沪教版（上海）高一数学上册 2.3其他不等式的解法_1 教案

其他不等式的解法
【教学目标】
1．掌握简单的分式不等式、绝对值不等式的解法。
2．能对简单的绝对值不等式给出几何解释。
3．体会化归、等价转换的数学思想方法。
【教学重难点】
重点：简单的分式不等式、绝对值不等式的解法。
难点：不等式的同解变形。
【教学过程】
一、分式不等式的解法
1．引入。
某地铁上，甲乙两人为了赶乘地铁，分别从楼梯和运行中的自动扶梯上楼（楼梯和自动扶梯长度相同），如果甲的上楼速度是乙的2倍，他俩同时上楼，且甲比乙早到楼上，问甲的速度至少是自动扶梯运行速度的几倍。
设楼梯的长度为，甲的速度为，自动扶梯的运行速度为。
于是甲上楼所需时间为，乙上楼所需时间为。
由题意，得。
整理得。
由于此处速度为正值，因此上式可化为，即。所以，甲的速度应大于自动扶梯运行速度的2倍。
2．分式不等式的解法。
例1：解不等式：。
解：（化分式不等式为一元一次不等式组）。
；
或
或
或
不存在。
所以，原不等式的解集为，即解集为。
注意到或，可以简化上述解法。
另解：（利用两数的商与积同号（，）化为一元二次不等式）；
所以：原不等式的解集为。
由例1我们可以得到分式不等式的求解通法：
（1）不要轻易去分母，可以移项通分，使得不等号的右边为零。
（2）利用两数的商与积同号，化为一元二次不等式求解。
一般地，分式不等式分为两类：
（1）（）（）；
（2）（）。
说明：
解不等式中的每一步往往要求“等价”，即同解变形，否则所得的解集或“增”或“漏”。由于不等式的解集常为无限集，所以很难像解无理方程那样，对解进行检验，因此同解变形就显得尤为重要。
例2：解下列不等式。
（1）。
（2）。
（3）。
解：
（1）原不等式，所以，原不等式的解集为。
（2）原不等式：
，
所以，原不等式的解集为。
（3）分母：，则：
原不等式
或，所以，原不等式的解集为。
说明：
例2也可作为课堂练习，就学生所出现的问题，教师做适当讲评。
例3：
当为何值时，关于的不等式的解是：
（1）正数？
（2）是负数？
解：
（
）；
当时，（
）不存在。
当时，（
）。
（1）原方程的解为正数或。
（2）原方程的解为负数。
所以，当时，原方程的解为正数。当时，原方程的解为负数。
二、含绝对值的不等式的解法
（1）实数绝对值定义、几何意义、性质。
①任意，定义的绝对值为。
②绝对值的几何意义：任意，设数轴上表示数值的点为，为坐标原点，则：
，即表示点到原点的距离。类似地，
的几何意义是：数轴上表示数值的点到数轴上表示数值的点为的距离，即。
③任意，，等号成立。
④任意，。
⑤任意、，。，（）。
（2）含绝对值的不等式的解法。
例4：设、，且，求下列不等式的解集。
（1）。
（2）。
（3）。
解：（1）或
或
或
。
所以，原不等式的解集为。
另解：或。
所以，原不等式的解集为。
（2）或
或
或。
所以，原不等式的解集为。
另解：。
所以，原不等式的解集为。
（3），又；
所以，原不等式的解集为。
由例4我们可以获得含绝对值的不等式的如下重要结论：
设，则：
（1）。
（2）。
（3）。
上述结论的几何意义是比较明显的。
说明：
以上结论对于、均成立，即：
（1）。
（2）。
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