2021-2022学年人教A版（2019）选择性必修第一册2.1.1倾斜角与斜率练习题

第二章　直线和圆的方程
2.1　直线的倾斜角与斜率
2.1.1　倾斜角与斜率
基础过关练　　　　　　
　　　　　
　　　　　
题组一　直线的倾斜角与斜率
1.下列说法中,正确的是
(　　)
A.任何一条直线都有唯一的斜率
B.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大
C.任何一条直线都有唯一的倾斜角
D.若两直线的倾斜角相等,则它们的斜率也一定相等
2.已知直线PQ的斜率为-,将直线绕点P顺时针旋转60°,所得的直线的斜率是
(　　)
A.0
B.
3.若直线l向上的方向与y轴的正方向成30°角,则直线l的倾斜角为
(　　)
A.30°
B.60°
C.30°或150°
D.60°或120°
4.如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则
(　　)
A.k1B.k3C.k3D.k15.(多选)下列四个命题中,为假命题的是
(　　)
A.坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B.直线的倾斜角的取值范围是[0,π)
C.若一条直线的斜率为tan
α,则此直线的倾斜角为α
D.若一条直线的倾斜角为α,则此直线的斜率为tan
α
6.如图所示,菱形OBCD的顶点O与坐标原点重合,且OB在x轴的正半轴上.已知∠BOD=60°,求菱形各边和两条对角线所在直线的倾斜角及斜率.
题组二　直线的斜率公式
7.(2020河南河大附中高二上期中)已知两点A(-1,2),B(3,4),则直线AB的斜率为
(　　)
A.2
B.-
D.-2
8.(2021山东枣庄八中高二上月考)若直线过点(2,4),(1,4+),则此直线的倾斜角是
(　　)
A.30°
B.60°
C.120°
D.150°
9.已知点A(2,-1),若在坐标轴上存在一点P,使直线PA的倾斜角为45°,则点P的坐标为　　　　　　.?
10.已知三点A(-3,-1),B(0,2),C(m,4)在同一直线上,则实数m的值为　　　　.?
题组三　直线的方向向量及其应用
11.(2021山东济宁实验中学高二月考)经过A(0,2),B(1,0)两点的直线的方向向量为(1,k),则k的值是
(　　)
A.1
B.-1
C.-2
D.2
12.(2021山东菏泽一中高二上月考)已知直线l的一个方向向量为d=(3,-4),则直线l的斜率为　　　　.?
13.已知直线l1的方向向量为n=(2,1),直线l2的倾斜角是直线l1倾斜角的2倍,求直线l2的斜率.
能力提升练
题组一　直线的倾斜角与斜率　　　　　　
　　　　　
　　　　　
1.(2021山东东营一中高二上月考,)设直线l的斜率为k,且-1≤k<,则直线l的倾斜角α的取值范围为(　　)
A.∪∪
C.∪
2.(2020吉林大学附属中学高二上第一次月考,)若两直线l1,l2的倾斜角和斜率分别为α1,α2和k1,k2,则下列四个命题中正确的是
(　　)
A.若α1<α2,则k1B.若α1=α2,则k1=k2
C.若k1D.若k1=k2,则α1=α2
3.(2021安徽蚌埠三中高二上月考,)过点A(2,1),B(m,3)的直线的倾斜角α的范围是,则实数m的取值范围是
(　易错　)
A.(0,2]
B.(0,4)
C.[2,4)
D.(0,2)∪(2,4)
题组二　直线斜率的综合运用
4.(2021黑龙江哈尔滨六中高二上月考,)直线l过点A(1,2),且不经过第四象限,则直线l的斜率的取值范围为
(　　)
A.
B.[0,1]
C.[0,2]
D.
5.(2020山东日照一中期中,)已知函数f(x)=log3(x+2),若a>b>c>0,则
的大小关系为
(　　)
A.
C.
6.(2021安徽合肥八中高二上月考,)已知A(2,3),B(-1,2),若点P(x,y)在线段AB上,则的最大值为(　　)
A.1
B.
D.-3
7.(多选)()直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,)为端点的线段有公共点,则直线l的斜率可能是(　　)
A.-2
B.
8.()若过点P(1-a,1+a)与Q(4,2a)的直线的倾斜角为钝角,且m=3a2-4a,则实数m的取值范围是　　　　.?
9.()台球运动中的反弹球技法是常见的技巧,其中无旋转反弹球是最简单的技法,主球撞击目标球后,目标球撞击台边之后按照光线反射的方向弹出,想要让目标球沿着理想的方向反弹,就要事先根据需要确认台边的撞击点,同时做到用力适当,方向精确,这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图,现有一目标球从点A(-2,3)无旋转射入,经过x轴(桌边)上的点P反弹后,经过点B(5,7),则点P的坐标为　　　　.深度解析?
10.(2020安徽芜湖第一中学月考,)已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2)三点.
(1)求直线AB和AC的斜率;
(2)若点D在线段BC(包括端点)上移动,求直线AD的斜率的变化范围.
答案全解全析
基础过关练
1.C　A错,因为倾斜角为90°的直线斜率不存在;B错,因为当α=90°时,直线的斜率不存在;C显然对;D错,若两直线的倾斜角为90°,则它们的斜率不存在,无法比较大小.
2.C　直线PQ的斜率为-.
