2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1 直线与圆的位置关系
基础过关练
题组一 直线与圆的位置关系的判断
1.(2020湖北宜昌高二上期末)直线3x+4y+2=0与圆x2+y2-2x=0的位置关系是( )
A.相离
B.相切
C.相交
D.无法判断
2.(2021吉林长春外国语学校高二上月考)已知直线l:(x+2)m+y-1=0,圆C:x2+y2=6,则直线l与圆C的位置关系一定是
( )
A.相交
B.相切
C.相离
D.不确定
3.(2020浙江温州高二上期末)若直线x-y=0与圆(x-1)2+(y+1)2=m相离,则实数m的取值范围是
( )
A.(0,2]
B.(1,2]
C.(0,2)
D.(1,2)
4.若点M(x0,y0)在圆x2+y2=R2外,则直线x0x+y0y=R2与圆的位置关系是
( )
A.相切
B.相交
C.相离
D.不确定
5.已知圆x2-2ax+y2=0(a>0)与直线x-y+3=0相切,则a= .?
题组二 圆的切线与弦长问题
6.(2020浙江杭州七县区高二上期末)直线y=x+1被圆x2+y2=2截得的弦长为
( )
A.2
B.2
7.若圆x2+y2-2x+4y+m=0截直线x-y-3=0所得弦长为6,则实数m的值为
( )
A.-1
B.-2
C.-4
D.-31
8.已知圆x2+y2=9的一条弦过点P(1,2),当弦长最短时,该弦所在直线的方程为
( )
A.y-2=0
B.x+2y-5=0
C.2x-y=0
D.x-1=0
9.已知直线l过点P(2,4),且与圆O:x2+y2=4相切,则直线l的方程为
( 易错 )
A.x=2或3x-4y+10=0
B.x=2或x+2y-10=0
C.y=4或3x-4y+10=0
D.y=4或x+2y-10=0
10.(2021吉林长春外国语学校高二上月考)过点M(-1,)的圆x2+y2=4的切线方程为 .?
11.过点P(-1,-2)引圆C:(x-1)2+(y-2)2=16的切线,则切线长为 .?
题组三 直线与圆的位置关系的综合运用
12.(2021江西南昌二中高二上月考)若PQ是圆x2+y2=9的弦,PQ的中点是(1,2),则直线PQ的方程是
( )
A.x+2y-3=0
B.x+2y-5=0
C.2x-y+4=0
D.2x-y=0
13.如图是一座圆拱桥,当水面在如图所示的位置时,拱桥顶部离水面2
m,水面宽12
m,若水面下降1
m,则水面的宽为 m.?
14.(2020北京清华大学附中高二上)已知点P是圆x2+y2=2上的动点,Q是直线l:3x-4y+15=0上的动点,则|PQ|的最小值为 .?
15.(2020浙江温州高二上期末)已知圆心C在直线2x-y-2=0上的圆经过点A(-1,2)和B(3,-2),且过点P(3,-1)的直线l与圆C相交于不同的两点M,N.
(1)求圆C的标准方程;
(2)若∠MCN=90°,求直线l的方程.
能力提升练
题组一 直线与圆的位置关系
1.(2021河北保定唐县一中高二上月考,)若过定点M(-1,0)且斜率为k的直线与圆x2+4x+y2-5=0在第一象限内的部分有交点,则k的取值范围是
( )
A.0C.0D.02.(2021安徽阜阳太和一中高二上月考,)曲线y=1+与直线y=k(x-2)+4有两个不同的交点,则实数k的取值范围是
( )
A.k≥≤k<-
C.k>3.()若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且仅有两个点到直线4x-3y-2=0的距离为1,则半径r的取值范围是
( )
A.[4,6)
B.(4,6)
C.[4,6]
D.(4,6]
4.(多选)(2020广东佛山一中高二上期中,)已知圆M:(x+cos
θ)2+(y-sin
θ)2=1,直线l:y=kx,则下列命题中正确的是
( )
A.对任意实数
k
和θ,直线
l
和圆
M
有公共点
B.对任意实数θ,必存在实数
k,使得直线
l
与圆
M
相切
C.对任意实数
k,必存在实数θ,使得直线l与圆M相切
D.存在实数
k
与θ,使得圆
M
上有一点到直线
l
的距离为
3
题组二 圆的切线与弦长问题
5.(2021浙江丽水五校共同体高二上阶段性考试,)由直线y=x+1上的点向圆(x-3)2+y2=1作切线,则切线长的最小值为
( )
A.1
B.
