12.3 角平分线的画法及性质 第1课时 课件(共25张PPT)
文档属性
| 名称 | 12.3 角平分线的画法及性质 第1课时 课件(共25张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-07 18:02:40 | ||
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文档简介
(共25张PPT)
第十二章
全等三角形
12.3 角的平分线的性质
随堂演练
获取新知
情境导入
例题讲解
课堂小结
第1课时
角平分线的画法及性质
情境导入
问题1. 在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？
问题2.
如果问题中角变成木质的，这些方法是否可行呢？
A
B
O
不再适用
用量角器度量，
也可用折纸的方法．
问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?
A
B
C
(E)
D
其依据是SSS，两全等三角形的
对应角相等.
知识点一：角平分线的画法
获取新知
提示：
(1)已知什么？求作什么？
(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?
(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？
(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？
从利用平分角的仪器画角的平分线中，找找灵感，思考如何利用直尺和圆规作一个角的平分线
A
B
O
已知:∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
A
B
O
A
B
O
仔细观察步骤
C
（2）分别以点MN为圆心，大于
MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
M
N
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（3）画射线OC.射线OC即为所求.
作角平分线是最基本的尺规作图
已知：平角∠AOB.
求作：平角∠AOB的角平分线.
结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.
A
B
O
C
知识点二：角平分线的性质
1.
操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE
⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：
PD
PE
第一次
第二次
第三次
C
O
B
A
PD=PE
p
D
E
实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
验证猜想
已知：如图，
∠AOC=
∠BOC,点P在OC,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE.
P
A
O
B
C
D
E
证明：
∵
PD⊥OA,PE⊥OB，
∴
∠PDO=
∠PEO=90
°.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO=
∠PEO，
∠AOC=
∠BOC，
OP=
OP，
∴
△PDO
≌△PEO(AAS).
∴PD=PE.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
方法归纳
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用格式：
∵OP
是∠AOB的平分线，
∴PD
=
PE
PD⊥OA,PE⊥OB，
B
A
D
O
P
E
C
定理应用所具备的条件：
(1)角的平分线；
(2)点在该平分线上；
(3)垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
判一判：（1）∵
如下左图，AD平分∠BAC（已知），
（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
BD
CD
×
B
A
D
C
(2)∵
如上右图，
DC⊥AC，DB⊥AB
（已知）.
∴
=
,
(
)
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD
CD
×
B
A
D
C
∴
=
，
例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，BD=CD,DE⊥AB,
DF⊥AC.垂足分别为E,F.
求证：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
证明：
∵AD是∠BAC的角平分线，
DE⊥AB,
DF⊥AC，
∴
DE=DF,
∠DEB=∠DFC=90
°.
在Rt△BDE
和
Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴
Rt△BDE
≌
Rt△CDF(HL).
∴
EB=FC.
例题讲解
例2:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.
B
A
C
P
M
D
E
4
温馨提示：存在两条垂线段———直接应用
A
B
C
P
变式：如
图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4,
AB=14.
（1）则点P到AB的距离为_______.
D
4
温馨提示：存在一条垂线段———构造应用
A
B
C
P
变式：如图，在Rt
△ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14.
（2）求△APB的面积.
D
（3）求?PDB的周长.
·AB·PD=28.
由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4，
1.应用角平分线性质：
存在角平分线
涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
面积
周长
条件
知识与方法
利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解
随堂演练
2.△ABC中,
∠C=90°,
AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距是
.
A
B
C
D
3
E
1.
如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，
DE
=DF，
∠EDB=
60°，则
∠EBF=
度，BE=
.
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
3.如图12－3－2，在四边形ABCD
中，∠B＝90°，AB∥CD，M
为BC边上的一点，且AM
平分∠BAD，DM
平分∠ADC.
求证：M
为BC的中点．
图12－3－2
证明：如图，过点M作MN⊥AD于点N.
∵∠B＝90°，AB∥CD，
∴BM⊥AB，CM⊥CD.
又∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴BM＝MN，MN＝CM.
∴BM＝CM，
即M为BC的中点．
课堂小结
角平分线
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
第十二章
全等三角形
12.3 角的平分线的性质
随堂演练
获取新知
情境导入
例题讲解
课堂小结
第1课时
角平分线的画法及性质
情境导入
问题1. 在练习本上画一个角，怎样得到这个角的平分线？
问题2.
