2021-2022学年数学人教A版(2019)必修第一册第二章一元二次函数方程和不等式练习题

第二章一元二次函数方程和不等式测试题
一．选择题（共8小题）
1．已知1＜x＜6，1＜y＜4，则x﹣y的取值范围为（　　）
A．0＜x﹣y＜2
B．﹣3＜x﹣y＜7
C．﹣3＜x﹣y＜5
D．1＜x﹣y＜2
2．若a＜b＜0，则下列不等式正确的是（　　）
A．
B．ab＞a2
C．|a|＜|b|
D．2
3．设m＞1，P＝m，Q＝5，则P，Q的大小关系为（　　）
A．P＜Q
B．P＝Q
C．P≥Q
D．P≤Q
4．若0＜a＜b，则下列不等式成立的是（　　）
A．a＜b
B．ab
C．ab
D．ab
5．若不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，那么不等式a（x2+1）+b（x﹣1）+c＞2ax的解集为（　　）
A．{x|﹣2＜x＜1}
B．{x|x＜﹣2或x＞1}
C．{x|x＜0或x＞3}
D．{x|0＜x＜3}
6．若m＝2x2+1，n＝x2+2x，p＝﹣x﹣3，则（　　）
A．n≥m＞p
B．n＞m＞p
C．m≥p≥n
D．m≥n＞p
7．函数（x＞1）的最小值为（　　）
A．
B．
C．
D．5
8．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x（x∈N
）为二次函数关系（如图所示），则每辆客车营运（　　）年时，其营运的年平均利润最大．
A．3
B．4
C．5
D．6
二．多选题（共4小题）
9．若ac2＞bc2，则下列不等式中正确的是（　　）
A．a＞b
B．a2＞b2
C．a3＞b3
D．
10．已知正数a，b满足a+2b＝1，则（　　）
A．ab有最大值
B．有最小值8
C．有最小值4
D．a2+b2有最小值
11．若不等式m＜n与（m，n为实数）同时成立，则下列不等关系可能成立的是（　　）
A．m＜n＜0
B．0＜m＜n
C．m＜0＜n
D．mn＞0
12．已知不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|﹣1≤x≤2}，则（　　）
A．b＜0
B．a+b+c＞0
C．c＞0
D．a+b＝0
三．填空题（共4小题）
13．函数的最小值是
　
　．
14．已知a，b∈R，则5a2+b2+2
　
　4ab+2a．（用“＞”或“＜”填空）
15．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则的最小值是
　
　．
16．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a，b，c∈R）的解集为{x|3＜x＜4}，则的最小值是　
　．
四．解答题（共6小题）
17．已知0＜x＜1，则x（4﹣3x）取得最大值时x的值为多少？
18．已知关于x的不等式2kx2+kx0，k≠0．
（1）若k，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为R，求k的取值范围．
19．若不等式kx2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}．
（1）求k的值；
（2）解不等式2x2+（2﹣k）x﹣k＞0．
20．已知正数a、b满足．
（1）求a+b的最小值；
（2）求的最小值．
21．已知a＞1，b＞1，M．
（1）试比较M与N的大小，并证明；
（2）分别求M，N的最小值．
22．现有A，B，C，D四个盛满水的长方体容器，A，B的底面积均为a2，高分别为a，b，C，D的底面积均为b2，高分别为a，b（a≠b）．现规定一种游戏规则，每人一次从四个容器中取两个，盛水多者为胜，问先取者有无必胜的把握？若有的话，有几种方案？
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知1＜x＜6，1＜y＜4，则x﹣y的取值范围为（　　）
A．0＜x﹣y＜2
B．﹣3＜x﹣y＜7
C．﹣3＜x﹣y＜5
D．1＜x﹣y＜2
解：根据题意，1＜y＜4，则﹣4＜﹣y＜﹣1，
又由1＜x＜6，则﹣3＜x﹣y＜5，；
故选：C．
2．若a＜b＜0，则下列不等式正确的是（　　）
A．
B．ab＞a2
C．|a|＜|b|
D．2
解：A：∵a＜b＜0，∴0，故A不正确；
B：∵a＜b＜0，∴a＜0，∴a2＞ab，故B不正确；
C：∵a＜b＜0，∴|a|＞|b|，故C不正确；
