苏教版高中数学必修一 2.2 函数的简单性质(3)（教案）

二次函数解题研究
高考要求
1要掌握二次函数的图象和性质，有单调性，对称轴，顶点，二次函数的最值讨论方法，二次方程根的分布的讨论方法，特别是韦达定理的应用
2能利用二次函数研究一元二次方程的实根分布条件；能求二次函数的区间最值
知识点归纳
二次函数是高中最重要的函数，它与不等式、解析几何、数列、复数等有着广泛的联系
1二次函数的图象及性质:二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是
2二次函数的解析式的三种形式：用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即，和（顶点式）
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根分布问题:
一般地对于含有字母的一元二次方程ax2+bx+c=0
的实根分布问题，用图象求解，有如下结论：令f(x)=ax2+bx+c
(a>0)
(1)x1<α,x2<α
,则;
(2)x1>α,x2>α,则
(3)α(4)x1<α,x2>
(α<),则
(5）若f(x)=0在区间(α,)内只有一个实根，则有
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最值问题：二次函数f(x)=ax2+bx+c在区间[α,]上的最值一般分为三种情况讨论，即：(1)对称轴b/(2a)在区间左边，函数在此区间上具有单调性；;(2)对称轴b/(2a)在区间之内;(3)对称轴在区间右边要注意系数a的符号对抛物线开口的影响
1讨论二次函数的区间最值问题：①注意对称轴与区间的相对位置；②
2讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置
5二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：
①f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴无交点ax2+bx+c=0无实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是R;
②f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴相切ax2+bx+c=0有两个相等的实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是R;
③f(x)=ax2+bx+c的图像与x轴有两个不同的交点ax2+bx+c=0有两个不等的实根ax2+bx+c>0(<0)的解集为或者是
题型讲解
例1函数是单调函数的充要条件是（　）
例2　已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点，求函数的解析式
解：∵二次函数的对称轴为，
可设所求函数为，
又∵截轴上的弦长为，
∴过点和，又过点，
∴，
，
∴
例3　已知函数的最大值为，求的值
分析：令，问题就转二次函数的区间最值问题
解：令，，
∴，对称轴为，
（1）当，即时，，得或（舍去）
（2）当，即时，函数在单调递增，
由，得
（3）当，即时，函数在单调递减，
由，得（舍去）
综上可得：的值为或
例4
已知函数与非负轴至少有一个交点，求的取值范围
解法一：由题知关于的方程至少有一个非负实根，设根为
则或，得
解法二：由题知或，得
解法三：当函数与非负轴没有交点时，
则或，得或
∴函数与非负轴至少有一个交点时的取值范围为
例5　设二次函数，已知不论α，β为何实数，恒有
（1）求证：
（2）求证：
（3）若函数的最大值为8，求b，c的值
解：（1）由产生b+c，只要消除差异，这可令
从而知
（2）由
　　即　，∴
又因为
（3）
当
由
解得
点评　注意：且,
这是用不等式证明等式的有效方法，很是值得重视