《2.6 应用一元二次方程》同步练习 2021-2022学年北师大版九年级数学上册（Word版含答案）

2.6
应用一元二次方程
一、选择题
1.参加一次足球联赛的每两个队之间都进行两场比赛，共要比赛110场，共有（　　）个队参加比赛？
A．8
B．9
C．10
D．11
2某种药品原价为64元/盒，经过连续两次降价后售价为49元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（　　）
A．64（1﹣x）2＝64﹣49
B．64（1﹣2x）＝49
C．64（1﹣x）2＝49
D．64（1﹣x2）＝49
3直角三角形两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长是（　　）
A．
B．5
C．
D．7
4一种药品，原来的售价每件200元，连续两次降价后，现在每件售价162元，若每次降价的百分率相同，则平均每次降价（　　）
A．8%
B．10%
C．15%
D．20%
5某果园第1年水果产量为100吨，第3年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（　　）
A．144（1﹣x）2＝100
B．100（1﹣x）2＝144
C．144（1+x）2＝100
D．100（1+x）2＝144
6某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程正确的是（　　）
A．200（1+a%）2＝128
B．200（1﹣a%）2＝128
C．200（1﹣2a%）2＝128
D．200（1﹣a2%）＝128
7某学校准备修建一个面积为20m2的矩形花圃，它的长比宽多10m．设花圃的宽为xm，则可列方程为（　　）
A．x（x﹣10）＝20
B．2x+2（x﹣10）＝20
C．x（x+10）＝20
D．2x+2（x+10）＝20
8如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（　　）
A．7m
B．8m
C．9m
D．10m
9某药品原价每盒25元，经过两次连续降价后，售价每盒16元．则该药品平均每次降价的百分数是　
　．
10要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，计划安排28场比赛．求参加邀请赛的球队数．若设共有x个球队参加此次邀请赛，则根据题意可列方程为　
　．
二、填空题
11溱湖风景区绿化管理处，为绿化环境，计划经过两年时间，使风景区绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是　
　%．
12某种药品原价每盒60元，由于医疗政策改革，价格经过两次下调后现在售价每盒48.6元，则平均每次下调的百分率为　　．
13为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为81元，设平均每次降价的百分率为x，则根据题意可列方程为　
　．
14如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为　
　．
15如图，从一块矩形铁片中间截去一个小矩形，使剩下部分四周的宽度都等于x，且小矩形的面积是原来矩形面积的一半，则x的值为　　．
16某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价　　元．
17小明家有一块长8m，宽6m的矩形空地，现准备在该空地上建造一个十字花园（图中阴影部分），并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如图的方案，则图中的x值为　
　．
三、解答题
18江华为创建文明城市，2020年投入城市绿化资金2000万元，2022年投入2420万元，设每年投入资金的平均增长率相同．
（1）请求出投入资金的年平均增长率．
（2）若增长率保持不变，预计2023年将投入多少万元？
19某商场从厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每件的售价为a元，则可卖出（350﹣10a）件，商场计划要赚450元，则每件商品的售价为多少元？
20为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵，已知这些学生在初一时种了400棵，若平均成活率95%，求这个年级两年来植树数的年平均增长率．（只列式不计算）
21某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率．
22某超市销售一种品牌童装，平均每天可售出30件，每件盈利40元．面对2008年下半年全球的金融危机，超市采用降价措施，每件童装每降价2元，平均每天就多售出6件．要使平均每天销售童装利润为1000元，那么每件童装应降价多少元？（列方程，并化为一般形式）．
23某农场计划修建一条横断面为等腰梯形的渠道，横断面面积为1.53m2．上口宽比渠底宽多1.4m，渠深比渠底宽少0.1m．设渠底宽为xm
（1）写出关于x的方程；