D：∵a＜b＜0，∴0，0，则22，当且仅当a＝b时取等号，
∵a≠b，故则2，故D正确．
故选：D．
3．设m＞1，P＝m，Q＝5，则P，Q的大小关系为（　　）
A．P＜Q
B．P＝Q
C．P≥Q
D．P≤Q
解：P﹣Q＝m5，
因为m＞1，所以（m﹣3）?≥0，m﹣1＞0，
所以0，所以P≥Q．
故选：C．
4．若0＜a＜b，则下列不等式成立的是（　　）
A．a＜b
B．ab
C．ab
D．ab
解：根据0＜a＜b，取a＝1，b＝2，
则可排除ACD．
故选：B．
5．若不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，那么不等式a（x2+1）+b（x﹣1）+c＞2ax的解集为（　　）
A．{x|﹣2＜x＜1}
B．{x|x＜﹣2或x＞1}
C．{x|x＜0或x＞3}
D．{x|0＜x＜3}
解：因为不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|﹣1＜x＜2}，
所以﹣1和2是方程ax2+bx+c＝0的两个根，且a＜0，
所以，
解得b＝﹣a，c＝﹣2a，
所以不等式a（x2+1）+b（x﹣1）+c＞2ax化为a（x2+1）﹣a（x﹣1）﹣2a＞2ax，
由a＜0，可整理得x2﹣3x＜0，
解得0＜x＜3，
所以不等式的解集为{x|0＜x＜3}．
故选：D．
6．若m＝2x2+1，n＝x2+2x，p＝﹣x﹣3，则（　　）
A．n≥m＞p
B．n＞m＞p
C．m≥p≥n
D．m≥n＞p
解：由m﹣n＝2x2+1﹣（x2+2x）＝x2﹣2x+1＝（x﹣1）2≥0，得m≥n，
又n﹣p＝x2+2x﹣（﹣x﹣3）＝x2+3x+3＝（x）20，得n＞p，
所以m≥n＞p．
故选：D．
7．函数（x＞1）的最小值为（　　）
A．
B．
C．
D．5
解：设x﹣1＝t，则x＝t+1，（t＞0），
∴t3≥23，
当且仅当t时取等号，
∴函数f（x）的最小值为23，
故选：B．
8．某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x（x∈N
）为二次函数关系（如图所示），则每辆客车营运（　　）年时，其营运的年平均利润最大．
A．3
B．4
C．5
D．6
解：由图可知，抛物线顶点为（6，11）且过点（4，7），设二次函数解析式为y＝a（x﹣6）2+11，
把点（4，7）代入得：7＝a?（4﹣6）2+11，解得：a＝﹣1，∴二次函数解析式为y＝﹣（x﹣6）2+11，
即y＝﹣x2+12x﹣25，∴（x）+12≤﹣212＝2，当且仅当x＝5时，取得最大值2，．
故选：C．
二．多选题（共4小题）
9．若ac2＞bc2，则下列不等式中正确的是（　　）
A．a＞b
B．a2＞b2
C．a3＞b3
D．
解：∵ac2＞bc2，
∴ac2﹣bc2＝（a﹣b）c2＞0，
又∵c2≠0，且c2＞0，
∴a﹣b＞0，故A选项正确，
当a＝2，b＝﹣3时，满足a＞b，但a2＜b2，，故B，D选项错误，
设f（x）＝x3，求导可得f'（x）＝3x2≥0，故f（x）在R上单调递增，
当a＞b时，a3＞b3，故C选项正确．
故选：AC．
10．已知正数a，b满足a+2b＝1，则（　　）
A．ab有最大值
B．有最小值8
C．有最小值4
D．a2+b2有最小值
解：根据题意，依次分析选项：
对于A，，当且仅当，时取等号，则A正确；
对于B，，当且仅当时取等号，B错误；
对于C，，当且仅当时取等号，则C正确；
对于D，，故最小值为，则D正确；
故选：ACD．
11．若不等式m＜n与（m，n为实数）同时成立，则下列不等关系可能成立的是（　　）
A．m＜n＜0
B．0＜m＜n
C．m＜0＜n
D．mn＞0
解：由，可得0，
又∵m＜n，∴n﹣m＞0，
∴m?n＞0，即m，n同号，
∴m＜n＜0或0＜m＜n，
故选：ABD．
12．已知不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|﹣1≤x≤2}，则（　　）
A．b＜0
B．a+b+c＞0
C．c＞0
D．a+b＝0
解：不等式ax2+bx+c≥0的解集是{x|﹣1≤x≤2}，
所以a＜0且，
解得b＝﹣a，c＝﹣2a；
所以a+b＝0，选项D正确；
设二次函数f（x）＝ax2+bx+c，且a＜0，
且函数的零点是﹣1和2，所以f（1）＝a+b+c＞0，选项B正确；
因为c＝﹣2a＞0，所以选项C正确；
因为b＝﹣a＞0，所以选项A错误．
故选：BCD．
三．填空题（共4小题）
