2021—2022学年人教版数学八年级上册12.2.4三角形全等的判定（HL）课件（30张ppt）

(共30张PPT)
12.2.4
全等三角形的判定（HL）
八年级上册
整理你所学过的判定三角形全等的方法；
1
2
3
探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”类；
会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个直角三角形全等.
本节目标
复习回顾
如图，AB⊥BE于C，DE⊥BE于E，
（1）若∠A=∠D，AB=DE，则△ABC与△DEF
,
（填“全等”或“不全等”
），根据
（用简写法）；
若∠A=∠D，BC=EF，则△ABC与△DEF
,
（填“全等”或“不全等”
），根据
（用简写法）；
若AB=DE，BC=EF，则△ABC与△DEF
,
（填“全等”或“不全等”
），根据
（用简写法）
全等
ASA
全等
AAS
全等
SAS
如图，Rt△ABC中，∠C
=90°，直角边是_____、_____，斜边是______.
C
B
A
AC
BC
AB
思考：
前面学过的四种判定三角形全等的方法,对直角三角形是否适用？
情境思考
A
B
C
A′
B′
C′
1.两个直角三角形中，斜边和一个锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
2.两个直角三角形中，有一条直角边和一锐角对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
3.两个直角三角形中，两直角边对应相等，这两个直角三角形全等吗？为什么？
口答：
情境思考
动脑想一想
如图，已知AC=DF，BC=EF，
∠B=∠E，△ABC≌△DEF吗？
我们知道，证明三角形全等不存
在SSA定理.
A
B
C
D
E
F
情境思考
问题：
如果这两个三角形都是直角三
角形，即∠B=∠E=90°，
且AC=DF，BC=EF，现在能
判定△ABC≌△DEF吗？
A
B
C
D
E
F
新课讲解
直角三角形全等的判定（“斜边、直角边”定理）
任意画出一个Rt△ABC,使∠C=90°.再画一个Rt△A
′B
′C
′，使∠C′=90
°,B′C′=BC,A
′B
′=AB,把画好的Rt△A′B′
C′
剪下来，放到Rt△ABC上，它们能重合吗？
A
B
C
作图探究
画图思路
（1）先画∠M
C′
N=90°
A
B
C
M
C′
N
作图探究
画图思路
（2）在射线C′M上截取B′C′=BC
M
C′
A
B
C
N
B′
M
C′
作图探究
画图思路
（3）以点B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于A′
M
C′
A
B
C
N
B′
A′
作图探究
画图思路
（4）连接A′B′
M
C′
A
B
C
N
B′
A′
思考：通过上面的探究，你能得出什么结论？
作图探究
“斜边、直角边”判定方法
文字语言：
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
几何语言：
A
B
C
A
′
B′
C
′
在Rt△ABC和Rt△
A′B′C′
中，
∴Rt△ABC
≌
Rt△
A′B′C′
(HL).
“SSA”可以判定两个直角三角形全等，但是“边边”指的是斜边和一直角边，而“角”指的是直角.
AB=A′B′,
BC=B′C′,
知识要点
判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的画“×”，全等的注明理由：
（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（
）
（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（
）
（3）一个锐角和斜边对应相等；
（
）
（4）两直角边对应相等；
（
）
（5）一条直角边和斜边对应相等．
（
）
HL
×
SAS
AAS
AAS
判一判
新课讲解
例1
如图，AC⊥BC，
BD⊥AD，
AC﹦BD，求证：BC﹦AD.
证明：
∵
AC⊥BC，
BD⊥AD，
∴∠C与∠D都是直角.
AB=BA,
AC=BD
.
在
Rt△ABC
和Rt△BAD
中，
∴
Rt△ABC≌Rt△BAD
(HL).
∴
BC﹦AD.
应用“HL”的前提条件是在直角三角形中.
这是应用“HL”判定方法的书写格式.
利用全等证明两条线段相等，这是常见的思路.
例题+变式：HL判定
变式1：
如图，
∠ACB
=∠ADB=90，要证明△ABC≌
△BAD，还需一个什么条件？把这些条件都写出来，并在相应的括号内填写出判定它们全等的理由.