（2）将所列方程整理成二次项系数是1的一般形式，并指出此时一次项系数和常数项．
24某一皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店若想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？
（1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整：
小明：设每件皮衣降价x元，由题意，可列方程：　　．
小红：设每件皮衣定价为y元，由题意，可列方程：　　．
（2）请写出一种完整的解答过程．
2.6
应用一元二次方程
一、选择题
1.参加一次足球联赛的每两个队之间都进行两场比赛，共要比赛110场，共有（　　）个队参加比赛？
A．8
B．9
C．10
D．11
【考点】一元二次方程的应用．
【答案】D
【分析】每个队都要与其余队比赛一场，2队之间要赛2场．等量关系为：队的个数×（队的个数﹣1）＝110，把相关数值代入计算即可．
【解答】解：设有x队参加比赛．
x（x﹣1）＝110，
（x﹣11）（x+10）＝0，
解得x＝11，x＝﹣10（不合题意，舍去）．
故选：D．
2某种药品原价为64元/盒，经过连续两次降价后售价为49元/盒．设平均每次降价的百分率为x，根据题意所列方程正确的是（　　）
A．64（1﹣x）2＝64﹣49
B．64（1﹣2x）＝49
C．64（1﹣x）2＝49
D．64（1﹣x2）＝49
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【答案】C
【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）＝49，把相应数值代入即可求解．
【解答】解：第一次降价后的价格为64×（1﹣x），两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为64×（1﹣x）×（1﹣x），
则列出的方程是64（1﹣x）2＝49．
故选：C．
3直角三角形两条直角边的和为7，面积是6，则斜边长是（　　）
A．
B．5
C．
D．7
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【答案】B
【分析】设其中一条直角边的长为x，则另一条直角边的长为（7﹣x），根据三角形的面积为x建立方程就可以求出两直角边，由勾股定理就可以求出斜边．
【解答】解：设其中一条直角边的长为x，则另一条直角边的长为（7﹣x），由题意，得
x（7﹣x）＝6，
解得：x1＝3．，x2＝4，
由勾股定理，得
斜边为：＝5．
故选：B．
4一种药品，原来的售价每件200元，连续两次降价后，现在每件售价162元，若每次降价的百分率相同，则平均每次降价（　　）
A．8%
B．10%
C．15%
D．20%
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】B
【分析】根据“原来的售价每件200元，连续两次降价后，现在每件售价162元，若每次降价的百分率相同”得到数量关系是：药品原来价格×（1﹣每次降价的百分率）2＝现在价格，设出未知数，列方程解答即可．
【解答】解：设这种衬衫平均每次降价的百分率为x，根据题意列方程得，
200×（1﹣x）2＝162，
解得x1＝0.1，x2＝﹣1.9（不合题意，舍去）；
答：这种衬衫平均每次降价的百分率为10%．
故选：B．
5某果园第1年水果产量为100吨，第3年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（　　）
A．144（1﹣x）2＝100
B．100（1﹣x）2＝144
C．144（1+x）2＝100
D．100（1+x）2＝144
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【答案】D
【分析】第3年的产量＝第1年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【解答】解：第2年的产量为100（1+x），
第3年的产量为100（1+x）（1+x）＝100（1+x）2，
即所列的方程为100（1+x）2＝144，
故选：D．
6某商品原价200元，连续两次降价a%后售价为128元，下列所列方程正确的是（　　）
A．200（1+a%）2＝128
B．200（1﹣a%）2＝128
C．200（1﹣2a%）2＝128
D．200（1﹣a2%）＝128
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【答案】B
【分析】根据原价及经两次降价后的价格，即可得出关于a的一元二次方程，此题得解．
【解答】解：根据题意得：200（1﹣a%）2＝128．
故选：B．
7某学校准备修建一个面积为20m2的矩形花圃，它的长比宽多10m．设花圃的宽为xm，则可列方程为（　　）
A．x（x﹣10）＝20
B．2x+2（x﹣10）＝20
C．x（x+10）＝20
D．2x+2（x+10）＝20
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】几何图形问题．
