沪教版（上海）高一数学上册 1.2 集合之间的关系_2 课件(共31张PPT)

(共31张PPT)
集合之间的关系
1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．
2．在具体情境中，了解空集的含义．
1．一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中_________元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作_____(或_____)，读作“_______”(或“________”)．
2．如果集合A是集合B的子集(A?B)，且______
___________________，此时，集合A与集合B中的元素是一样的，因此集合A与集合B相等，记作______.
自学导引
任意一个
A?B
B?A
A含于B
B包含A
集合B
是集合A的子集(B?A)
A＝B
3．如果集合A?B，但存在元素x∈B，且x?A，我们称集合A是集合B的_______，记作______(或______)．
4．不含任何元素的集合叫做_____，记作___.
5．_____是任何集合的子集，
_____是任何非空集合的真子集．
真子集
A?
B
B?A
空集
?
空集
空集
1．能否把“A?B”理解成“A是B中部分元素组成的集合？”
答：不能．这是因为当A＝?时，A?B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A?B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A?B成立，所以上述理解是错误的．
自主探究
2．0，{0}，?，{?}之间有什么关系？
答：(1)数0不是集合，{0}是含一个元素0的集合，?是不含任何元素的集合，{?}是指以?为元素的集合．
(2)不要把数0或集合{0}与空集?混淆，同时注意不要把空集?错写成{?}或{0}．它们之间的关系是：
?≠{?}，?∈{?},0??，0?{?},0∈{0}．
(3)从集合之间的关系看，??{?}，??
{?}．
1．集合{0,1}的子集有
(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
解析：此集合的子集有?，{0}，{1}，{0,1}共4个．
答案：D
2．若集合A＝{x|x≤2}，则
(　　)
A．0?A
B．0?A
C．{0}?A
D．{0}∈A
解析：∵0∈A，∴A、B两项不正确．
又{0}是集合，所以D项不正确．
答案：C
预习测评
解析：A、B都为点集，点(0,0)∈A，但点(0,0)?B.
答案：B
?A
4．用适当的符号填空(∈、?、?、＝)．
(1)a________{a，b，c}；
(2)?________{x∈R|x2＋1＝0}；
(3){0}________{x|x2＝x}；
(4){2,1}________{x|x2－3x＋2＝0}．
解析：(1)为元素与集合的关系，(2)(3)(4)为集合与集合的关系．
易知a∈{a，b，c}；
∵x2＋1＝0在实数范围内的解集为空集，
故?＝{x∈R|x2＋1＝0}；
∵{x|x2＝x}＝{0,1}，
∴{0}?{x|x2＝x}；
∵x2－3x＋2＝0的解为x1＝1，x2＝2.
∴{2,1}＝{x|x2－3x＋2＝0}．
答案：(1)∈　(2)＝　(3)?　(4)＝
一、正确理解子集的概念
理解子集的概念，应注意以下几点：
1．“A是B的子集”的含义是：A的任何一个元素都是B的元素，即由任意的x∈A，能推出x∈B.
2．当A不是B的子集时，我们记作“A
B”(或B?A)，读作：“A不含于B”(或“B不包含A”)．
3．任何一个集合是它本身的子集，记作A?A.
4．空集是任何集合的子集，即对于任一集合A，有??A；空集是任何非空集合的真子集，即对于任一非空集合B，有??B.
要点阐释
5．在子集的定义中，不能理解为子集A是B中的“部分元素”所组成的集合．
6．注意子集的三种语言.
名称
记号
文字语言
符号语言
图形语言
子集
?
若集合A的每一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集
若x∈A?
x∈B，则A?B
名称
记号
文字语言
符号语言
图形语言
真子集
?
若集合A是集合B的子集，且B中至少有一个元素不在A中，则称A是B的真子集
若A?B且A≠B，则
A?
B
相等
＝
若集合A是集合B的子集，且B也是A的子集，则称A与B相等
若A?B且B?A，则
A＝B
二、注意区分元素与集合之间的关系，集合与集合之间的关系
元素与集合之间的关系是从属关系(即属于或不属于)，而集合与集合之间的关系为包含(即包含、含于、不包含、真包含、相等)．
1．∈，?用在元素与集合之间，表示从属关系；?，
(或?
)用在集合与集合之间，表示包含
(真包含)关系．
2．a与{a}的区别：一般地，a表示一个元素，而{a}表示只有一个元素的一个集合，我们常称之为单元素集.1∈{1}，不能写成1?{1}．
3．关于空集?：空集是不含任何元素的集合，它既不是有限集又不是无限集，不能认为?＝{0}，也不能认为{?}＝?或{空集}＝?.
