高中数学人教A版（2019）选择性必修一空间向量与立体几何单元测试
一、单选题
1．（2019高二上·安徽月考）已知点 ， ，则线段 的中点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为点 ， ，
线段 的中点 的坐标为 ，
故选B.
【分析】利用中点坐标公式求解即可.
2．（2020高二上·泰州期末）如果向量 ， ， 共面，则实数 的值是（ ）
A．-1 B．1 C．-5 D．5
【答案】B
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】由于向量 ， ， 共面，
设 ，可得 ，解得 .
故答案为：B.
【分析】由向量的共线定理代入数值计算出结果即可。
3．（2020高二上·鱼台月考）已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量 = ，向量 ，则不能与 构成空间的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D． 或
【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】因为 = ， = ，
故 ( )，所以 与向量 共面，
故 ， ， 不能构成空间的一个基底.
故答案为：C.
【分析】根据题意，寻找与 共面的向量即可.
4．（2020高二上·辽宁月考）已知向量 和 分别是直线 和 的方向向量，则直线 与 所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】 ，
根据数量积公式：
可得：
直线 与 所成的角为： .
故答案为： C.
【分析】由数量积的坐标公式代入数值计算出结果即可。
5．（2020高二上·葫芦岛月考）若向量 ， 且 与 的夹角余弦为 ，则λ等于（ ）
A． B． C． 或 D．2
【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】∵向量 ，
∴ ，
解得 。
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合数量积求向量夹角公式，从而求出实数 λ 的值。
6．（2020高二上·天津月考）如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝ A1B1，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】由题，在空间直角坐标系中，正方体 的棱长为1， B1E＝ A1B1 则
故答案为：C．
【分析】根据空面向量运算法则，利用 ，即可得出．
7．（2020高二上·济宁月考）设 ，向量 ， ， ，且 ， ，则 （ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】C
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解： ， ，得 ，
又 ，则 ，得 ，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】通过 ， ，可列式求出 ，则可求出 ，进而求出 .
8．（2020高二上·郓城月考）已知正四面体 的各棱长为1，点 是 的中点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】由题意，四面体 是正四面体，每个面都是正三角形，
∴ ．
故答案为：A.
【分析】把 表示为 ，然后再求数量积．
二、多选题
9．（2020高二上·泉州月考）已知M(-1，1，3)，N(-2，-1，4)，若M，N，O三点共线，则O点坐标可能为（ ）
A．(3，5，-2) B．(-4，-5，6)
C．( ， ， ) D．(0，3，2)
【答案】B,D
【知识点】共面向量定理；空间点、线、面的位置
【解析】【解答】由M(-1，1，3)，N(-2，-1，4)，
得 ，
A. ，因为 所以M，N，O三点不共线，故错误；
B. ，因为 所以M，N，O三点共线，故正确；
C. ，因为 所以M，N，O三点不共线，故错误；
D. ，因为 所以M，N，O三点共线，故正确；
故答案为：BD
【分析】由M(-1，1，3)，N(-2，-1，4)，得到 ，然后利用空间向量共线定理逐项验证即可.
10．（2020高二上·聊城期中）空间直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A．点 关于坐标平面 的对称点的坐标为
B．点 在平面 面上
C． 表示一个与坐标平面 平行的平面
D． 表示一条直线
【答案】B,C
【知识点】空间点、线、面的位置
【解析】【解答】A项：点 关于坐标平面 的对称点的坐标为 ，A不符合题意；
B项：因为点 纵坐标为 ，所以点 在平面 面上，B符合题意；
C项： ，则横坐标和纵坐标为任意数，故与坐标平面 平行，C符合题意；
D项： ，说明竖坐标为任意数，表示一个平面，D不符合题意，
故答案为：BC.
