安徽省江淮十校2022届高三上学期第一次联考文科数学试题（Word版含答案解析）

江淮十校2022届高三第一次联考
数学（文科）
2021.8
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.复数在复平面上对应的点在（
）
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.已知集合，，则等于（
）
A.
B.
C.
D.
3.已知双曲线C：，则该双曲线的离心率为（
）
A.
B.
C.2
D.4
4.“”是“直线与直线平行”的（
）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
5.设函数，若，则（
）
A.
B.
C.1
D.2
6.已知两个等比数列，的前n项积分别为，，若，则（
）
A.3
B.27
C.81
D.243
7.已知函数，，某函数的部分图象如图所示，则该函数可能是（
）
A.
B.
C.
D.
8.将函数图象上各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象，则图象的一条对称轴方程是（
）
A.
B.
C.
D.
9.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为（
）
A.
B.
C.
D.
10.我国古代以天为主，以地为从，天和干相连叫天干，地和支相连叫地支，合起来叫天干地支.天干有十个，就是甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸，地支有十二个，依次是子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.古人把它们按照甲子、乙丑、丙寅……的顺序而不重复地搭配起来，从甲子到癸亥共六十对，叫做一甲子.我国古人用这六十对干支来表示年、月、日、时的序号，周而复始，不断循环，这就是干支纪年法（即农历）.干支纪年历法，是屹立于世界民族之林的科学历法之一.今年（2021年）是辛丑年，也是伟大的中国共产党成立100周年，则中国共产党成立的那一年是（
）
A.辛酉年
B.辛戊年
C.壬酉年
D.壬戊年
11.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（
）
A.
B.
C.1
D.2
12.若，恒成立，则a的最大值为（
）
A.
B.1
C.
e
D.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若x，y满足约束条件，则的最大值为____________.
14.在中，已知点D满足，若，则____________.
15.已知点P为抛物线C：上的动点，过点P作圆M：的一条切线，切点为A，则的最小值为____________.
16.已知正方体的棱长等于1，点为P底面的四条棱上的动点，则的取值范围为____________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）已知函数.
（1）求的单调递减区间；
（2）设锐角内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，求b的取值范围.
18.（12分）为了讴歌中华民族实现伟大复兴的奋斗历程，增进学生对党史的了解，某班级开展党史知识竞赛活动，现把50名学生的成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.
（1）求a的值并估计这50名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）用分层抽样的方法从成绩在，两组学生中抽取5人进行培训，再从这5人中随机抽取2人参加校级党史知识竞赛，求这2人来自不同小组的概率.
19.（12分）已知数列的前n项和为，满足，（t为常数）.
（1）求的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和为.
20.（12分）如图，在四棱锥中，，.
（1）在棱上是否存在点E，使得平面？说明理由；
（2）若平面平面，，，求点A到平面的距离.
21.（12分）书籍椭圆E：（）的焦点为，，且点在E上.
（1）求E的方程；
（2）已知过定点的动直线l交E于A，B两点，线段的中点为N，若为定值，试求m的值.
22.（12分）已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若，关于x的方程有唯一解，求a的值.
江淮十校2022届高三第一次联考
数学（文科）试题参考答案与评分细则
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
A
B
C
C
D
D
C
B
B
A
A
C
1.A
解：，在复平面上对应的点的坐标为.
2.B
解：∵，∴，∵，∴，∴.
3.C
解：由已知易得.
4.C
解：当两直线平行，∴，解得或，当，两直线重合，舍去；当时，两直线平行.所以“”是“直线与直线平行”的充要条件.
5.D
解：，则，得，解得.
6.D
解：，故选D.
7.C
解：对于A，为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；对于B，为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；对于D，，当时，，与图象不符，排除D.故选C.
8.B
解：依题意可知，，令，，解得，.所以时，.
9.B
解：如图，在棱长等于的正方体上取四面体即为所求四面体，易得该四面体的表面积为.
10.A
解：中题意知，天干是公差为10的等差数列，地支为公差为12的等差数列，且，，因为2021年为辛丑年，则100年前的天干为“辛”，地支为“酉”，可得到1921年为辛西年.
11.A
解：
当且仅当时取等号，
∴，∴，则.
12.C
解：因为，，
因为，
①若，，此时满足；
②若，令，在恒成立，
所以在单调递增，
在恒成立，
综上可得在恒成立，，
令，，
在单调递减，单调递增，所以，所以.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.5
解：在取得最大值5.
14.
解：因为，所以.
15.
解：由已知易得，
设点，则，
当时，取得最小值.
16.
解：不妨令点P在棱上，设，则，由勾股定理可得
，
其几何意义为x轴上一动点（）到两定点与的距离之和.其最小值即为到的距离，即.
又由平面几何知识知，当的最大值在或处取得，
当时，；当时，.
故的取值范围为.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.解：（1）
2分
令得（）
4分
∴的单调递减区间为（）
5分
（2）由得，
∵，∴，∴
7分
由正弦定理得，，∵，∴b的取值范围为
10分
18.解：（1）根据频率分布直方图得：，
解得
3分
估计平均成绩为：
6分
（2）来自小组的有3人记为，，，来自小组的有2人记为，，从5人中随机抽取2人，基本事件为：，，，，，，，，，.
来自不同组的有，，，，，，
9分
所以概率为.
12分
19.解：（1）令，，可得，所以
时，，可得
所以（），又因为满足上式，所以
6分
（2）解法一：因为
所以
12分
解法二：①n为偶数
②n为奇数
所以
12分
20.解：（1）存在的中点E，使得平面，
1分
证明如下：分别取，的中点E，F，连接，，，则，
又∵，∴，∵，，∴，
∴四边形为平行四边形，∴，
又∵平面，平面，∴平面.
5分
（2）取的中点O，连接，，∴，∴，
又∵平面平面，平面平面，
平面，∴平面，
7分
设点A到平面的距离为d，则，∴.
∵平面，∴，，，∴，
易知，∴，，，
∴，，
∴，∴，
即点A到平面的距离为.
12分
21.解：（1）易知，∴，而，
∴，∴椭圆E的方程为.
4分
（2）①若直线l的斜率不存在，易得，
5分
②若直线l的斜率存在，设其方程为，，，
则，联立得
，
且，，
7分
8分
10分
要使上式为常数，必须且只需，即，
此时易知恒成立，且，符合题意.
11分
综上所述，.
12分
22.解：（1）由题意，可得且
①若，恒成立，则在上是增函数
②，则
所以当时，，当时，
则在上是减函数，在上是增函数
综上所述，若，在上是增函数
若，在上是减函数，在上是增函数
5分
（2）中题意，可得
令，
方程有唯一解，即有唯一零点；
，
令，得.
因为，，所以（舍去），.
当时，，在是减函数；
当时，，在上是增函数.
当时，，.
若，则恒成立，不存在零点（舍）
7分
若
则，即，可得
设，因为在时，是减函数，所以至多有一解.
又因为，所以，从而解得.
9分
若，则，可得
因为，
所以在存在一个零点；
又因为
所以在存在一个零点；
因此存在两个零点（舍）.
11分
综上所述，.
12分