2.2直线与圆的位置关系同步专项强化训练（Word含答案解析）

苏教版（2019）选择性必修第一册《第5章
导数及其应用》2021年单元测试卷
一．选择题（共8小题）
1．函数f（x）＝x4在区间[a，2a]上的平均变化率为15，则实数a的值为（　　）
A．
B．
C．1
D．2
2．曲线y＝x3﹣2x+1在点（1，0）处的切线方程为（　　）
A．y＝x﹣1
B．y＝﹣x+1
C．y＝2x﹣2
D．y＝﹣2x+2
3．若函数f（x）＝x2，则f′（﹣1）＝（　　）
A．﹣1
B．1
C．﹣3
D．3
4．设函数f（x）的导函数是f'（x），若，则（　　）
A．
B．
C．
D．
5．下列求导运算正确的是（　　）
A．（sinx+cosx）′＝cosx+sinx
B．
C．（e2x）′＝e2x
D．
6．已知f（x）＝x2cosx，则其导函数为（　　）
A．f'（x）＝2xsinx
B．f'（x）＝﹣2xsinx
C．f'（x）＝2xcosx﹣x2sinx
D．f'（x）＝2xcosx+x2sinx
7．函数的单调递减区间为（　　）
A．
B．
C．
D．
8．函数y＝f（x）在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若m＝M，则f′（x）（　　）
A．等于0
B．大于0
C．小于0
D．以上都有可能
二．多选题（共4小题）
9．某港口一天24h内潮水的高度S（单位：m）随时间t（单位：h，0≤t≤24）的变化近似满足关系式S（t）＝3sin（t），则下列说法正确的有（　　）
A．S（t）在[0，2]上的平均变化率为m/h
B．相邻两次潮水高度最高的时间间距为24h
C．当t＝6时，潮水的高度会达到一天中最低
D．18时潮水起落的速度为m/h
10．下列函数求导运算正确的是（　　）
A．
B．（e﹣x）'＝e﹣x
C．（xcosx）'＝cosx+xsinx
D．
11．设f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′（x）g（x）+f（x）g′（x）＞0，且g（﹣3）＝0，则不等式f（x）g（x）＜0的解集是（　　）
A．（﹣3，0）∪（3，+∞）
B．（﹣3，0）∪（0，3）
C．（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞）
D．（﹣∞，﹣3）∪（0，3）
12．定义在上的函数f（x），f'（x）是f（x）的导函数，且f'（x）＜﹣tanx?f（x）恒成立，则（　　）
A．
B．
C．
D．
三．填空题（共4小题）
13．如图表示物体甲、乙在时间0到t1范围内，路程的变化情况，则下列说法正确的是　
　．
①在0到t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
②在0到t0范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度；
③在t0到t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度；
④在t0到t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度．
14．若函数，则f'（1）＝　
　．
15．已知函数f（x）mx+4lnx在区间[1，2]上存在单调递增区间，则实数m的取值范围为　
　．
16．若函数f（x）＝ex+1﹣ax+b﹣a（a，b为实数，e为自然对数的底数）在x＝﹣1处取得极值﹣1，且当x＞﹣2时，f（x）+2＞k（x+2）恒成立，则整数k的最大值是
　
　．
四．解答题（共4小题）
17．已知函数f（x）＝xsinx+cosx．
（1）当a＝0时，求f（x）在[﹣π，π]上的单调区间；
（2）当a＞0时，讨论f（x）在[0，π]上的零点个数．
18．求下列函数的导数：
（1）y＝（x﹣2）（x2+2x+4）；
（2）y．
19．求下列函数的导数：
（1）y；
（2）y＝sin（2x）
（3）y＝x．
20．已知函数f（x）＝ex﹣x+1（x∈R），e为自然对数的底数．
（1）求f（x）在点（1，f（1））处的切线l的方程；
（2）若切线l与x轴和y轴分别交于A，B两点，点O为坐标原点，求△AOB的面积．
苏教版（2019）选择性必修第一册《第5章
导数及其应用》2021年单元测试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．解：由区间[a，2a]，可知2a＞a，可得a＞0，
又由，解得a＝1．
故选：C．
2．解：验证知，点（1，0）在曲线上
∵y＝x3﹣2x+1，
y′＝3x2﹣2，所以k＝y′|x﹣1＝1，得切线的斜率为1，所以k＝1；
所以曲线y＝f（x）在点（1，0）处的切线方程为：
