12.3 角平分线的判定 第2课时 课件 (共22张PPT)
文档属性
| 名称 | 12.3 角平分线的判定 第2课时 课件 (共22张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2021-09-07 17:43:55 | ||
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文档简介
(共22张PPT)
第十二章
全等三角形
12.3 角的平分线的性质
随堂演练
获取新知
知识回顾
例题讲解
课堂小结
第2课时
角平分线的判定
知识回顾
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
1.
角的平分线的性质:
O
C
B
1
A
2
P
D
E
PD⊥OA，PE⊥OB
∵
OC是∠AOB的平分线
∴
PD＝PE
几何语言：
2.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
P
A
O
B
C
D
E
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
问题：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
思考：这个结论正确吗？
获取新知
知识点一：角平分线的判定
已知：PD=
PE，且PD⊥OA，
PE⊥OB
求证：OC平分∠AOB
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上.
证明：
作射线OP，
∴点P在∠AOB
角的平分线上.
在Rt△PDO和Rt△PEO
中，
（全等三角形的对应角相等）.
OP=OP（公共边），
PD=
PE（已知
），
∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（
HL）.
∴∠AOP=∠BOP
B
A
D
O
P
E
｛
证明猜想
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
∵
PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P
在∠AOB的平分线上.
知识总结
图形
已知条件
结论
C
1
2
P
D
E
O
C
B
1
A
2
P
D
E
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
P
D
E
O
B
A
P
D
E
C
角的平分线的性质和判定的区别与联系
两个定理的条件与结论是想反的
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
例题讲解
例1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，
离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
D
C
S
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm
,D即为所求.
O
方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
知识点二：三角形的内角平分线
活动1
分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
结论：三角形的三条角平分线相交于一点
活动2
分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明结论
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
点P在∠A的平分线上.
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
M
E
N
A
B
C
P
O
D
变式1：如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4,
(1)求点O到△ABC三边的距离和.
温馨提示：不存在垂线段———构造应用
12
例题讲解
变式1：如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4,
(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
解：连接OC
M
E
N
A
B
C
P
O
D
随堂演练
1．如图D－15－1，AD⊥DC，AB⊥BC，若AB＝AD，∠BCD＝60°，则∠DAC的度数为( )
A．60°
B．30°
C．120°
D．90°
图D－15－1
A
2．如图D－15－2，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是( )
A．线段CD的中点
B．过点O作CD的垂线所得垂足
C．CD与∠AOB的平分线的交点
D．以上均不对
图D－15－2
C
3．如图D－15－4所示，CE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，BF交CE于点D，且BD＝CD.求证：AD平分∠BAC.
图D－15－4
证明：
∠BED＝∠CDF，
∠BDF＝∠CDF.
BD＝CD，
∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(AAS)．∴DE＝DF.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC.
4.
如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( )
A．110°
B．120°
C．130°
D．140°
A
解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是内心，即三条角平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线，所以有
∠CBO＝∠ABO＝
∠ABC，
∠BCO＝∠ACO＝
∠ACB，
∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，
∠OBC＋∠OCB＝70°，
∠BOC＝180°－70°＝110°.
课堂小结
角平分线
的判定定理
内容
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
作用
判断一个点是否在角的平分线上
结论
三角形的角平分线相交于内部一点，并且这点到三边的距离相等.
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php
第十二章
全等三角形
12.3 角的平分线的性质
随堂演练
获取新知
知识回顾
例题讲解
课堂小结
第2课时
角平分线的判定
知识回顾
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
1.
角的平分线的性质:
O
C
B
1
A
2
P
D
E
PD⊥OA，PE⊥OB
∵
OC是∠AOB的平分线
∴
PD＝PE
几何语言：
2.我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
P
A
O
B
C
D
E
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
问题：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
思考：这个结论正确吗？
获取新知
知识点一：角平分线的判定
已知：PD=
PE，且PD⊥OA，
PE⊥OB
求证：OC平分∠AOB
已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上.
证明：
作射线OP，
∴点P在∠AOB
角的平分线上.
在Rt△PDO和Rt△PEO
中，
（全等三角形的对应角相等）.
OP=OP（公共边），
PD=
PE（已知
），
∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO（
HL）.
∴∠AOP=∠BOP
B
A
D
O
P
E
｛
证明猜想
判定定理：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
P
A
O
B
C
D
E
应用所具备的条件：
（1）位置关系：点在角的内部；
（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
应用格式：
∵
PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P
在∠AOB的平分线上.
知识总结
图形
已知条件
结论
C
1
2
P
D
E
O
C
B
1
A
2
P
D
E
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
P
D
E
O
B
A
P
D
E
C
角的平分线的性质和判定的区别与联系
两个定理的条件与结论是想反的
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
例题讲解
例1：如图，要在S区建一个贸易市场，使它到铁路和公路距离相等，
离公路与铁路交叉处500米，这个集贸市场应建在何处（比例尺为1︰20000）？
D
C
S
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm
,D即为所求.
O
方法点拨：根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
知识点二：三角形的内角平分线
活动1
分别画出下列三角形三个内角的平分线，你发现了什么？
结论：三角形的三条角平分线相交于一点
活动2
分别过交点作三角形三边的垂线，用刻度尺量一量，每组垂线段，你发现了什么？
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明结论
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
想一想：点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
点P在∠A的平分线上.
结论：三角形的三条角平分线交于一点，并且这点到三边的距离相等.
D
E
F
A
B
C
P
N
M
M
E
N
A
B
C
P
O
D
变式1：如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4,
(1)求点O到△ABC三边的距离和.
温馨提示：不存在垂线段———构造应用
12
例题讲解
变式1：如图，在直角△ABC中，∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于点O，过点O作OM⊥AC,若OM＝4,
(2)若△ABC的周长为32，求△ABC的面积.
解：连接OC
M
E
N
A
B
C
P
O
D
随堂演练
1．如图D－15－1，AD⊥DC，AB⊥BC，若AB＝AD，∠BCD＝60°，则∠DAC的度数为( )
A．60°
B．30°
C．120°
D．90°
图D－15－1
A
2．如图D－15－2，在CD上求一点P，使它到边OA，OB的距离相等，则点P是( )
A．线段CD的中点
B．过点O作CD的垂线所得垂足
C．CD与∠AOB的平分线的交点
D．以上均不对
图D－15－2
C
3．如图D－15－4所示，CE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，BF交CE于点D，且BD＝CD.求证：AD平分∠BAC.
图D－15－4
证明：
∠BED＝∠CDF，
∠BDF＝∠CDF.
BD＝CD，
∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
在△BDE和△CDF中，
∴△BDE≌△CDF(AAS)．∴DE＝DF.
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC.
4.
如图，在△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等．若∠A＝40°，则∠BOC的度数为( )
A．110°
B．120°
C．130°
D．140°
A
解析：由已知，O到三角形三边的距离相等，所以O是内心，即三条角平分线的交点，AO，BO，CO都是角平分线，所以有
∠CBO＝∠ABO＝
∠ABC，
∠BCO＝∠ACO＝
∠ACB，
∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，
∠OBC＋∠OCB＝70°，
∠BOC＝180°－70°＝110°.
课堂小结
角平分线
的判定定理
内容
角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
作用
判断一个点是否在角的平分线上
结论
三角形的角平分线相交于内部一点，并且这点到三边的距离相等.
https://www.21cnjy.com/help/help_extract.php