【答案】C
【分析】根据花圃的面积为20列出方程即可．
【解答】解：∵花圃的长比宽多10米，花圃的宽为x米，
∴长为（x+10）米，
∵花圃的面积为20，
∴可列方程为x（x+10）＝20．
故选：C．
8如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（　　）
A．7m
B．8m
C．9m
D．10m
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【答案】A
【分析】本题可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣2）m，宽为（x﹣3）m．根据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长．
【解答】解：设原正方形的边长为xm，依题意有
（x﹣3）（x﹣2）＝20，
解得：x1＝7，x2＝﹣2（不合题意，舍去）
即：原正方形的边长7m．
故选：A．
9某药品原价每盒25元，经过两次连续降价后，售价每盒16元．则该药品平均每次降价的百分数是　
　．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】设该药品平均每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是25（1﹣x），第二次后的价格是25（1﹣x）2，据此即可列方程求解．
【解答】解：设该药品平均每次降价的百分率为x，
由题意可知经过连续两次降价，现在售价每盒16元，
故25（1﹣x）2＝16，
解得x＝0.2或1.8（不合题意，舍去），
故该药品平均每次降价的百分率为20%．
故答案为：20%．
10要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，计划安排28场比赛．求参加邀请赛的球队数．若设共有x个球队参加此次邀请赛，则根据题意可列方程为　
　．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】设比赛组织者应邀请x队参赛，则每个队参加（x﹣1）场比赛，则共有x（x﹣1）场比赛，可以列出一个一元二次方程．
【解答】解：设比赛组织者应邀请x队参赛，
则由题意可列方程为：x（x﹣1）＝28．
故答案为：x（x﹣1）＝28；
二、填空题
11溱湖风景区绿化管理处，为绿化环境，计划经过两年时间，使风景区绿地面积增加44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是　
　%．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】设两年平均每年绿地面积的增长率是x，原来的景区绿地面积为1，那么经过第一年景区绿地面积为（1+x），再过一年景区绿地面积为（1+x）（1+x），然后根据风景区绿地面积增加44%，即可列出方程解决问题．
【解答】解：设两年平均每年绿地面积的增长率是x，
依题意得（1+x）2＝1+44%，
∴1+x＝±1.2，
∴x＝0.2＝20%或x＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：这两年平均每年绿地面积的增长率是20%．
故填空答案：20%．
12某种药品原价每盒60元，由于医疗政策改革，价格经过两次下调后现在售价每盒48.6元，则平均每次下调的百分率为　　．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】设平均每次降价的百分比是x，则第一次降价后的价格为60×（1﹣x）元，第二次降价后的价格在第一次降价后的价格的基础上降低的，为60×（1﹣x）×（1﹣x）元，从而列出方程，然后求解即可．
【解答】解：设平均每次降价的百分比是x，根据题意得：
60（1﹣x）2＝48.6，
解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去），
答：平均每次降价的百分比是10%；
故答案为：10%．
13为解决群众看病贵的问题，有关部门决定降低药价，对某种原价为100元的药品进行连续两次降价后为81元，设平均每次降价的百分率为x，则根据题意可列方程为　
　．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】设平均每次的降价率为x，则经过两次降价后的价格是100（1﹣x）2，根据关键语句“连续两次降价后为81元，”可得方程100（1﹣x）2＝81．
【解答】解：由题意得：100（1﹣x）2＝81，
故答案为：100（1﹣x）2＝81．
14如图，在一块长为22米、宽为17米的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路各与矩形的一条边平行），剩余部分种上草坪，使草坪面积为300平方米．若设道路宽为x米，则根据题意可列出方程为　