D.3
6.(多选)(2021福建龙岩武平一中高二上第一次过关考试,)瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上.这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作△ABC,|AB|=|AC|=4,点B(-1,3),点C(4,-2),且其“欧拉线”与圆M:(x-3)2+y2=r2相切,则下列结论正确的是( )
A.圆M上的点到直线x-y+3=0的最小距离为2
B.圆M上的点到直线x-y+3=0的最大距离为3
C.若点(x,y)在圆M上,则x+
D.圆(x-a-1)2+(y-a)2=8与圆M有公共点,则a的取值范围是1-2≤a≤1+2
7.()一条光线从点(2,-3)射出,经x轴反射,其反射光线所在直线与圆(x-3)2+y2=1相切,则反射光线所在直线的方程为 .?
8.()直线y=x+b被圆(x-1)2+(y-1)2=4截得的弦长的最大值是 ;若该圆上到直线y=x+b的距离等于1的点有且仅有4个,则b的取值范围是 .?
9.()已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=4.
(1)若直线l'过点A(2,3)且被圆C截得的弦长为2,求直线l'的方程;
(2)若直线l过点B(1,0)且与圆C相交于P,Q两点,求△CPQ的面积的最大值,并求出此时直线l的方程.
题组三 直线与圆的位置关系的综合运用
10.(2021河北石家庄二中高二月考,)若直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,则的最小值是
( )
A.9
B.4
C.
11.(2020山东济宁高二上期中,)已知AB为圆C:(x-1)2+y2=1的直径,点P为直线x-y+1=0上的任意一点,则·的最小值为
( )
A.1
B.
12.()已知点P(x,y)是直线kx+y+4=0(k>0)上一动点,PA、PB是圆C:x2+y2-2y=0的两条切线,A、B是切点,若四边形PACB的最小面积是2,则k的值为
( )
A.3
B.
D.2
13.()过圆外一点P作圆O:x2+y2=1的两条切线PM,PN(M,N为切点),若∠MPN=90°,则动点P的轨迹方程是 .?
14.(2019江苏镇江高二上期中,)在某海礁A处有一风暴中心,距离风暴中心A正东方向200
km的B处有一艘轮船,正沿北偏西α(α为锐角)角方向航行,速度大小为40
km/h.已知距离风暴中心180
km以内的水域受其影响.
(1)若轮船不被风暴影响,求角α的正切值的最大值;
(2)若轮船航行方向为北偏西45°,求轮船被风暴影响持续的时间.
15.()在△ABO中,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,P是△ABO的内切圆上的一点,求以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值与最小值.
16.(2021重庆八中高二上月考,)已知圆C的方程为(x-2)2+y2=25.
(1)设点M,过点M作直线l与圆C交于A,B两点,若|AB|=8,求直线l的方程;
(2)设P是直线x+y+6=0上的点,过点P作圆C的切线PD,PE,切点为D,E.求证:经过D,P,C三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.
答案全解全析
基础过关练
1.B 圆的方程可化为(x-1)2+y2=1,
∴圆心为(1,0),半径r=1.
因此圆心到直线的距离d==1=r,
∴直线3x+4y+2=0与圆x2+y2-2x=0相切,故选B.
2.A 由直线方程可得y-1=-m(x+2),因此直线l过定点(-2,1),设为A,因此|AC|==r.
故A点在圆C的内部,从而直线l与圆C一定相交,故选A.
3.C 由题得圆心到直线的距离d=,所以m<2,因为m>0,所以04.B ∵点M(x0,y0)在圆x2+y2=R2外,∴+5.答案 3
解析 将圆的方程整理为标准方程为(x-a)2+y2=a2.
由题意得,圆心(a,0)到直线x-=a,又a>0,所以a=3.
6.C 由圆x2+y2=2,可得圆心为(0,0),半径为,
∴圆心到直线y=x+1的距离d=,
故弦长为2,故选C.