{0}是由数0组成的单元素集，所以0∈{0}，但0??，??
{0}，{?}是由?组成的单元素集，因此?∈{?}，由于空集是任何集合的子集，所以??{?}也正确．
题型一　子集、真子集的概念
【例1】
写出满足{a，b}?A?{a，b，c，d}的所有集合A.
解：由题设可知，一方面A是集合{a，b，c，d}的子集，另一方面A又真包含集合{a，b}，故集合A中至少含有两个元素a，b，且含有c，d两个元素中的一个或两个．
故满足条件的集合有{a，b，c}，{a，b，d}，{a，b，c，d}．
典例剖析
点评：(1)正确区分子集与真子集概念是解题的关键．
(2)写一个集合的子集时，按子集中元素个数多少，以一定顺序来写不易发生重复和遗漏现象．
(3)集合中含有n个元素，则此集合有2n个子集，记住这个结论可以提高解答速度，其中要注意空集?和集合本身易漏掉．
1．已知集合A＝{x|1解：∵A＝{2,3,4}，
∴集合A的所有子集是：?，{2}，{3}，{4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{2,3,4}，
在上述子集中，除去集合A本身，即{2,3,4}，剩下的都是A的真子集．
题型二　集合相等及应用
【例2】
已知集合A＝{x，xy，x－y}，B＝{0，|x|，y}且A＝B，求实数x与y的值．
解：由已知A＝B＝{0，|x|，y}，∴0∈A.
若x＝0，则A＝{0,0，－y}，不满足元素的互异性；
若y＝0，则B＝{0，|x|,0}，也不满足元素的互异性．
∴只有x－y＝0，即y＝x.
∴A＝{x，xy,0}＝{x，x2,0}．
∴B＝{0，|x|，x}．
∴x2＝|x|，∴x＝0(舍)，或x＝1，或x＝－1.
当x＝1时，A＝B＝{1,1,0}，而元素具有互异性，故x≠1.
当x＝－1时，A＝B＝{－1,1,0}满足题意．
∴x＝y＝－1即为所求．
点评：(1)两个集合相等，则所含元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形．
(2)若两个集合中元素均无限多个，要看两集合的代表元素是否一致，且看代表元素满足的条件是否一致，若均一致，则两集合相等．
(3)另外证明两个集合相等的思路是证：A?B且B?A.
2．已知集合A＝{2，x，y}，B＝{2x,2，y2}且A＝B，求x，y的值．
解：∵A＝B，
∴集合A与集合B中的元素相同，
验证得，当x＝0，y＝0时，
A＝{2,0,0}这与集合元素的互异性相矛盾，舍去．
题型三　子集的集合运用
【例3】
已知集合A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1解：∵B?A，
(1)当B＝?时，m＋1≤2m－1，解得m≥2.
解得－1≤m<2，
综上得m≥－1.
点评：(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．
(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．
(3)此类问题还应注意“空集”这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论思想是必须的．
3．已知集合A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若B?
A，求实数a的值．
解：A＝{x|x2－2x－3＝0}＝{－1,3}，且B
?A，
∴(1)当B＝?时，方程ax－1＝0无解，∴a＝0.
误区解密　因忽略空集而出错
【例4】
设A＝{x|2≤x≤6}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若B?A，则实数a的取值范围是
(　　)
A．{a|1≤a≤3}
B．{a|a>3}
C．{a|a≥1}
D．{a|1错因分析：空集是任何集合的子集，忽视这一点，会导致漏解，产生错误结论．对于形如{x|a②当B＝?时，2a>a＋3，解之得a>3.
综合①②得a≥1.
故应选C.
答案：C
纠错心得：由于空集是任何非空集合的真子集，因此B＝?时也满足B?A.解含有参数的集合问题时，要特别注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况．空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，学生往往会在解题中遗忘这个集合，导致解题错误或解题不全面．
1．元素、集合间的关系用符号“∈”或“?”表示，集合、集合间的关系用“?”、“＝”或“?
”等表示．
2．在特定的情况下集合也可以作为元素，如集合B＝{?，{0}，{1}，{0,1}}，则此时{1}∈B，而不能是{1}?
B.
课堂总结
3．解集合关系的问题时还需注意以下几个方面：
(1)当A?B时，A＝B或A?
B.
(2)判断两个集合间的关系：①先用列举法表示两个集合再判断；②分类讨论．
(3)解数集问题学会运用数轴表示集合．
(4)集合与集合间的关系可用Venn图直观表示．