【分析】根据直角坐标系的相关知识，逐项进行判断即可。
11．（2020高二上·泉州月考）在长方体 中， ， ，以D为原点， ， ， 的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
A． 的坐标为(2，2，3)
B． =(-2，0，3)
C．平面 的一个法向量为(-3，3，-2)
D．二面角 的余弦值为
【答案】A,B,D
【知识点】平面的法向量；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ， ， ， ，
所以 ， ，即A，B符合题意；
设平面 的法向量 ，
所以 ，即 ，
令 ，则 ， ，
即平面 的一个法向量为 ，C不符合题意；
由几何体易得面 的一个法向量为 ，
由于 ，
结合图形可知二面角 的余弦值为 ，D符合题意；
故答案为：ABD.
【分析】根据空间直角坐标系得出各点坐标，利用空间向量在立体几何中的应用逐一判断即可.
12．（2020高二上·济宁月考）设动点 在正方体 的对角线 上，记 当 为钝角时，则实数可能的取值是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A,B
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设正方体的边长为 ，则 ， ， ， ，
， ， ，
所以 .
又因为 ，
，
因为 为钝角，所以 ，
即 ，
解得 .
故答案为：AB
【分析】首先以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，根据题意得到 ，再解不等式即可得到答案.
三、填空题
13．（2021高二下·丽水开学考）如图所示，在正方体 中，点 为线段 的中点，点 在线段 上移动，异面直线 与 所成角最小时，其余弦值为 .
【答案】
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的边长为 ，则 ， ， ， ，
所以 ， ，
所以
，
当异面直线 与 所成角最小时，则 最大，
即 时， .
故答案为：
【分析】 以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算即可求解。
14．（2021高二下·成都月考）如图，在三棱柱 中，所有棱长均为1，且 底面 ，则点 到平面 的距离为 .
【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则则
设平面的一个法向量为，则有，解得，
则所求距离为.
故答案为：
【分析】建立适当的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，利用距离公式直接求解即可.
15．（2021高二下·安徽月考）如图，二面角 为 ， ， ，过 ， 分别作 的垂线，垂足分别为 ， ，若 ， ， ，则 的长度为 .
【答案】3
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】因为 ， ， ，所以
，又因为二面角 为 ，所以 ，所以 .
故答案为：3.
【分析】 ， ， ，结合空间向量距离公式，转化求解即可．
16．（2020高二上·浙江月考）四棱锥 中， 底面ABCD，底面ABCD是正方形，且 ， ，G是 的重心，则PG与面PAB所成角 的正弦值为 .
【答案】
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】因为 底面ABCD，底面ABCD是正方形，
所以 两两垂直，以 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，则重心 ，
因而 ， ， ，
设平面PAB的一个法向量为 ，
则 ，令 则 ，
则 .
故答案为： .
【分析】 以D为原点，DA为x轴， DC为y轴， DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PG与面PAB所成角θ的正弦值.
四、解答题
17．（2020高二上·农安期末）如图，在以 ， ， ， ， ， 为顶点的多面体中，四边形 是矩形， ， ， 平面 ， ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
【答案】（1）证明：由题意，四边形 是矩形，可得 ，
又由 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又由 ，且 平面 ，所以 平面 ，
如图所示，以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在的直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系.
则 ， ， ， ， ， .
由平面 的一个法向量为 ，
因为 ，即 ，即 ，
所以 平面
（2）解：由题意，得 ， ， ， ，
平面 的一个法向量为 ，
设平面 的一个法向量 ，
可得 ， ，
由 ，可得 ，即 ，
取 ，得 ， ，所以 .
设二面角 的大小为 ，
则 .
所以二面角 的余弦值为
【知识点】向量方法证明线、面的位置关系定理；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 由题意，四边形 是矩形，可得 ， 又由 平面 ， 结合线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ，因为 ，所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直， 所以 平面 ， 以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在的直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用两向量垂直数量积为0，从而证出 ，即 ， 从而证出 平面 。
（2）以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在的直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用空间向量的方法结合数量积求向量夹角的公式，从而求出二面角 的余弦值。
18．（2020高二上·金台期末）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ，底面是等腰直角三角形， ，侧棱 分别是 的中点.