　．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】几何图形问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】把所修的两条道路分别平移到矩形的最上边和最左边，则剩下的草坪是一个长方形，根据长方形的面积公式列方程．
【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意有
（22﹣x）（17﹣x）＝300，
故答案为：（22﹣x）（17﹣x）＝300．
15如图，从一块矩形铁片中间截去一个小矩形，使剩下部分四周的宽度都等于x，且小矩形的面积是原来矩形面积的一半，则x的值为　　．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】本题中小长方形的长为（80﹣2x）cm，宽为（60﹣2x）cm，根据“小长方形的面积是原来长方形面积的一半”可列出方程（80﹣2x）（60﹣2x）＝×80×60，解方程从而求解．
【解答】解：因为小长方形的长为（80﹣2x）cm，宽为（60﹣2x）cm，则其面积为（80﹣2x）（60﹣2x）cm2
根据题意得：（80﹣2x）（60﹣2x）＝×80×60
整理得：x2﹣70x+600＝0
解之得：x1＝10，x2＝60
因x＝60不合题意，应舍去
所以x＝10．
故答案是：10．
16某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价　　元．
【考点】一元二次方程的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用衬衣平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种衬衣利润列出方程解答即可．
【解答】解：设每件衬衫应降价x元．
根据题意，得
（40﹣x）（20+2x）＝1200
整理，得x2﹣30x+200＝0
解得x1＝10，x2＝20．
∵“扩大销售量，减少库存”，
∴x1＝10应略去，
∴x＝20．
故答案为：20．
17小明家有一块长8m，宽6m的矩形空地，现准备在该空地上建造一个十字花园（图中阴影部分），并使花园面积为空地面积的一半，小明设计了如图的方案，则图中的x值为　
　．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】几何图形问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据题意知，花园面积与剩余空地面积都是24m2，所以可根据这两部分的面积表达式分别列方程求解．
【解答】解：据题意，得（8﹣x）（6﹣x）＝×8×6．
解得x1＝12，x2＝2．
x1不合题意，舍去．
∴x＝2．
故答案为：2．
三、解答题
18江华为创建文明城市，2020年投入城市绿化资金2000万元，2022年投入2420万元，设每年投入资金的平均增长率相同．
（1）请求出投入资金的年平均增长率．
（2）若增长率保持不变，预计2023年将投入多少万元？
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】（1）入资金的年平均增长率为10%．
（2）2023年需投入资金2662万元．
【分析】（1）根据题意得到关系式为：2020年绿化工程投入的资金×（1+年平均增长率）2＝2022年绿化工程投入的资金，把相关数值代入求得合适的解即可；
（2）根据2023年绿化资金＝2022年绿化资金×（1+年平均增长率），把相关数值代入计算即可．
【解答】解：（1）设该市对绿化工程投入资金的年平均增长率为x，
根据题意得，2000（1+x）2＝2420，
得x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（舍去），
答：投入资金的年平均增长率为10%．
（2）预计2023年投入资金：2420（1+10%）＝2662（万元）．
答：2023年需投入资金2662万元．
19某商场从厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每件的售价为a元，则可卖出（350﹣10a）件，商场计划要赚450元，则每件商品的售价为多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【答案】见试题解答内容
【分析】由销售问题的数量关系：总利润＝单件利润×数量建立方程求出其解即可．
【解答】解：依题意有
（a﹣21）（350﹣10a）＝450，
a2﹣56a+780＝0，
a1＝26，a2＝30．
答：每件商品的售价为26元或30元．
20为了绿化学校附近的荒山，某校初三年级学生连续三年春季上山植树，至今已成活了2000棵，已知这些学生在初一时种了400棵，若平均成活率95%，求这个年级两年来植树数的年平均增长率．（只列式不计算）
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【答案】见试题解答内容
【分析】设这个年级两年来植树数的年平均增长率为x，由题意可知三年来这些学生共植树：400+400（1+x）+400（1+x）2棵，已知成活率为：95%，所以成活了95%[400+400（1+x）+400（1+x）2]棵，又知成活了2000棵，令成活的棵数相等列出方程即可．
