2021-2022学年人教A版（2019）选择性必修第一册1.1空间向量及其运算 教案

授课题目
空间向量及其运算
课
次
第（
）次课
专题一：空间向量及其运算
知识点1：空间向量的概念空间向量：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量。如位移、速度、力等。【用有向线段表示】
向量的大小叫做向量的长度或者模。注意：长度为0
的向量叫做零向量，记为，即当有向线段的起点A与终点B重合时，.
模为1的向量称为单位向量。相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。相反向量：长度相等而方向相反的向量叫做相反向量。【表示方法】用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。知识点2：向量运算和运算律
加法交换率：
加法结合率：
数乘分配率：
知识点3：1.平行向量(共线向量)
如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。
平行于记作∥。
注意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；
当我们说、平行时，也具有同样的意义。2.共线向量定理：对空间任意两个向量（≠）、，∥的充要条件是存在实数使＝（1）对于确定的和，＝表示空间与平行或共线，长度为
||，
当>0时与同向，当<0时与反向。（2）若直线l∥，，P为l上任一点，O为空间任一点，※推论※--如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式
①其中向量叫做直线l的方向向量。在l上取，则①式可化为
②当时，点P是线段AB的中点，则
③①或②叫做空间直线的向量参数表示式，③是线段AB的中点公式。向量与平面平行：如果表示向量的有向线段所在直线与平面平行或在平面内则向量平行于平面，
记作∥。注意：向量∥与直线a∥的联系与区别。共面向量：把平行于同一平面的向量叫做共面向量。共面向量定理：如果两个向量、不共线，则向量与向量、共面的充要条件是：
存在实数对x、y，使①推论：空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y，使
④或对空间任一定点O，有
⑤在平面MAB内，点P对应的实数对（x,
y）是唯一的。①式叫做平面MAB的向量表示式。又∵代入⑤，整理得
⑥由于对于空间任意一点P，只要满足等式④、⑤、⑥之一（它们只是形式不同的同一等式），点P就在平面MAB内；对于平面MAB内的任意一点P，都满足等式④、⑤、⑥，所以等式④、⑤、⑥都是由不共线的两个向量、（或不共线三点M、A、B）确定的空间平面的向量参数方程，也是M、A、B、P四点共面的充要条件。空间向量基本定理：
如果三个向量、、不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组x,y,z,
使说明：⑴由上述定理知，如果三个向量、、不共面，那么所有空间向量所组成的集合就是，这个集合可看作由向量、、生成的，所以我们把{，，}叫做空间的一个基底，，，都叫做基向量；⑵空间任意三个不共面向量都可以作为空间向量的一个基底；⑶一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同的概念；⑷由于可视为与任意非零向量共线。与任意两个非零向量共面，所以，三个向量不共面就隐含着它们都不是。推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组，
使知识点4：数量积1.夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作，，则角∠AOB叫做向量与的夹角，记作说明：⑴规定0≤≤,因而=；⑵如果=，则称与互相垂直，记作⊥；⑶在表示两个向量的夹角时，要使有向线段的起点重合，注意图（1）、（2）中的两个向量的夹角不同，图（1）中∠AOB=，
图（2）中∠AOB=,2.向量的模：表示向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模。3.向量的数量积：叫做向量、的数量积，记作。即=。4.性质与运算率
⑴（1）⊥=0
⑵=（2）
⑶
专题二：典型例题解析
题型1：空间向量的概念及性质1.有以下命题：①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线；②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面；③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（
）。
①②
①③
②③
①②③有4个命题：①若p=xa+yb，则p与a、b共面；②若p与a、b共面，则p=xa+yb；③若=x+y，则P、M、A、B共面；④若P、M、A、B共面，则=x+y.其中真命题的个数是（
）。
A.1
B.2
C.3
D.43.下列命题中是真命题的是(
)。A.分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B.若|a|=|b|，则a，b的长度相等而方向相同或相反C.若向量，满足||＞||，且与同向，则＞
D.若两个非零向量与满足+=0，则∥题型2：空间向量的基本运算1.如图：在平行六面体中，为与的交点。若，，，则下列向量中与相等的向量是（
）
若，，且，则的值分别为（
）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．3．若三点共线，为空间任意一点，且，则的值为（　　）
Ａ．1
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．已知均为单位向量,它们的夹角为60,那么=
。已知：且不共面.若∥,求的值.6.已知正方体ABCD—A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若，求x－y的值.
(?
http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)7.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于600，是PC的中点，设．（1）试用表示出向量；（2）求的长．
(?
http:?/??/?www.21cnjy.com?/??)【小结】1．立体几何中有关垂直和平行的一些命题，可通过向量运算来证明．对于垂直，一般是利用a⊥ba·b＝0进行证明．对于平行，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．
利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角，而求两个向量的夹角则可以利用公式cosθ＝．
作业（整理与复习）
日期
家长签字
1．给出下列命题：①已知，则；
②为空间四点，若不构成空间的一个基底，那么共面；
③已知，则与任何向量都不构成空间的一个基底；
④若共线，则所在直线或者平行或者重合．正确的结论的个数为（　　）
A．1
B．2
C．3
D．4
2．若为任意向量，，下列等式不一定成立的是（　　）
Ａ．
Ｂ．
Ｃ．
Ｄ．
3.如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点.若=a，=b，=c，则下列向量中与相等的向量是（
）
A.－a+b+c
B.a+b+c
C.a－b+c
D.－a－b+c
4.下列等式中，使点M与点A、B、C一定共面的是（
）
A.
B.
C.
D.
5．已知三点不共线，为平面外一点，若由向量确定的点与共面，那么　　　　．
6.在四面体O-ABC中，=a,=b,
=c,D为BC的中点,E为AD的中点，则=
(用a,b,c表示).
7.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设=a，=b，=c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，
试用a，b，c表示以下各向量：
（1）；（2）；（3）+.
A
B
O
（1）
A
B
O
（2）