（1）求平面 与平面 的夹角的余弦.
（2）求 与平面 所成角的余弦值.
【答案】（1）解： ， ， ， ，
，
设平面 的法向量 ，则
令 ，得平面 的一个法向量 ，
.
设平面 的法向量 ，则
令 ，得平面 的一个法向量 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
所以
（2）解：由（1）知，平面 的一个法向量 ，
，
设平面 与平面 的夹角为 ，
所以 ，
所以
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面AED的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此即可得到平面 与平面 的夹角的余弦 。
(2)由(1)的结论即可得出平面 的一个法向量 以及向量的坐标再由空间数量积的运算公式即可求出 平面 与平面 的夹角 的余弦值，结合诱导公式即可得出再由同角三角函数的平方关系式即可得出 与平面 所成角的余弦值 。
19．（2021高二下·贵溪月考）如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 分别是 和 上动点，且 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求二面角 的平面角的余弦值.
【答案】（1）证明：以点 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立坐标系，
不妨设 ，则 ， ， ， ， ， .
设 ，则 ， ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，即 .
（2）解：由 ，得 ， ，
∴ ， ， ，
设平面 的法向量 ，∵ ， ，
由 ，得 ，令 ，得 ， ，∴ ，
∵ 平面 ，∴平面 的法向量 ，
∴ ，所以二面角 的余弦值为 .
【知识点】用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 以点 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立坐标系， 不妨设AB=3，求出相关点的坐标，
（1）设AE=n，通过证明 ，推出 ；
（2）求出平面A1EF的法向量，平面EAF的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角 的余弦值即可．
20．（2020高二上·黄陵期末）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， ⊥平面 ，
， 是棱 上一点，且 .
（1）求直线 与 所成角的余弦值；
（2）求二面角 的余弦值．
【答案】（1）解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），S（0，0，2），D（0，2，0），设P（a，b，c），
∵ ，∴（a，b，c﹣2）= （﹣a，2﹣b，﹣c）=（﹣ ，1﹣ ，﹣ ），
∴ ，解得a=0，b= ，c= ，∴P（0， ， ），
=（1，0，0）， =（﹣1，﹣ ， ），
设直线AB与CP所成角为θ，
cosθ=|cos＜ ＞|= = = ，
∴直线AB与CP所成角的余弦值为
（2）解： =（1， ，﹣ ）， =（0，﹣ ，﹣ ）， =（0， ，﹣ ），
设平面APC的法向量 =（x，y，z），
则 ，取y=2，得 =（﹣4，2，﹣1），
设平面PCD的法向量 =（a，b，c），
则 ，取b=1，得 =（0，1，1），
设二面角A﹣PC﹣D的平面角为θ，
则cosθ= = = ．
∴二面角A﹣PC﹣D的余弦值为 ．
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系， 利用向量法能求出直线 与 所成角的余弦值；
（2）求出平面APC的法向量和平面PCD的法向量 ， 利用向量法能求出二面角 的余弦值 。
21．（2020高二上·济宁期末）如图，在直四棱柱 中，四边形 为平行四边形， ，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（1）求点 到平面 的距离；
（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值.
【答案】（1）解：因为 ，所以 ，所以
如图建立空间直角坐标系，
设 ，则
设平面 的法向量为
则 ，即 ，所以可取
所以 ，解得
所以 ，
所以点 到平面 的距离为
（2）解：设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，可取
所以 ，由图可得平面 与平面 的夹角为锐角
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为
【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 因为 ，所以 ，所以 ，进而建立空间直角坐标系， 设 ， 从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合空间向量的方法结合数量积求点到平面的距离公式，进而求出点 到平面 的距离。
（2）因为 ，所以 ，所以 ，进而建立空间直角坐标系， 设 ， 从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合空间向量的方法结合数量积求向量夹角公式，进而求出平面 与平面 的夹角的余弦值。
22．（2020高二上·北京期中）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 底面 ， ， 为棱 的中点.