如果问题中角变成木质的，这些方法是否可行呢？
A
B
O
不再适用
用量角器度量，
也可用折纸的方法．
问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗?
A
B
C
(E)
D
其依据是SSS，两全等三角形的
对应角相等.
知识点一：角平分线的画法
获取新知
提示：
(1)已知什么？求作什么？
(2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢?
(3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？
(4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？
从利用平分角的仪器画角的平分线中，找找灵感，思考如何利用直尺和圆规作一个角的平分线
A
B
O
已知:∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
A
B
O
A
B
O
仔细观察步骤
C
（2）分别以点MN为圆心，大于
MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
M
N
作法：
（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N.
（3）画射线OC.射线OC即为所求.
作角平分线是最基本的尺规作图
已知：平角∠AOB.
求作：平角∠AOB的角平分线.
结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.
A
B
O
C
知识点二：角平分线的性质
1.
操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE
⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表：
PD
PE
第一次
第二次
第三次
C
O
B
A
PD=PE
p
D
E
实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
验证猜想
已知：如图，
∠AOC=
∠BOC,点P在OC,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E.求证：PD=PE.
P
A
O
B
C
D
E
证明：
∵
PD⊥OA,PE⊥OB，
∴
∠PDO=
∠PEO=90
°.
在△PDO和△PEO中，
∠PDO=
∠PEO，
∠AOC=
∠BOC，
OP=
OP，
∴
△PDO
≌△PEO(AAS).
∴PD=PE.
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
方法归纳
性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
应用格式：
∵OP
是∠AOB的平分线，
∴PD
=
PE
PD⊥OA,PE⊥OB，
B
A
D
O
P
E
C
定理应用所具备的条件：
(1)角的平分线；
(2)点在该平分线上；
(3)垂直距离.
定理的作用：
证明线段相等.
推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个.
判一判：（1）∵
如下左图，AD平分∠BAC（已知），
（在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
BD
CD
×
B
A
D
C
(2)∵
如上右图，
DC⊥AC，DB⊥AB
（已知）.
∴
=
,
(
)
在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等
BD
CD
×
B
A
D
C
∴
=
，
例1：已知：如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，BD=CD,DE⊥AB,
DF⊥AC.垂足分别为E,F.
求证：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
证明：
∵AD是∠BAC的角平分线，
DE⊥AB,
DF⊥AC，
∴
DE=DF,
∠DEB=∠DFC=90
°.
在Rt△BDE
和
Rt△CDF中，
DE=DF，
BD=CD，
∴
Rt△BDE
≌
Rt△CDF(HL).
∴
EB=FC.
例题讲解
例2:如图，AM是∠BAC的平分线，点P在AM上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是D、E，PD=4cm，则PE=______cm.
B
A
C
P
M
D
E
4
温馨提示：存在两条垂线段———直接应用
A
B
C
P
变式：如
图，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4,
AB=14.
（1）则点P到AB的距离为_______.
D
4
温馨提示：存在一条垂线段———构造应用
A
B
C
P
变式：如图，在Rt
△ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC交BC于点P，若PC＝4，AB=14.
（2）求△APB的面积.
D
（3）求?PDB的周长.
·AB·PD=28.
由垂直平分线的性质，可知，PD=PC=4，
1.应用角平分线性质：
存在角平分线
涉及距离问题
2.联系角平分线性质：
面积
周长
条件
知识与方法
利用角平分线的性质所得到的等量关系进行转化求解
随堂演练
2.△ABC中,
∠C=90°,
AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距是
.
A
B
C
D
3
E
1.
如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，
DE
=DF，
∠EDB=
60°，则
∠EBF=
度，BE=
.
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
3.如图12－3－2，在四边形ABCD
中，∠B＝90°，AB∥CD，M
为BC边上的一点，且AM
平分∠BAD，DM
平分∠ADC.
求证：M
为BC的中点．
图12－3－2
证明：如图，过点M作MN⊥AD于点N.
∵∠B＝90°，AB∥CD，
∴BM⊥AB，CM⊥CD.
又∵AM平分∠BAD，DM平分∠ADC，
∴BM＝MN，MN＝CM.
∴BM＝CM，
即M为BC的中点．
课堂小结
角平分线
尺规作图
属于基本作图，必须熟练掌握
性质定理
一个点：角平分线上的点；
二距离：点到角两边的距离；
两相等：两条垂线段相等
辅助线
添加
过角平分线上一点向两边作垂线段
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php