13．函数的最小值是
　　．
解；由x＞0，得f（x）＝9x23，当且仅当9x，即x时等号成立，
所以函数f（x）＝9x（x＞0）的最小值为3．
故答案为：3．
14．已知a，b∈R，则5a2+b2+2
　　4ab+2a．（用“＞”或“＜”填空）
解：因为5a2+b2+2﹣4ab﹣2a＝（2a﹣b）2+（a﹣1）2+1，
又（2a﹣b）2≥0，（a﹣1）2≥0，所以5a2+b2+2﹣4ab﹣2a＞0，
所以5a2+b2+2＞4ab+2a．
故答案为：＞．
15．已知x＞0，y＞0，且x+2y＝2，则的最小值是
　　．
解：由x+2y＝2，得y＝1，又x＞0，y＞0，
所以（y）（）＝11+22，
当且仅当，即x＝1，y时等号成立，
所以的最小值为2．
故答案为：2．
16．已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a，b，c∈R）的解集为{x|3＜x＜4}，则的最小值是　　．
解：关于x的不等式ax2+bx+c＞0（a，b，c∈R）的解集为{x|3＜x＜4}，
所以a＜0，且3和4是关于x的方程ax2+bx+c＝0的两实数根，
由根与系数的关系知，，
解得b＝﹣7a，c＝12a，
所以24a24，
故答案为：4
四．解答题（共6小题）
17．已知0＜x＜1，则x（4﹣3x）取得最大值时x的值为多少？
解：∵0＜x＜1，
∴4﹣3x＞0，
∴x（4﹣3x）?3x（4﹣3x）（）2，
当且仅当3x＝4﹣3x时，即x时取等号，
故x（4﹣3x）取得最大值时x的值为．
18．已知关于x的不等式2kx2+kx0，k≠0．
（1）若k，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为R，求k的取值范围．
解：（1）因为，关于x的不等化为，即2x2+x﹣3＜0，解集为，
（2）∵关于x的不等式的解集为R，
∵k≠0，∴，解得﹣3＜k＜0，
综上，故k的取值范围为（﹣3，0）．
19．若不等式kx2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}．
（1）求k的值；
（2）解不等式2x2+（2﹣k）x﹣k＞0．
解：（1）不等式kx2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}，
所以﹣3和1是方程kx2﹣4x+6＝0的两实数根，
所以k﹣4+6＝0，
解得k＝﹣2；
（2）由（1）知，不等式2x2+（2﹣k）x﹣k＞0可化为2x2+4x+2＞0，
即x2+2x+1＞0，解得x≠﹣1，
所以该不等式的解集为{x|x≠﹣1}．
20．已知正数a、b满足．
（1）求a+b的最小值；
（2）求的最小值．
解：（1）因为a、b是正数，
所以，当且仅当a＝b＝2时等号成立，故a+b的最小值为4．
（2）因为a＞1，b＞1，所以a﹣1＞0，b﹣1＞0，
则，
当且仅当、时等号成立，故的最小值为25．
21．已知a＞1，b＞1，M．
（1）试比较M与N的大小，并证明；
（2）分别求M，N的最小值．
解：（1）M≤N，
证明：∵，
∵a＞1，b＞1，
∴a+b＞0，a﹣1＞0，b﹣1＞0，（a﹣b）2≥0，
∴，∴M≤N；
（2），当a＝b＝2时取等号，
又根据（1）N≥M，
∴M，N的最小值都是8．
22．现有A，B，C，D四个盛满水的长方体容器，A，B的底面积均为a2，高分别为a，b，C，D的底面积均为b2，高分别为a，b（a≠b）．现规定一种游戏规则，每人一次从四个容器中取两个，盛水多者为胜，问先取者有无必胜的把握？若有的话，有几种方案？
解：（1）若先取A、B，后者只能取C、D，
因为（a3+a2b）﹣（ab2+b3）＝a2（a+b）﹣b2（a+b）＝（a+b）2（a﹣b），
显然（a+b）2＞0，而a，b的大小不定，所以（a+b）2（a﹣b）正负不确定，
所以这种取法没有必胜的把握；
（2）若先取A、C，后者只能取B、D，
因为（a3+b2a）﹣（ba2+b3）＝a（a2+b2）﹣b（a2+b2）＝（a2+b2）（a﹣b），
显然a2+b2＞0，而a，b的大小不定，所以（a2+b2）（a﹣b）正负不确定，
所以这种取法没有必胜的把握；
（3）若先取A、D，后者只能取B、C，
因为（a3+b3）﹣（a2b+ab2）＝（a+b）（a2﹣ab+b2）﹣ab（a+b）＝（a+b）（a﹣b）2，
又a≠b，a＞0，b＞0，所以（a+b）（a﹣b）2＞0，即a3+b3＞a2b+ab2，
故先取A、D是唯一必胜的方案．