（1）求直线 与 所成角的余弦值；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）求二面角 的余弦值.
【答案】（1）解： 平面 ，四边形 为正方形，设 .
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则 、 、 、 、 、 .
， ，
，
所以，异面直线 、 所成角的余弦值为 ；
（2）解：设平面 的一个法向量为 ， ， ，
由 ，可得 ，取 ，可得 ，则 ，
， ，
因此，直线 与平面 所成角的正弦值为 ；
（3）解：设平面 的一个法向量为 ， ， ，
由 ，可得 ，得 ，取 ，则 ， ，
所以，平面 的一个法向量为 ，
，
由图形可知，二面角 为锐角，
因此，二面角 的余弦值为 .
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合四棱锥的结构特征，再利用正方形的性质和中点的性质，从而结合数量积求向量夹角的公式，从而求出异面直线 与 所成角的余弦值。
（2）利用已知条件结合数量积求向量夹角的公式，从而求出直线 与平面 所成角的正弦值。
(3)利用已知条件结合线面垂直的定义，从而推出线线垂直，再利用数量积求向量夹角的公式，从而求出二面角 的余弦值。
1 / 1高中数学人教A版（2019）选择性必修一空间向量与立体几何单元测试
一、单选题
1．（2019高二上·安徽月考）已知点 ， ，则线段 的中点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2020高二上·泰州期末）如果向量 ， ， 共面，则实数 的值是（ ）
A．-1 B．1 C．-5 D．5
3．（2020高二上·鱼台月考）已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量 = ，向量 ，则不能与 构成空间的一个基底的是（ ）
A． B．
C． D． 或
4．（2020高二上·辽宁月考）已知向量 和 分别是直线 和 的方向向量，则直线 与 所成的角为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020高二上·葫芦岛月考）若向量 ， 且 与 的夹角余弦为 ，则λ等于（ ）
A． B． C． 或 D．2
6．（2020高二上·天津月考）如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，B1E＝ A1B1，则 等于（ ）
A． B．
C． D．
7．（2020高二上·济宁月考）设 ，向量 ， ， ，且 ， ，则 （ ）
A． B．3 C． D．4
8．（2020高二上·郓城月考）已知正四面体 的各棱长为1，点 是 的中点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2020高二上·泉州月考）已知M(-1，1，3)，N(-2，-1，4)，若M，N，O三点共线，则O点坐标可能为（ ）
A．(3，5，-2) B．(-4，-5，6)
C．( ， ， ) D．(0，3，2)
10．（2020高二上·聊城期中）空间直角坐标系中，下列说法正确的是（ ）
A．点 关于坐标平面 的对称点的坐标为
B．点 在平面 面上
C． 表示一个与坐标平面 平行的平面
D． 表示一条直线
11．（2020高二上·泉州月考）在长方体 中， ， ，以D为原点， ， ， 的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是（ ）
A． 的坐标为(2，2，3)
B． =(-2，0，3)
C．平面 的一个法向量为(-3，3，-2)
D．二面角 的余弦值为
12．（2020高二上·济宁月考）设动点 在正方体 的对角线 上，记 当 为钝角时，则实数可能的取值是（ ）
A． B． C． D．1
三、填空题
13．（2021高二下·丽水开学考）如图所示，在正方体 中，点 为线段 的中点，点 在线段 上移动，异面直线 与 所成角最小时，其余弦值为 .
14．（2021高二下·成都月考）如图，在三棱柱 中，所有棱长均为1，且 底面 ，则点 到平面 的距离为 .
15．（2021高二下·安徽月考）如图，二面角 为 ， ， ，过 ， 分别作 的垂线，垂足分别为 ， ，若 ， ， ，则 的长度为 .
16．（2020高二上·浙江月考）四棱锥 中， 底面ABCD，底面ABCD是正方形，且 ， ，G是 的重心，则PG与面PAB所成角 的正弦值为 .
四、解答题
17．（2020高二上·农安期末）如图，在以 ， ， ， ， ， 为顶点的多面体中，四边形 是矩形， ， ， 平面 ， ， .