7.C 圆的方程可化为(x-1)2+(y+2)2=5-m,∴圆心为(1,-2).
设圆心到直线的距离为d,则d==0,因此弦长6就是直径2r,∴r=3.
∴r2=5-m=9?m=-4,故选C.
8.B 当弦长最短时,该弦所在直线与过点P(1,2)的直径垂直.已知圆心为(0,0),
所以过点P(1,2)的直径所在直线的斜率k=,
所以所求直线方程为y-2=-(x-1),即x+2y-5=0.
9.A 由22+42=20>4,得点P在圆外.
当过点P的切线斜率存在时,设所求切线的斜率为k,
则切线方程为y-4=k(x-2),即kx-y-2k+4=0,
∴.
故所求切线方程为3x-4y+10=0.
当过点P的切线斜率不存在时,方程为x=2,也满足条件.
故直线l的方程为3x-4y+10=0或x=2.故选A.
易错警示 切线的斜率存在时,设过点P的圆的切线斜率为k,写出点斜式方程再化为一般式.根据圆心到切线的距离等于圆的半径这一性质,由点到直线的距离公式列出含k的方程,由方程解得k,然后代回所设切线方程即可.切线斜率不存在时,直接验证直线方程是否满足条件即可.
本题要注意到点在圆外,所求切线有两条,特别注意当直线斜率不存在时的情况,不要漏解.
10.答案 x-y+4=0
解析 ∵(-1)2+()2=4,∴M点在圆x2+y2=4上,
因此k切·kOM=-1,即k切·,
∴k切=),
∴切线方程为y-y+4=0.
11.答案 2
解析 设切点为A,则PA⊥CA,从而|PC|2=|PA|2+|CA|2,
∴(-1-1)2+(-2-2)2=|PA|2+42,
解得|PA|=2,即切线长为2.
12.B 因为PQ的中点与圆心连成的线段垂直于PQ,所以kPQ=-,
所以直线PQ的方程是y-2=-(x-1),即x+2y-5=0,故选B.
13.答案 2
解析 如图,建立平面直角坐标系,
设初始水面在AB处,则由已知得A(6,-2),设圆C的半径长为r(r>0),则C(0,-r),故圆C的方程为x2+(y+r)2=r2,将A(6,-2)代入,得r=10,所以圆C的方程为x2+(y+10)2=100.①
当水面下降1
m到A'B'时,设A'(x0,-3)(x0>0).将A'(x0,-3)代入①式,得x0=
m.
14.答案 3-
解析 因为圆心到直线的距离d=,所以直线与圆相离,
所以圆上的点到直线的距离的最小值为d-.
15.解析 (1)易求得AB的中点为(1,0),且kAB=-1,
∴线段AB的中垂线方程为x-y-1=0.
由,
故圆C的标准方程为(x-1)2+y2=8.
(2)当∠MCN=90°时,圆心C到直线l的距离为2.
若直线l的斜率存在,则设直线l:y+1=k(x-3),即kx-y-3k-1=0,
∴圆心C(1,0)到直线l的距离d=,
∴直线l的方程为3x-4y-13=0.
若直线l的斜率不存在,则直线l的方程为x=3,符合题意.
综上所述,所求直线l的方程为x=3或3x-4y-13=0.
能力提升练
1.A 圆的方程可化为(x+2)2+y2=32,
∴圆心坐标为(-2,0),半径r=3.
令x=0,得y=±,
如图所示,设A(0,.
∵过M(-1,0)的直线与圆在第一象限内的部分有交点,∴02.D 曲线y=1+可化为x2+(y-1)2=4(y≥1),
∴y=1+表示以(0,1)为圆心,2为半径的圆的上半部分,
直线y=k(x-2)+4恒过定点(2,4),设为A,可得图象如图所示.
当直线y=k(x-2)+4为圆的切线时,可得圆心到直线的距离d=;
当直线y=k(x-2)+4过点B(-2,1)时,k=.
由图象可知,当y=k(x-2)+4与曲线有两个不同交点时,3.B 由(x-3)2+(y+5)2=r2,可得其圆心为(3,-5),设为M,
根据点到直线的距离公式可得M(3,-5)到直线4x-3y-2=0的距离d==5,
设与直线4x-3y-2=0的距离是1的直线为4x-3y+C=0.
