第六部分 中考专题复习
第26课时 探索问题研究
卢氏县育才中学 王长周
课标要求：
1、探索问题是培养学生的创新精神和实践能力的新题型，旨在开阔学生的视野，启发学生的发散思维能力和创新探索能力。
2、通过具体问题使学生能够利用已有知识，寻求问题的解决方法，培养解决综合问题能力。
复习重点：条件探索和结论探索问题。
归纳结构：
小题热身：
1、要使□ABCD为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是 。
2、请写出一个开口向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式为 。
探索问题主要包括条件探索和结论探索问题。
条件探索问题是指所给问题的结论明确，需要完备条件的题目。
结论探索问题是指所给问题的结论不确定，不唯一，或题目的结论需要类比，引申推广，或题目中给出特例，要通过归纳总结出一般结论。
考点热点：探索型问题在近几年中考试题中出现很多，包括填空、选择，解答等各种题型，所占分值在10分左右。
典例示范：
1、（2006年河南省高级中学中等学校招生学业考试试卷22题）（10分）如图△ABC中，∠ACB=90度，AC=2，BC=3．D是BC边上一点，直线DE⊥BC于D，交AB于点E，CF//AB交直线DE于F．设CD=x．
当x取何值时，四边形EACF是菱形？请说明理由；
当x取何值时，四边形EACD的面积等于2 ？
2、（山西省2007年高级中等教育学校招生统一考试第25题）(本题12分)如图，在正方形ABCD中，E是CD边的中点，AC与BE相交于点F，连接DF．
(1)在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形；
(2)连接AE，试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论；
(3)延长DF交BC于点M，试判断BM与MC的数量关系．(直接写出结论)
解：(1)△ADE≌△ABC，△ADF≌△ABF，△CDF≌△CBF
(2)AE⊥DF
证法①：设AE与DF相交于点H
∵四边形ABCD是正方形 ∴AD＝AB，∠DAF＝∠BAF
又∵AF＝AF ∴△ADF≌△ABF
∴∠1＝∠2 又∵AD＝BC，∠ADE＝∠BCE＝90°，DE＝CE
∴△ADE≌△BCE ∴∠3＝∠4
∵∠2＋∠4＝90° ∴∠1＋∠3＝90°
∴∠AHD＝90° ∴AE⊥DF
证法②：设AE与DF相交于点H
∵四边形ABCD是正方形 ∴DC＝BC，∠DCF＝∠BCF
又∵CF＝CF ∴△DCF≌△BCF
∴∠4＝∠5 又∵AD＝BC，∠ADE＝∠BCE＝90°，DE＝CE
∴△ADE≌△BCE ∴∠6＝∠7
∵∠4＋∠6＝90° ∴∠5＋∠7＝90°
∴∠EHD＝90° ∴AE⊥DF
证法③：同“证法①”得△ADE≌△CBF
∴EA＝EB ∴∠EAB＝∠2
∴∠EAB＝∠1 ∵∠EAB＋∠3＝90°
∴∠1＋∠3＝90° ∴∠AHD＝90°
∴AE⊥DF
(3)BM＝MC
总结通法：
解决条件探索问题的基本思路是从问题的结论出发，逆向追索，即“执果索因”。结论探索问题常常需要充分利用条件，通过观察，比较、联想等对题目进行大胆而合理的猜想，再通过推理从而发现规律，得出结论。同时注意分类讨论思想和方程思想的综合应用。
变式训练：
24．（2007年山西省高级中学中等学校招生学业考试试卷本题7分）如图，在与中，，相交于点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点相交于点．
（1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线）
（2）证明四边形是菱形；
（3）若使四边形是正方形，还需在的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件．（不必证明）
解：（1）． 1分
，
． 3分
（2），四边形是平行四边形． 4分
，． 5分
平行四边形是菱形． 6分
（3）需要添加的条件是． 7分
2、（2004年河南省高级中学中等学校招生学业考试试卷25题）某市近年来经济发展速度很快，根据统计：该市国内生产总值1990年为8.6亿元人民币，1995年为10.4亿元人民币，2000年为12.9亿元人民币。
经论证，上述数据适合一个二次函数关系。请你根据这个函数关系，预测2005年该市国内生产总值将达到多少？
解：
反馈测试：
1、（2007年河南省高级中学中等学校招生学业考试试卷20题）(9分)如图，ABCD是边长为1的正方形，其中、、的圆心依次
是A、B、C．
（1）求点D沿三条圆弧运动到点G所经过的路线长；
（2）判断直线GB与DF的位置关系，并说明理由．
2、（武汉市2006年课改实验区初中毕业生学业考试数学试卷24题）（本题10分）已知：将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如图①摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点。将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H。
（1）当α＝30°时(如图②)，求证：AG=DH；
（2）当α＝60°时(如图③)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；
（3）当0°＜α＜90°时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图④说明理由。
3、（2007年湖北黄冈课改实验区初中毕业生学业考试数学试卷23题）（本题满分15分）已知：如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是菱形，且∠AOC=60°，点B的坐标是，点P从点C开始以每秒1个单位长度的速度在线段CB上向点B移动，设秒后，直线PQ交OB于点D.
（1）求∠AOB的度数及线段OA的长；
（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（3）当时，求t的值及此时直线PQ的解析式；
（4）当a为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与相似？当a 为何值时，以O，P，Q，D为顶点的三角形与不相似？请给出你的结论，并加以证明.
反馈测试参考答案：
1、解：（1）∵AD = 1，∠DAE = 90o，
∴的长，
同理，的长，
的长，
所以，点D运动到点G所经过的路线长．
（2）直线GB⊥DF．
理由如下：延长GB交DF于H．
∵CD = CB，∠DCF = ∠BCG，CF = CG，
∴△FDC≌△GBC．
∴∠F =∠G．
又∵∠F + ∠FDC = 90o，
∴∠G + ∠FDC = 90o，
即∠GHD = 90o，故 GB⊥DF．
2、解
3、点评：本题考察了二次函数，一次函数解析式的求法，是一个典型的动点问题，作为压轴题出现，综合性强，难度较大，并运用了分类讨论思想。
解：
（1）∵四边形ABCD是菱形，∠AOC=60°，∴∠AOB=30°。
（如图）连接AC交OB于点M，
