11.1.2三角形的高、中线和角平分线 课件（27张ppt）

(共27张PPT)
第十一章
三角形
11.1.2
三角形的高、中线与角平分线
随堂演练
获取新知
知识回顾
例题讲解
课堂小结
知识回顾
定义
图示
垂线
线段中点
角平分线
O
B
A
A
B
当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线
把一条线段分成两条相等的线段的点
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线
┐
你还记得
“过一点画已知直线的垂线”
吗?
一放
二靠
三过
四画
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
0
1
2
3
4
5
思考：
过三角形的一个顶点，你能画出它的对边的垂线吗?
获取新知
知识点一、三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形这边上的高，简称三角形的。如图所示,线段AD就是BC边上的高。
A
B
C
D
注意：
标明垂直的记号和垂足的字母.
锐角三角形
D
E
F
O
A
B
C
(1)
这三条高之间有怎样的位置关系？
(2)
锐角三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?
锐角三角形的三条高交于同一点
锐角三角形的三条高都在三角形的内部.
直角三角形
A
B
C
D
直角边BC边上的高是
;
直角边AC边上的高是
;
(2)
AB边上的高是
;
(1)
画出直角三角形的三条高,
它们有怎样的位置关系？
直角三角形的三条高交于直角顶点。
AC
BC
CD
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????
钝角三角形
A
B
C
D
E
F
O
(2)钝角三角形的三条高交于一点吗？
(3)它们所在的直线交于一点吗？
钝角三角形的三条高不相交于一点
钝角三角形的三条高所在直线交于一点。
(1)AC边上的高是？
AB边上的高是？
BC边上的高是？
BF
CE
AD
三角形的三条高的特性：
高所在的直线是否相交
高之间是否相交
高在三角形内部的数量
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三条高所在直线的交点的位置
三角形内部
直角顶点
三角形外部
例题讲解
例1
作△ABC的边AB上的高，下列作法中，正确的是(　　)
总结：三角形任意一边上的高必须满足：
(1)过该边所对的顶点；
(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上．
D
知识点二、三角形的中线
如图
(1)，连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，
所得线段AD叫做
△ABC的边BC上的中线.
用同样方法，
你能画出△ABC
的另两条边上的中线吗？
锐角三角形
(1)
这三条中线之间有怎样的位置关系？
(2)
锐角三角形的三条中线是在三角
形的内部还是外部?
锐角三角形的三条中线交于同一点；
锐角三角形的三条中线都在三角形的内部.
直角三角形
钝角三角形
三角形的三条中线交于一点，这个交点就是三角形的重心.
中线有几条
中线之间是否相交
相交交点位置
中线在三角形内部的数量
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形
3
3
3
相交
相交
相交
3
3
3
三角形内部
三角形内部
三角形内部
三角形的三条中线的特性：
例题讲解
例2
在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD△ABC的周长分为12
cm和15
cm两部分，求△ABC的各边长．
解：设AB＝x
cm，则AD＝CD＝
x
cm.
(1)如图①，若AB＋AD＝12
cm，则x＋
x＝12.解得x＝8，
即AB＝AC＝8
cm，则CD＝4
cm.故BC＝15－4＝11(cm)．
此时AB＋AC＞BC，三角形存在，
所以三边长分别为8
cm，8
cm，11
cm.
(2)如图②，若AB＋AD＝15
cm，则x＋
x＝15.
解得x＝10，即AB＝AC＝10
cm，则CD＝5
cm.
故BC＝12－5＝7(cm)．
显然此时三角形存在，所以三边长分别为10
cm，10
cm，
7
cm.
综上所述，△ABC的三边长分别为8
cm，8
cm，11
cm或10
cm，10
cm，7
cm.
知识点三、三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.如图所示，线段AD是△ABC的角平分线
1
2
A
C
D
∠1=∠2
B
注意：“三角形的角平分线”是一条线段.
三角形角平分线的性质
直角三角形
钝角三角形
锐角三角形
三角形的三条角平分线交于同一点.
例题讲解
例3
如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE是△ABC的高，∠BAC＝60°，∠BCE＝40°，求∠ADB
的度数．
解：∵AD是△ABC的角平分线，∠BAC＝60°，
∴∠DAC＝∠BAD＝30°.
∵CE是△ABC的高，∠BCE＝40°，
∴∠B＝50°，
∴∠ADB＝180°－∠B－∠BAD
＝180°－30°－50°＝100°.
随堂演练
2.三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个(　　)
A．形状相同的三角形
　B．面积相等的三角形
C．直角三角形
　
D．周长相等的三角形
B
1.下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC
的BC边上的高(
)
A
D
C
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
D
3.填空：
（1）如图①，AD,BE,CF是△ABC的三条中线，则
AB=
2＿＿,BD=
＿＿，AE=
＿＿
AF
DC
AC
(2)如图②，AD,BE,CF是△ABC的三条角平分线，则∠1=
＿＿，
∠3=_________，
∠ACB=2_____.
∠2
∠4
∠ABC
图①
图②
4.在ΔABC中,CD是中线,已知BC－AC=5cm,ΔDBC的周长为25cm,
求ΔADC的周长.
解：∵CD是△ABC的中线，
∴BD＝AD，
∵△DBC的周长＝BC＋BD＋CD＝25cm，
∴BD+CD＝25－BC.
∴△ADC的周长＝AD＋CD＋AC
＝BD＋CD＋AC
＝25-BC＋AC
＝25－(BC－AC)＝25－5＝20cm.
A
D
B
C
思维拓展
如图,BE,CF均是△ABC的中线,且BE=CF,AM⊥CF于点M,AN⊥BE于点N.求证:AM=AN.
证明:∵BE,CF均是△ABC的中线,
∴
.
∵AM⊥CF,AN⊥BE,
∴
AM·CF=
AN·BE.
又∵BE=CF,
∴AM=AN.
知识归纳
三角形的
重要线段
概念
图形
表示法
三角形
的高线
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段
∵AD是△ABC的高线.
∴AD⊥BC
∠ADB=∠ADC=90°.
三角形
的中线
三角形中,连结一个顶点和它对边中的线段
∵
AD是△ABC的BC上的中线.
∴
BD=CD=
BC.
三角形的
角平分线
三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段
∵.AD是△ABC的∠BAC的平分线
∴
∠1=∠2=
∠BAC
课堂小结
高
钝角三角形两短边上的高的画法
中线
会把原三角形面积平分
一边上的中线把原三角形分成两个三角形，这两个三角形的周长差等于原三角形其余两边的差
角平分线
三角形重要线段
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php