根据平行线间距离公式可得1=,
解得C=-7或C=3,
∴与直线4x-3y-2=0的距离是1的直线有两条,分别是4x-3y-7=0和4x-3y+3=0.
又∵圆心M(3,-5)到直线4x-3y-7=0的距离为=4,
圆心M(3,-5)到直线4x-3y+3=0的距离为=6,
∴如果圆与直线4x-3y+3=0相交,那么圆也肯定与直线4x-3y-7=0相交,交点个数多于两个,于是圆上点到直线4x-3y-2=0的距离等于1的点不止两个,
∴圆与直线4x-3y+3=0不相交.
如果圆与直线4x-3y-7=0的距离小于或等于1,那么圆与直线4x-3y-7=0和直线4x-3y+3=0的交点个数和至多为1个,
∴圆只能与直线4x-3y-7=0相交,与直线4x-3y+3=0相离,
∴44.AC 圆心M(-cos
θ,sin
θ)到直线l的距离d=
=|sin(θ+φ)|,其中tan
φ=k.
∵d≤1,∴直线l与圆M有公共点,A正确;
当θ=0时,d=<1恒成立,即不存在k使得直线l和圆M相切,B错误;
不论k为何值,d=|sin(θ+φ)|=1有解,
即存在实数θ,使得直线l与圆M相切,C正确;
∵d≤1,且圆上任一点到直线l的距离不超过d+1,∴d+1≤2,D错误.
故选AC.
5.B 切线长的最小值是当直线y=x+1上的点与圆心距离最小时取得,
易知圆心(3,0)到直线的距离d=,故选B.
6.ACD 由点B(-1,3),点C(4,-2)可得线段BC的中点为=-1,
所以线段BC的垂直平分线的方程为y-,即x-y-1=0.
又圆M:(x-3)2+y2=r2的圆心为(3,0),直线x-y-1=0与圆M相切,
所以点(3,0)到直线x-y-1=0的距离为=r,所以圆M:(x-3)2+y2=2.
对于A、B,圆M的圆心(3,0)到直线x-y+3=0的距离d=,故A正确,B错误;
对于C,令z=x+,故C正确;
对于D,圆(x-a-1)2+(y-a)2=8的圆心为(a+1,a),半径为2≤≤2,即2≤(a-2)2+a2≤18,解得1-2≤a≤1+2,故D正确.故选ACD.
7.答案 x=2或4x+3y-17=0
解析 点(2,-3)关于x轴的对称点为(2,3),
当斜率存在时,设反射光线的斜率为k,则反射光线的方程为y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0,
因为反射光线与圆(x-3)2+y2=1相切,
所以圆心到反射光线的距离d=1,即,所以反射光线所在直线的方程为4x+3y-17=0;
当斜率不存在时,反射光线所在直线的方程为x=2,此时也与圆(x-3)2+y2=1相切.
故答案为x=2或4x+3y-17=0.
8.答案 4;(-)
解析 当直线y=x+b过圆心时,截得的弦长最大,因为圆(x-1)2+(y-1)2=4的半径为2,所以弦长的最大值为4.
要使该圆上到直线y=x+b的距离等于1的点有且仅有4个,
则圆心到直线的距离d=∈[0,1),所以b∈(-).
9.解析 (1)圆C的圆心坐标为C(3,4),半径R=2.
∵直线l'被圆C截得的弦长为2,∴由勾股定理得圆心C到直线l'的距离为1.
①当直线l'的斜率不存在时,l':x=2,显然满足;
②当直线l'的斜率存在时,设l':y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0,
由圆心C到直线l'的距离为1,得=1,解得k=0,故直线l'的方程为y=3.
综上所述,直线l'的方程为x=2或y=3.
(2)∵直线与圆相交,∴l的斜率一定存在且不为0,设直线l的方程为y=k(x-1),
即kx-y-k=0,
则圆心C到直线l的距离d=,
∴△CPQ的面积S=
=d,
当d=时,S取最大值,为2,
由d=,得k=1或k=7,
∴直线l的方程为x-y-1=0或7x-y-7=0.