3.D　如图,直线l有两种情况,故l的倾斜角为60°或120°.
4.D　由题图可知,直线l1的倾斜角为钝角,所以k1<0;直线l2与直线l3的倾斜角为锐角,且直线l2的倾斜角较大,所以k2>k3>0,所以k2>k3>k1.
5.ACD　对于A,当直线与x轴垂直时,直线的倾斜角为90°,斜率不存在,∴A是假命题;对于B,直线的倾斜角的取值范围是[0,π),∴B是真命题;对于C,一条直线的斜率为tan
α,但此直线的倾斜角不一定为α,如直线y=x的斜率为tan,∴C是假命题;对于D,一条直线的倾斜角为α时,它的斜率为tan
α或不存在,∴D是假命题.故选ACD.
6.解析　因为OD∥BC,∠BOD=60°,所以直线OD,BC的倾斜角都是60°,斜率kOD=kBC=tan
60°=.
因为OB在x轴的正半轴上,DC∥OB,
所以直线OB,DC的倾斜角都是0°,斜率kOB=kDC=tan
0°=0.
由菱形的性质知,∠COB=30°,∠OBD=60°,
所以直线OC的倾斜角为30°,斜率kOC=tan
30°=,直线BD的倾斜角为∠DBx=180°-60°=120°,斜率kBD=tan
120°=-.
7.C　由A、B的坐标得kAB=,故选C.
8.C　依题意知直线的斜率k=,又0°≤α<180°,∴α=120°,故选C.
9.答案　(3,0)或(0,-3)
解析　若设点P的坐标为(x,0),则=tan
45°=1,解得x=3,即P(3,0).
若设点P的坐标为(0,y),则=tan
45°=1,解得y=-3,即P(0,-3).
10.答案　2
解析　因为A、B、C三点在同一直线上,所以kAB=kBC,即,解得m=2.
11.C　直线AB的一个方向向量为=(1,0)-(0,2)=(1,-2),所以k=-2,故选C.
12.答案　-
解析　设直线l的斜率为k,则直线l的一个方向向量为n=(1,k),
又直线l的一个方向向量为d=(3,-4),n∥d,∴1×(-4)-3k=0,解得k=-.
13.解析　设直线l1的倾斜角为α,则直线l2的倾斜角为2α.由直线l1的方向向量为n=(2,1),得直线l1的斜率为tan
α=.
能力提升练
1.D　直线l的倾斜角为α,则α∈[0,π),
由-1≤k<,得-1≤tan
α<,
∴α∈∪.故选D.
2.D　令α1=45°,α2=135°,则k1=1,k2=-1,k1>k2,故A错误;易知C错误;令α1=α2=90°,则k1、k2不存在,故B错误;由k1=k2知,α1=α2,故D正确.故选D.
3.B　由直线的倾斜角α的范围是,
得直线的斜率存在时,k<-1或k>1.
当m≠2时,kAB=,
∴>1,
解得0当直线的斜率不存在时,m=2符合题意,
综上,实数m的取值范围是(0,4).故选B.
易错警示　已知倾斜角的取值范围确定斜率的范围时,要注意倾斜角的取值范围中含有90°的情况,此时斜率的范围分成两段,如本题中的“k<-1或k>1”,而不是“-14.C　如图,∵直线l过点A(1,2),且不经过第四象限,
∴当直线l的倾斜角为0°时,斜率k=0;
当直线经过原点时,斜率k'=2,
∴直线l的斜率的取值范围为[0,2],
故选C.
5.B　作出函数f(x)=log3(x+2)的大致图象,如图所示.
由图象可知y轴右侧曲线上各点与原点连线的斜率随x的增大而减小,因为a>b>c>0,所以,故选B.
6.C　,因为点P在线段AB上,所以-3≤≤-.故选C.
7.ACD　如图所示,
当直线l过点B时,设直线l的斜率为k1,则k1=,
当直线l过点A时,设直线l的斜率为k2,则k2==1,
所以要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率的取值范围是(-∞,-]∪[1,+∞),故选ACD.
8.答案　
解析　设直线的倾斜角为α,<α<π,斜率为k,
则k=tan
α=,又α为钝角,
∴<0,即(a-1)(a+3)<0,故-3∵关于a的函数m=3a2-4a图象的对称轴为a=,
∴当a=.
又当a=-3时,m=39,
当a=1时,m=-1,
∴实数m的取值范围是.
9.答案　
信息提取　①目标球无旋转射入;②经过x轴(桌边)上的点反弹.
数学建模　将台球中的无旋转反弹问题转化为光线的反射问题,运用的知识是①点关于线对称,求A点关于x轴的对称点A'或求B点关于x轴的对称点B';②三点共线,即A'、P、B三点共线或A、P、B'三点共线.再用所学公式解决问题.
解析　设P(x,0),A点关于x轴对称的点A'(-2,-3),
则kA'P=,
∵A',B,P三点共线,
∴kA'P=kA'B,即.
解题模板　求解光线的反射问题通常用到对称的知识,若A点向P点反射至B点,则A点的对称点A'与P、B共线,此直线为反射线;B点的对称点B'与P、A共线,此直线为入射线.
10.解析　(1)由斜率公式可得直线AB的斜率kAB=.
(2)如图所示,当点D由点B运动到点C时,直线AD的斜率由kAB增大到kAC,所以直线AD的斜率的变化范围是.