（1）求证： 平面 ；
（2）求二面角 的余弦值.
18．（2020高二上·金台期末）如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱 ，底面是等腰直角三角形， ，侧棱 分别是 的中点.
（1）求平面 与平面 的夹角的余弦.
（2）求 与平面 所成角的余弦值.
19．（2021高二下·贵溪月考）如图，在直三棱柱 中， ， ， ， 分别是 和 上动点，且 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求二面角 的平面角的余弦值.
20．（2020高二上·黄陵期末）如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， ⊥平面 ，
， 是棱 上一点，且 .
（1）求直线 与 所成角的余弦值；
（2）求二面角 的余弦值．
21．（2020高二上·济宁期末）如图，在直四棱柱 中，四边形 为平行四边形， ，直线 与平面 所成角的正弦值为 .
（1）求点 到平面 的距离；
（2）求平面 与平面 的夹角的余弦值.
22．（2020高二上·北京期中）如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 底面 ， ， 为棱 的中点.
（1）求直线 与 所成角的余弦值；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值；
（3）求二面角 的余弦值.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：因为点 ， ，
线段 的中点 的坐标为 ，
故选B.
【分析】利用中点坐标公式求解即可.
2．【答案】B
【知识点】共面向量定理
【解析】【解答】由于向量 ， ， 共面，
设 ，可得 ，解得 .
故答案为：B.
【分析】由向量的共线定理代入数值计算出结果即可。
3．【答案】C
【知识点】空间向量基本定理
【解析】【解答】因为 = ， = ，
故 ( )，所以 与向量 共面，
故 ， ， 不能构成空间的一个基底.
故答案为：C.
【分析】根据题意，寻找与 共面的向量即可.
4．【答案】C
【知识点】空间向量的数量积运算；用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】 ，
根据数量积公式：
可得：
直线 与 所成的角为： .
故答案为： C.
【分析】由数量积的坐标公式代入数值计算出结果即可。
5．【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】∵向量 ，
∴ ，
解得 。
故答案为：A．
【分析】利用已知条件结合数量积求向量夹角公式，从而求出实数 λ 的值。
6．【答案】C
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】由题，在空间直角坐标系中，正方体 的棱长为1， B1E＝ A1B1 则
故答案为：C．
【分析】根据空面向量运算法则，利用 ，即可得出．
7．【答案】C
【知识点】空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解： ， ，得 ，
又 ，则 ，得 ，
，
，
.
故答案为：C.
【分析】通过 ， ，可列式求出 ，则可求出 ，进而求出 .
8．【答案】A
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】由题意，四面体 是正四面体，每个面都是正三角形，
∴ ．
故答案为：A.
【分析】把 表示为 ，然后再求数量积．
9．【答案】B,D
【知识点】共面向量定理；空间点、线、面的位置
【解析】【解答】由M(-1，1，3)，N(-2，-1，4)，
得 ，
A. ，因为 所以M，N，O三点不共线，故错误；
B. ，因为 所以M，N，O三点共线，故正确；
C. ，因为 所以M，N，O三点不共线，故错误；
D. ，因为 所以M，N，O三点共线，故正确；
故答案为：BD
【分析】由M(-1，1，3)，N(-2，-1，4)，得到 ，然后利用空间向量共线定理逐项验证即可.
10．【答案】B,C
【知识点】空间点、线、面的位置
【解析】【解答】A项：点 关于坐标平面 的对称点的坐标为 ，A不符合题意；
B项：因为点 纵坐标为 ，所以点 在平面 面上，B符合题意；
C项： ，则横坐标和纵坐标为任意数，故与坐标平面 平行，C符合题意；
D项： ，说明竖坐标为任意数，表示一个平面，D不符合题意，
故答案为：BC.
