沪教版（上海）高一数学上册 2.2 一元二次不等式的解法_1 教案

一元二次不等式的解法
【教学目标】
掌握一元二次不等式的解法，能应用一元二次不等式、对应方程、函数三者之间的关系解决综合问题，会解简单的分式不等式及高次不等式。
【教学重点】
利用二次函数图象研究对应不等式解集的方法。
【教学过程】
一、主要知识：
1．一元二次不等式、对应方程、函数之间的关系；
2．分式不等式要注意大于等于或小于等于的情况中，分母要不为零；
3．高次不等式要注重对重因式的处理。
二、主要方法：
1．解一元二次不等式通常先将不等式化为或的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于时两根之外，小于时两根之间；
2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理；
3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解。
三、例题分析：
例1．解下列不等式：
（1）；（2）；（3）。
解：（1）；（2）；
（3）原不等式可化为
。
例2．已知，，
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求的取值范围。
解：，
当时，；当时，；当时，。
（1）若，则；
（2）若，
当时，满足题意；当时，，此时；当时，不合题意。
所以，的取值范围为。
例3．已知，
（1）如果对一切，恒成立，求实数的取值范围；
（2）如果对，恒成立，求实数的取值范围。
解：（1）；
（2）或或，
解得或或，∴的取值范围为。
例4．已知不等式的解集为，则不等式的解集为
。
解法一：∵即的解集为，
∴不妨假设，则即为，解得。
解法二：由题意：，
∴可化为即，
解得。
例5．已知二次函数的图象过点，问是否存在常数，使不等式对一切都成立？
解：假设存在常数满足题意，
∵的图象过点，∴
①
又∵不等式对一切都成立，
∴当时，，即，∴
②
由①②可得：，∴，
由对一切都成立得：恒成立，
∴的解集为，
∴且，即且，
∴，∴，
∴存在常数使不等式对一切都成立。
四、巩固练习：
1．若不等式对一切成立，则的取值范围是。
2．若关于的方程有一正根和一负根，则。
3．关于的方程的解为不大于2的实数，则的取值范围为。
4．不等式的解集为。