总 课 题 三角函数的图象与性质 总课时 第9课时
分 课 题 三角函数的周期性 分课时 第1课时
教学目标 了解周期函数、最小正周期的概念及正弦、余弦、正切函数的周期性,会求一些简单三角函数的周期。
重点难点 函数的周期性、最小正周期的定义,求简单三角函数的周期。
引入新课
1、问题:(1)今天是星期_____,则过了七天是星期______?过了十四天呢?……
(2)物理中的单摆振动、圆周运动,质点运动的规律如何呢?
2、用三角函数线研究正弦、余弦函数值:
每当角增加(或减少),所得角的终边与原来角的终边相同,故两角的正弦、余弦函数值也分别相同,即有:
_________________________;__________________________。
这种性质我们就称之为周期性。
若记,则对于任意,都有______________。
若记,则对于任意,都有______________。
3、周期函数的概念:一般地,对于函数,如果存在一个非零的常数,使得定义域内的每一个值,都满足_______________________,那么函数就叫做______________,
非零常数叫做这个函数的_____________________。
说明:(1)必须是常数,且不为零;
(2)对周期函数来说必须对定义域内的任意都成立。
4、最小正周期的概念:
5、的周期:
一般地,函数及(其中为常数,
且)的周期__________。
说明:(1)我们现在谈到三角函数周期时,如果不加特别说明,一般都是指的最小正周期;
6、课前练习:
(1)一个周期函数的周期有_________个。
(2)试举出没有最小正周期的周期函数:__________________________________________。
(3)函数有,则______它的周期(填“是”或“不是”)
(4)正弦函数,是不是周期函数,若是,周期是_____________________。
(5)若函数的周期为,则也是的周期吗?为什么?
例题剖析
例1、求下列函数的周期。
(1) (2) (3)
例2、若函数的最小正周期为,求正数的值。
例3、若函数的定义域为,且对一切实数,都有,
且,试证明为周期函数,并求出它的一个周期。
例4、电流强度随时间变化的关系式是,。
(1)求电流强度的周期;
(2)当,,(单位:)时,求电流强度。
巩固练习
1、函数是( )
A、周期为的奇函数 B、周期为的偶函数
C、周期为的奇函数 D、周期为的偶函数
2、如图是周期为的函数在上的图象,请画出该函数在上的图象。
课堂小结
函数的周期性的定义,最小正周期的定义,简单三角函数的周期的求法。
课后训练
班级:高一( )班 姓名__________
一、基础题
1、下列命题中,正确的是 ( )
A、是周期函数 B、是周期函数
C、是周期函数 D、的最小正周期为
2、函数的最小正周期是 ( )
A、 B、 C、 D、
3、函数是定义在上的周期为的奇函数,且,则________。
4、已知函数的最小正周期为,则________。
5、函数的周期为,,则正整数________。
6、若存在常数,使得函数满足,,
则的一个正周期为________。
二、提高题
7、求下列函数的周期:
(1) (2)
(3) (4)
8、已知,求证:是周期函数,并求出它的一个周期。
三、能力题
9、证明:若函数满足常数,则是周期函数,且是它的一个周期。
10、已知函数,
(1)若周期为,求的值; (2)若周期不大于,求自然数的最小值。
探究:函数的周期是____________。
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