【分析】根据直角坐标系的相关知识，逐项进行判断即可。
11．【答案】A,B,D
【知识点】平面的法向量；用空间向量研究二面角
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 ， ， ， ，
所以 ， ，即A，B符合题意；
设平面 的法向量 ，
所以 ，即 ，
令 ，则 ， ，
即平面 的一个法向量为 ，C不符合题意；
由几何体易得面 的一个法向量为 ，
由于 ，
结合图形可知二面角 的余弦值为 ，D符合题意；
故答案为：ABD.
【分析】根据空间直角坐标系得出各点坐标，利用空间向量在立体几何中的应用逐一判断即可.
12．【答案】A,B
【知识点】空间向量的数量积运算
【解析】【解答】以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设正方体的边长为 ，则 ， ， ， ，
， ， ，
所以 .
又因为 ，
，
因为 为钝角，所以 ，
即 ，
解得 .
故答案为：AB
【分析】首先以 为原点， ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，根据题意得到 ，再解不等式即可得到答案.
13．【答案】
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离
【解析】【解答】以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的边长为 ，则 ， ， ， ，
所以 ， ，
所以
，
当异面直线 与 所成角最小时，则 最大，
即 时， .
故答案为：
【分析】 以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积的坐标运算即可求解。
14．【答案】
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】解：建立如图所示的空间直角坐标系，
则则
设平面的一个法向量为，则有，解得，
则所求距离为.
故答案为：
【分析】建立适当的空间直角坐标系，求得平面的一个法向量，利用距离公式直接求解即可.
15．【答案】3
【知识点】点、线、面间的距离计算
【解析】【解答】因为 ， ， ，所以
，又因为二面角 为 ，所以 ，所以 .
故答案为：3.
【分析】 ， ， ，结合空间向量距离公式，转化求解即可．
16．【答案】
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【解答】因为 底面ABCD，底面ABCD是正方形，
所以 两两垂直，以 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，则重心 ，
因而 ， ， ，
设平面PAB的一个法向量为 ，
则 ，令 则 ，
则 .
故答案为： .
【分析】 以D为原点，DA为x轴， DC为y轴， DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出PG与面PAB所成角θ的正弦值.
17．【答案】（1）证明：由题意，四边形 是矩形，可得 ，
又由 平面 ， 平面 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又由 ，且 平面 ，所以 平面 ，
如图所示，以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在的直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系.
则 ， ， ， ， ， .
由平面 的一个法向量为 ，
因为 ，即 ，即 ，
所以 平面
（2）解：由题意，得 ， ， ， ，
平面 的一个法向量为 ，
设平面 的一个法向量 ，
可得 ， ，
由 ，可得 ，即 ，
取 ，得 ， ，所以 .
设二面角 的大小为 ，
则 .
所以二面角 的余弦值为
【知识点】向量方法证明线、面的位置关系定理；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 由题意，四边形 是矩形，可得 ， 又由 平面 ， 结合线面垂直的定义推出线线垂直，所以 ，因为 ，所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直， 所以 平面 ， 以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在的直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用两向量垂直数量积为0，从而证出 ，即 ， 从而证出 平面 。
（2）以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在的直线为 轴、 轴、 轴建立空间直角坐标系，进而求出点的坐标，再利用空间向量的方法结合数量积求向量夹角的公式，从而求出二面角 的余弦值。
18．【答案】（1）解： ， ， ， ，
，
设平面 的法向量 ，则
令 ，得平面 的一个法向量 ，
.
设平面 的法向量 ，则
令 ，得平面 的一个法向量 ，
设平面 与平面 的夹角为 ，
所以
（2）解：由（1）知，平面 的一个法向量 ，
，
设平面 与平面 的夹角为 ，
所以 ，
所以
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】(1)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面AED的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此即可得到平面 与平面 的夹角的余弦 。
(2)由(1)的结论即可得出平面 的一个法向量 以及向量的坐标再由空间数量积的运算公式即可求出 平面 与平面 的夹角 的余弦值，结合诱导公式即可得出再由同角三角函数的平方关系式即可得出 与平面 所成角的余弦值 。
19．【答案】（1）证明：以点 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立坐标系，
不妨设 ，则 ， ， ， ， ， .