（1）
（
）
（2）
（
）
（3）
（
）
（4）
（
）
A
B
D
C
AD=BC
∠
DAB=
∠
CBA
BD=AC
∠
DBA=
∠
CAB
HL
HL
AAS
AAS
例题+变式：HL判定
如图，AC、BD相交于点P,AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C、D,AD=BC.求证：AC=BD.
变式2
HL
AC=BD
Rt△ABD≌Rt△BAC
例题+变式：HL判定
如图：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD,判断AD和BC的位置关系.
变式3
HL
∠ADB=∠CBD
Rt△ABD≌Rt△CDB
AD∥BC
例题+变式：HL判定
例2
如图，已知AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，AC＝AE.
求证：BC＝BE.
证明：∵AD，AF分别是两个钝角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．
∴CD＝EF.
∵AD＝AF，AB＝AB，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．
∴BD＝BF.
∴BD－CD＝BF－EF.即BC＝BE.
例题+变式：HL判定
方法总结：证明线段相等可通过证明三角形全等解决，作为“HL”公理就是直角三角形独有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使用时应该抓住“直角”这个隐含的已知条件．
新课讲解
例3：如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠B和∠F的大小有什么关系？
解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,
BC=EF,
AC=DF
.
∴
Rt△ABC≌Rt△DEF
(HL).
∴∠B=∠DEF
(全等三角形对应角相等).
∵
∠DEF+∠F=90°,
∴∠B+∠F=90°.
例题+变式：HL判定
1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（
）
A.两条直角边对应相等
B.斜边和一锐角对应相等
C.斜边和一条直角边对应相等
D.两个锐角对应相等
2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点E
，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，则
CH的长为（
）
A．1
B．2
C．3
D．4
D
A
课堂练习
4.如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE
⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB.
A
B
C
E
D
证明：
∵
BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠BDC=90
°.
在
Rt△EBC
和Rt△DCB
中，
CE=BD,
BC=CB
.
∴
Rt△EBC≌Rt△DCB
(HL).
3.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC
（填“全等”或“不全等”），根据
（用简写法）.
全等
HL
课堂练习
A
F
C
E
D
B
5.如图，AB=CD,
BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BF=DE.
证明:
∵
BF⊥AC,DE⊥AC,
∴∠BFA=∠DEC=90
°.
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF.
即AF=CE.
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
AB=CD,
AF=CE.
∴
Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
∴BF=DE.
课堂练习
如图，AB=CD,
BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.求证：BD平分EF.
A
F
C
E
D
B
G
变式训练1
AB=CD,
AF=CE.
Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
BF=DE
Rt△GBF≌Rt△GDE(AAS).
∠BFG=∠DEG
∠BGF=∠DGE
FG=EG
BD平分EF
课堂练习
如图，AB=CD,
BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.想想：BD平分EF吗?
变式训练2
C
AB=CD,
AF=CE.
Rt△ABF≌Rt△CDE(HL).
BF=DE
Rt△GBF≌Rt△GDE(AAS).
∠BFG=∠DEG
∠BGF=∠DGE
FG=EG
BD平分EF
课堂练习
6.如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P、Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？
【分析】本题要分情况讨论：(1)Rt△APQ≌Rt△CBA，此时AP＝BC＝5cm，可据此求出P点的位置．(2)Rt△QAP≌Rt△BCA，此时AP＝AC，P、C重合．
解：(1)当P运动到AP＝BC时，
∵∠C＝∠QAP＝90°.
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
∵PQ＝AB，AP＝BC，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)，
∴AP＝BC＝5cm；
拓展提升
(2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC.
在Rt△ABC与Rt△QPA中，
∵PQ＝AB，AP＝AC，
∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)，
∴AP＝AC＝10cm，
∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等．
【方法总结】判定三角形全等的关键是找对应边和对应角，由于本题没有说明全等三角形的对应边和对应角，因此要分类讨论，以免漏解．
拓展提升
“斜边、直角边”
内容
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
前提条件
在直角三角形中
使用方法
只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等）
本节总结
再见