沪教版（上海）高一数学上册 2.2 一元二次不等式的解法_2 课件(共37张PPT)

(共37张PPT)
一元二次不等式
　一元二次不等式的解法
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　一元二次不等式及其解法(一)
学习目标
1.正确理解一元二次不等式的概念．
2．掌握一元二次不等式的解法．
3．理解一元二次不等式，一元二次方程及二次函数之间的关系．
课前自主学案
温故夯基
知新益能
1．一元二次不等式的有关概念
(1)一元二次不等式：形如_________________或__________________________的不等式叫做一元二次不等式．
(2)一元二次不等式的解：一般地，使某个一元二次不等式成立的_______叫这个一元二次不等式的解．
(3)一元二次不等式的解集：一元二次不等式的________组成的集合，叫做一元二次不等式的解集．
ax2＋bx＋c>0(≥0)
ax2＋bx＋c<0(≤0)(其中a≠0)
x的值
所有解
2．一元二次不等式的解集
一元二次不等式的解集如下表：
问题探究
1．如何理解一元二次不等式的概念？
提示：可以这样理解：①形如ax2＋bx＋c>(≥，<，≤)0(a≠0)的不等式，叫作一元二次不等式，其中a，b，c为常数，特别要注意a≠0.
②“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含有其他的字母类的量，只要明确指出这些字母所代表的量，哪一个是“未知数”，哪一些是“参数”就可以．
③“次数最高是2”，仅限于“未知数”，若还含有其他参数，则次数不受此条件限制．
2．为什么能用二次函数的图像解一元二次不等式？
提示：我们知道以自变量的取值为横坐标，对应的函数值作为纵坐标，在平面直角坐标系中描出所有的点，这些点就构成了函数的图像．因此函数图像上点的坐标的意义是横坐标是自变量的取值，纵坐标是对应的函数值．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像上的点的坐标的意义也是一样．由于位于x轴上方的点的纵坐标大于0，
位于x轴上的点的纵坐标等于0，位于x轴下方的点的纵坐标小于0，所以二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像上位于x轴上方的点的横坐标的取值范围是不等式f(x)＝ax2＋bx＋c>0的解集，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图像上位于x轴下方的点的横坐标的取值范围是不等式f(x)＝ax2＋bx＋c<0的解集．所以可以用二次函数的图像解一元二次不等式．当然，对于任意函数y＝f(x)，只要能画出它的图像，那么就可以解不等式f(x)>0或f(x)<0.
课堂互动讲练
考点突破
解不含参数的一元二次不等式
解一元二次不等式的一般步骤是：
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根；
(4)根据函数图像与x轴的相关位置写出不等式的解集．
解下列不等式：
(1)2x2－3x－2>0；(2)－x2－2x≥－3；
(3)9x2－6x＋1>0；(4)x2－4x＋5>0；
(5)x2－x＋1<0.
例1
【思路点拨】　求解一元二次不等式可以依据“三个二次”之间的关系求解，也可以利用二次函数图像求解，还可以将不等式左边因式分解，转化为一元一次不等式组求解．
【名师点评】　本例中第(1)题给出了三种解法，其中法一要熟练掌握，法二画图像较直观，有助于对法一的理解，法三因式分解不太容易．我们常用法一来解一元二次不等式，即求出判别式看其符号——求根——根据不等式中不等号的方向写出解集．
自我挑战1　解下列不等式．
(1)3x2－5x≤2；(2)－2x2＋x＋1<0；
(3)2x2－x＋6<0；(4)－x2＋6x－9≥0；
(5)x2－x－1>0；(6)x(6－x)>0.
解双向一元二次不等式
对于这类不等式，其解法为：首先化为一元二次不等式组，再分别求每一个一元二次不等式，最后求其交集．
求下列不等式的解集：
(1)－4＜x2－5x＋2＜26；(2)0＜x2－x－2＜4.
例2
【名师点评】　注意一元二次不等式的形式，即在利用不等式的解在“两根之间”或“两根之外”的结论时，首先要弄清前提条件是a＞0还是a＜0.
解含参数的一元二次不等式
含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易因式分解，则可对判别式分类讨论，分类要不重不漏．若二次项系数含有参数，则应先考虑二次项系数是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；其次，对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．
解不等式ax2－(2a＋2)x＋4>0(a∈R)．
【思路点拨】　解答本题可先由a＝0，a<0，a>0分三类情况，将原不等式化为(x－x1)(x－x2)>0或(x－x1)(x－x2)<0的形式，再根据一元二次方程ax2－(2a＋2)x＋4＝0根的大小，由相应的二次函数的图像写出原不等式的解集．
例3
【名师点评】　二次项系数中含有参数时，参数的符号影响着不等号的方向．根中含有字母时，参数的符号影响根的大小．
另外对参数分类讨论，其结果应对参数分类叙述，为了叙述结果简洁，可把与其解的结构一样的相应参数的取值范围合并在一起．
自我挑战2　解关于x的不等式x2－(a＋1)x＋a>0(a∈R)．
解：∵Δ＝[－(a＋1)]2－4a＝(a－1)2≥0.
∴方程x2－(a＋1)x＋a＝0的两根为x1＝1，x2＝a.
①当a>1时，原不等式的解集为：{x|x<1，或x>a}．
②当a<1时，原不等式的解集为：{x|x1}．
③当a＝1时，原不等式的解集为：{x|x∈R且x≠1}．
1．解一元二次不等式时，应首先将所给的不等式标准化，再确定相应的二次方程的根，最后由函数图像写出解集，对于当Δ<0，Δ＝0等特殊情况的解集要从本质上理解．
2．不等式组的解集是各部分同时成立的范围，即各部分解集的交集．
方法感悟
3．解不等式时应注意的问题
(1)解含参数的不等式时，必须注意参数的取值范围，并在此范围内对参数进行分类讨论．
(2)了解哪些情况需要分类讨论．
①二次项系数为字母时，要分等于零、大于零、小于零三类讨论．
②对应方程的根无法判断大小时，要分类讨论．
③用不等式性质对不等式变形时，必须具备的变形条件．
④若判别式含参数，则在确定解的情况时需分Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0三种情况进行讨论．