10.A 圆的标准方程为(x+1)2+(y-2)2=4,故圆的半径为2.
因为直线2ax-by+2=0(a>0,b>0)被圆x2+y2+2x-4y+1=0截得的弦长为4,所以直线必定经过圆心(-1,2),所以-2a-2b+2=0,即a+b=1,所以≥2的最小值为9.
11.A 如图所示,连接PC.
∵=+,=+=-,
∴·=(+)·(-)
=||2-||2=||2-1.
设圆心C到直线x-y+1=0的距离为d,
则|,
∴(·)min=|-1=2-1=1,故选A.
12.D 如图所示,由题意得|PA|=|PB|,连接PC,∵|AC|=|BC|,∠PAC=∠PBC=90°,∴Rt△PAC≌Rt△PBC,
∴四边形PACB的面积为△PAC面积的两倍.
圆C的标准方程为x2+(y-1)2=1,圆心为C(0,1),半径r=1,
∵四边形PACB的最小面积是2,∴△PAC面积的最小值为1,
又S△PAC=|PA|·|AC|=|PA|≥1,
∴|PA|≥2,
由勾股定理得|PC|=≥,
当直线PC与直线kx+y+4=0(k>0)垂直时,|PC|取最小值,
即|PC|min=,整理得k2=4,
又k>0,∴k=2.
故选D.
13.答案 x2+y2=2
解析 设点P的坐标为(x,y),则|PO|=.
∵∠MPN=90°,∴四边形OMPN为正方形,∴|PO|=,
∴,即x2+y2=2.
14.解析 (1)根据题意画出图形,如图所示,
则圆的方程为x2+y2=1802,
设过点B(200,0)的直线方程为y=k(x-200),k<0,即kx-y-200k=0,k<0,
则圆心O(0,0)到直线的距离为=180,化简得19k2=81,
∴k=-(正值舍去),
∴tan(90°+α)=-,
∴tan
α=,
∴若轮船不被风暴影响,则角α的正切值的最大值为.
(2)若轮船航行方向为北偏西45°,则直线方程为x+y=200,
则圆心O到该直线的距离d=,
弦长为2,
则轮船被风暴影响持续的时间为
h.
15.解析 如图,建立平面直角坐标系,使A,B,O三点的坐标分别为A(4,0),B(0,3),O(0,0).
设△AOB的内切圆的半径为r,点P的坐标为(x,y).
则2r+|AB|=|OA|+|OB|,∴r=1,∴内切圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=1,
整理得x2+y2-2y=2x-1.①
又|PA|2+|PB|2+|PO|2=(x-4)2+y2+x2+(y-3)2+x2+y2=3x2+3y2-8x-6y+25,②
∴将①代入②,得|PA|2+|PB|2+|PO|2=3(2x-1)-8x+25=-2x+22.
∵P(x,y)是内切圆上的点,∴0≤x≤2,
∴|PA|2+|PB|2+|PO|2的最大值为22,最小值为18.
又以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和为π+π+π(|PA|2+|PB|2+|PO|2),
∴以|PA|,|PB|,|PO|为直径的三个圆的面积之和的最大值为π.
16.解析 (1)根据题意,可得圆心C(2,0),半径r=5,
①若直线l的斜率不存在,即l:x=-1,代入圆的方程(x-2)2+y2=25,可得y=±4,此时|AB|=8,符合题意;
②若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y-=k(x+1),即2kx-2y+3+2k=0.
设圆心C到直线l的距离为d,
因为|AB|=8,所以2=8,解得d=3,
所以d=,
所以直线l的方程为y-(x+1),即3x-4y+9=0.
综上所述,直线l的方程为x=-1或3x-4y+9=0.
(2)由点P是直线x+y+6=0上的点,设点P(m,-m-6),
根据切线的性质,可得DC⊥PD,
所以经过D,P,C三点的圆为以PC为直径的圆,
则圆的方程为(x-2)(x-m)+y(y+m+6)=0,
整理得(x2+y2-2x+6y)+m(y-x+2)=0,
令
解得
即经过D,P,C三点的圆必经过定点(2,0),(-2,-4).