，
时,
,所以
时，，
所以
4
已知m和2n的等差中项是8，2m和n的等差中项是10，则m和n的等差中项是____
解：由题意得
答案：
6
5
已知数列满足
记
.求证：数列是等差数列．
证明：[定义法]
又
∴数列是首项为，公差为的等差数列．
[等差中项法]
∵
∴
∴
∴
∴
∴数列是等差数列
拓展：
等差数列的证明与判定的方法
(1)定义法：
或
是等差数列
(2)定义变形法：验证是否满足
(3)等差中项法：
是等差数列
(4)通项公式法：
通项公式形如
是等差数列.
(5)前n项和公式法：(后面的内容)
是等差数列.
注意
（1）若判断一个数列不是等差数列，只需找出三项
，使得
即可
（2）如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法.
学生独立思考、讨论、交流
改变表达方式使数列的取值规律更突出了.
就是等差数列{}的递推公式.
引导学生思考、寻找一列数的规律性，同时认识到运算对于发现规律的作用
通过对具体例子的思考、分析、归纳、总结，抽象出等差数列的概念，发展学生数学抽象的核心素养
通过等差数列通项公式的推导，发展学生数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算等核心素养
习题巩固
课堂小结
1等差数列的概念
2等差中项
3等差数列的通项公式
4从函数角度认识等差数列
板书
1等差数列的概念
2等差中项
3等差数列的通项公式
4
例题巩固与课堂练习
教学反思
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精品试卷·第
2
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（共
2
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