【解答】解：设这个年级两年来植树数的年平均增长率为x，
由题意得：初二时植树数为：400（1+x），
那么这些学生在初三时的植树数为：400（1+x）2，由题意得：
95%[400+400（1+x）+400（1+x）2]＝2000．
21某公司今年销售一种产品，1月份获得利润20万元，由于产品畅销，利润逐月增加，3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元，假设该产品利润每月的增长率相同，求这个增长率．
【考点】一元二次方程的应用．
【专题】增长率问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】设每月获得的利润的增长率是x，然后用x分别表示出2月份和3月份，根据“3月份的利润比2月份的利润增加4.8万元”列方程求解．
【解答】解：设这个增长率为x．
依题意得：20（1+x）2﹣20（1+x）＝4.8，
解得
x1＝0.2＝20%，x2＝﹣1.2（不合题意，舍去）．
答：这个增长率是20%．
22某超市销售一种品牌童装，平均每天可售出30件，每件盈利40元．面对2008年下半年全球的金融危机，超市采用降价措施，每件童装每降价2元，平均每天就多售出6件．要使平均每天销售童装利润为1000元，那么每件童装应降价多少元？（列方程，并化为一般形式）．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】销售问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】每件童装降x元，每天多销售3x件，每件利润为（40﹣x）元，再根据平均每天销售童装利润为1000元，即销量×每件的利润＝1000元，即可列出方程．
【解答】解：每降价2元，多销售6件，
设降价x元，则多销售3x件；
降价后销售件数为（30+3x）件，每件利润为（40﹣x）元．
则有（30+3x）（40﹣x）＝1000，
整理得3x2﹣90x﹣200＝0．
23某农场计划修建一条横断面为等腰梯形的渠道，横断面面积为1.53m2．上口宽比渠底宽多1.4m，渠深比渠底宽少0.1m．设渠底宽为xm
（1）写出关于x的方程；
（2）将所列方程整理成二次项系数是1的一般形式，并指出此时一次项系数和常数项．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】几何图形问题．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）本题可先设出下口宽，然后表示出上口宽，根据梯形的面积＝（上底+下底）×高÷2，来列方程；
（2）通过去括号，移项，以及合并同类项将所列方程整理成二次项系数是1的一般形式，并指出此时一次项系数和常数项．
【解答】解：（1）依题意得：（1.4+x+x）（x﹣0.1）＝1.53．
（2）由（1）知，（1.4+x+x）（x﹣0.1）＝1.53，即x2+0.6x﹣1.6＝0．
所以此时一次项系数为0.6，常数项是﹣1.6．
24某一皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店若想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？
（1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整：
小明：设每件皮衣降价x元，由题意，可列方程：　　．
小红：设每件皮衣定价为y元，由题意，可列方程：　　．
（2）请写出一种完整的解答过程．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】一元二次方程及应用；应用意识．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据总利润＝每件皮衣的利润×销售数量，即可得出关于x（y）的一元二次方程；
（2）选择小明（小红）的设法，解方程即可求出结论．
【解答】解：（1）小明：设每件皮衣降价x元，则平均每天的销售量为（30+x÷50×10）件，
依题意，得：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；
小红：设每件皮衣定价为y元，则平均每天的销售量为（30+×10）件，
依题意，得：（y﹣750）（30+）＝12000．
故答案为：（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000；（y﹣750）（30+）＝12000．
（2）选择小明的的设法，则（1100﹣x﹣750）（30+x÷50×10）＝12000，
整理，得：x2﹣200x+7500＝0，
解得：x1＝50，x2＝150，
∴1100﹣x＝1050或950．
答：每件皮衣定价为1050元或950元．
选择小红的设法，则（y﹣750）（30+）＝12000，
整理，得：y2﹣2000y+997500＝0，
解得：y1＝1050，y2＝950．
答：每件皮衣定价为1050元或950元．