沪教版（上海）高一数学上册 2.2 一元二次不等式的解法_1 课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
　一元二次不等式及其解法(二)
对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，设Δ＝b2－4ac，它的解按照Δ>0，Δ＝0，Δ<0可分为三种情况．相应地，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像与x轴的位置关系也分为三种情况．
课前自主学案
温故夯基
知新益能
Δ<0
Δ<0
{x|xx2}
{x|x1三个“二次”之间有何联系？
提示：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的值满足y>0时的自变量x组成的集合，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像在x轴上方的点的横坐标x的集合，而一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根就是二次函数图像与x轴交点的横坐标，也是一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集端点．
问题探究
课堂互动讲练
考点突破
三个“二次”之间的关系
一元二次不等式解集的端点，即对应二次方程的根，也是对应二次函数的零点．
例1
∴2x2＋bx＋a<0?2x2－2x－12<0?x2－x－6<0
?(x－3)(x＋2)<0?－2∴2x2＋bx＋a<0的解为－2【名师点评】　若已知一元二次不等式的解集，则由三个“二次”之间的联系，推知相应的一元二次方程的两根及二次项系数的正负性，再利用一元二次方程根的与系数的关系即可解决问题．
一元二次不等式恒成立问题
(3)类似地，还有f(x)≤a恒成立?[f(x)]max≤a；
f(x)≥a恒成立?[f(x)]min≥a.
当a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为R?
【思路点拨】　不等式的解集为R，也就是函数f(x)＝(a2－1)x2－(a－1)x－1的图像恒在x轴下方，注意二次项系数a2－1可能为0，也可能小于0，应分两种情况讨论加以解决．
例2
【误区警示】　本题易忽略a2－1＝0的情况，而出题人正是抓住这一点，常在此处设置陷阱，故对于此类问题应首先考虑二次项系数是否为0的情况．
互动探究　本例改为“a为何值时，不等式(a2－1)x2－(a－1)x－1<0的解集为?？”如何求解？
一元二次不等式的实际应用
解不等式应用题，一般可按如下四步进行：
(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系；
(2)引进数学符号，用不等式表示不等关系；
(3)解不等式；
(4)回扣实际问题．
政府收购某种农产品的原价格是100元/担，其中征税标准为每100元征10元(叫税率为10个百分点，即10%)，计划收购a万担，为了减轻农民负担，现决定将税率降低x个百分点，预计收购量可增加2x个百分点．要使此项税收在税率调节后不低于原计划的83.2%，试确定x的范围．
例3
【思路点拨】　利用降低税率后的税收大于或等于原计划税收的83.2%，建立不等式求解．
【名师点评】　在建立一元二次不等式的模型时，为了理解题目中量与量之间的关系，可以像本例题这样，把题目中的文字语言转化为数学语言，从而顺利地建立不等式模型．
在解一元二次不等式应用题时，要注意的是所求出的结果必须有实际意义．
自我挑战　汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40
km/h的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12
m，乙车的刹车距离略超过10
m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s(m)与车速x(km/h)之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.
问：甲、乙两车有无超速现象？
解：由题意知，对于甲车，有0.1x＋0.01x2＞12，即x2＋10x－1200＞0，解得x＞30或x＜－40(不合实际意义，舍去)，这表明甲车的车速超过30
km/h.但根据题意刹车距离略超过12
m，由此估计甲车车速不会超过限速40
km/h.
对于乙车，有0.05x＋0.005x2＞10，即x2＋10x－2000＞0，解得x＞40或x＜－50(不合实际意义，舍去)，这表明乙车的车速超过40
km/h，超过限速．
综上，甲车无超速现象，乙车有超速现象．
1．如何理解一元二次不等式的解集与二次函数和一元二次方程之间的关系
(1)从函数观点看(以a>0的二次函数为例)
一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的值满足y>0时的自变量x组成的集合，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像在x轴上方时点的横坐标x的集合．
方法感悟
而一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根就是二次函数图像与x轴交点的横坐标，因此要加深理解“二次函数、一元二次方程和一元二次不等式”这三个“二次”之间的内在联系．
2．形如“ax2＋bx＋c>0(或<0)”的不等式恒成立问题，必须对a＝0与a≠0作分类讨论，以防出错．有些恒成立问题可通过分离参变量，转化为最值问题去处理．