设 ，则 ， ，
∴ ， ，
∵ ，∴ ，即 .
（2）解：由 ，得 ， ，
∴ ， ， ，
设平面 的法向量 ，∵ ， ，
由 ，得 ，令 ，得 ， ，∴ ，
∵ 平面 ，∴平面 的法向量 ，
∴ ，所以二面角 的余弦值为 .
【知识点】用空间向量研究二面角
【解析】【分析】 以点 为原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立坐标系， 不妨设AB=3，求出相关点的坐标，
（1）设AE=n，通过证明 ，推出 ；
（2）求出平面A1EF的法向量，平面EAF的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角 的余弦值即可．
20．【答案】（1）解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系，
A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，2，0），S（0，0，2），D（0，2，0），设P（a，b，c），
∵ ，∴（a，b，c﹣2）= （﹣a，2﹣b，﹣c）=（﹣ ，1﹣ ，﹣ ），
∴ ，解得a=0，b= ，c= ，∴P（0， ， ），
=（1，0，0）， =（﹣1，﹣ ， ），
设直线AB与CP所成角为θ，
cosθ=|cos＜ ＞|= = = ，
∴直线AB与CP所成角的余弦值为
（2）解： =（1， ，﹣ ）， =（0，﹣ ，﹣ ）， =（0， ，﹣ ），
设平面APC的法向量 =（x，y，z），
则 ，取y=2，得 =（﹣4，2，﹣1），
设平面PCD的法向量 =（a，b，c），
则 ，取b=1，得 =（0，1，1），
设二面角A﹣PC﹣D的平面角为θ，
则cosθ= = = ．
∴二面角A﹣PC﹣D的余弦值为 ．
【知识点】用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AS为z轴，建立空间直角坐标系， 利用向量法能求出直线 与 所成角的余弦值；
（2）求出平面APC的法向量和平面PCD的法向量 ， 利用向量法能求出二面角 的余弦值 。
21．【答案】（1）解：因为 ，所以 ，所以
如图建立空间直角坐标系，
设 ，则
设平面 的法向量为
则 ，即 ，所以可取
所以 ，解得
所以 ，
所以点 到平面 的距离为
（2）解：设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，可取
所以 ，由图可得平面 与平面 的夹角为锐角
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为
【知识点】点、线、面间的距离计算；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 因为 ，所以 ，所以 ，进而建立空间直角坐标系， 设 ， 从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合空间向量的方法结合数量积求点到平面的距离公式，进而求出点 到平面 的距离。
（2）因为 ，所以 ，所以 ，进而建立空间直角坐标系， 设 ， 从而求出点的坐标，再利用向量的坐标表示求出向量的坐标，再结合空间向量的方法结合数量积求向量夹角公式，进而求出平面 与平面 的夹角的余弦值。
22．【答案】（1）解： 平面 ，四边形 为正方形，设 .
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
则 、 、 、 、 、 .
， ，
，
所以，异面直线 、 所成角的余弦值为 ；
（2）解：设平面 的一个法向量为 ， ， ，
由 ，可得 ，取 ，可得 ，则 ，
， ，
因此，直线 与平面 所成角的正弦值为 ；
（3）解：设平面 的一个法向量为 ， ， ，
由 ，可得 ，得 ，取 ，则 ， ，
所以，平面 的一个法向量为 ，
，
由图形可知，二面角 为锐角，
因此，二面角 的余弦值为 .
【知识点】用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究直线与平面所成的角；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合四棱锥的结构特征，再利用正方形的性质和中点的性质，从而结合数量积求向量夹角的公式，从而求出异面直线 与 所成角的余弦值。
（2）利用已知条件结合数量积求向量夹角的公式，从而求出直线 与平面 所成角的正弦值。
(3)利用已知条件结合线面垂直的定义，从而推出线线垂直，再利用数量积求向量夹角的公式，从而求出二面角 的余弦值。
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