y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1．
故选：A．
3．解：；
∴f′（﹣1）＝﹣2﹣1＝﹣3．
故选：C．
4．解：，
则f′（x）＝﹣f′（）sinx﹣cosx，
∴f′（）＝﹣f′（）sincos，
∴f′（）＝0，
∴f′（x）＝﹣cosx，
∴f′（），
故选：A．
5．解：A．（sinx+cosx）′＝cosx﹣sinx．
B．（xlnx）′＝1+lnx．
C．（e2x）′＝2e2x．
D．（）′．
故选：D．
6．解：∵f（x）＝x2cosx，
∴f′（x）＝（x2）′cosx+x2（cosx）′＝2xcosx﹣x2sinx，
故选：C．
7．解：∵（x＞0），
∴f′（x）x，
令f′（x）＜0，得0＜x，
∴函数的单调递减区间为（0，），
故选：C．
8．解：∵最大最小相等，
∴y＝f（x）是常数函数，
∴f'（x）＝0．
故选：A．
二．多选题（共4小题）
9．解：根据题意，依次分析选项：
对于A，S（t）在[0，2]上的平均变化率，A错误，
对于B，S（t）＝3sin（t），其最小正周期为24，则相邻两次潮水高度最高的时间间距为24h，B正确，
对于C，当t＝6时，S（6）＝3sin（6），不是S（t）的最小值，C错误，
对于D，S（t）＝3sin（t），其导数S′（t）＝3（t）′cos（t）cos（t），则有S′（18），D正确，
故选：BD．
10．解：，（e﹣x）＝﹣e﹣x，（xcosx）′＝cosx﹣xsinx，．
故选：AD．
11．解：设F（x）＝f
（x）g（x），当x＜0时，
∵F′（x）＝f′（x）g（x）+f
（x）g′（x）＞0．
∴F（x）在当x＜0时为增函数．
∵F（﹣x）＝f
（﹣x）g
（﹣x）＝﹣f
（x）?g
（x）＝﹣F（x）．
故F（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数．
∴F（x）在（0，+∞）上亦为增函数．
已知g（﹣3）＝0，必有F（﹣3）＝F（3）＝0．
构造如图的F（x）的图象，可知
F（x）＜0的解集为x∈（﹣∞，﹣3）∪（0，3）．
故选：D．
12．解：由f'（x）＜﹣tanx?f（x），
得cosxf′（x）+sinxf（x）＜0，
令g（x），x∈（0，），
则g′（x）0，
故g（x）在（0，）单调递减，
由g（）＞g（），得，故f（）f（），故A错误，D正确；
由g（）＞g（），得，故f（）f（），故B错误，C正确；
故选：CD．
三．填空题（共4小题）
13．解：在0到t0范围内，甲、乙的平均速度都为，故①②错误，
在t0到t1范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为，
因为s2﹣s0＞s1﹣s0，t1﹣t0＞0，所以，故③正确，④错误，
故答案为：③．
14．解：∵，
∴．
故答案为：．
15．解：∵f（x）mx+4lnx，∴f'（x）＝x﹣m，
∵f（x）在区间[1，2]上存在单调递增区间，∴存在x∈[1，2]，使得f'（x）＞0，即m＜x，
令g（x）＝x，由对勾函数的性质可知，g（x）在[1，2]上单调递减，
∴g（x）max＝g（1）＝5，
∴m＜5．
故实数m的取值范围为（﹣∞，5）．
16．解：因为f（x）＝ex+1﹣ax+b﹣a，则f'（x）＝ex+1﹣a，
又f（x）在x＝﹣1处取得极值﹣1，
则有，解得a＝1，b＝﹣2，
所以f（x）＝ex+1﹣x﹣3，
经检验，f（x）符合题意，
当x＞﹣2时，f（x）+2＞k（x+2）恒成立，即ex+1﹣x﹣1＞k（x+2）对x＞﹣2恒成立，
令t＝x+1，则不等式等价于et﹣t＞k（t+1）对t＞﹣1恒成立，
则对t＞﹣1恒成立，
令h（t），则有k＜h（t）min，
因为，
令m（t）＝tet﹣1，则m'（t）＝et+tet＝（t+1）et，
所以m（t）在（1，+∞）上单调递增
因为m（），m（1）＝e﹣1＞0，
所以存在使得，即，
又在（﹣1，t0）上，m'（t）＜0，则h'（t）＜0，则h（t）单调递减，
在（t0，+∞）上，m'（t）＞0，则h'（t）＞0，则h（t）单调递增，
所以h（t）min＝h（t0）0，
又h（0）＝1，所以h（t）min∈（0，1），
故k的最大正数为0．
故答案为：0．
四．解答题（共4小题）
17．解：（1）当a＝0时，f（x）＝xsinx+cosx，x∈[﹣π，π]，
f'（x）＝sinx+xcosx﹣sinx＝xcosx，
当x在区间[﹣π，π]上变化时，f'（x），f（x）的变化如下表：
x
﹣π
0
π
f'（x）
+
0
﹣
0
+
0
﹣
f（x）
﹣1
增
极大值
减
极小值1
增
极大值
减
﹣1
∴f（x）的单调增区间为，，f（x）的单调减区间为，．
（2）f'（x）＝ax+xcosx＝x（a+cosx），x∈[0，π]，
当a≥1时，a+cosx≥0在[0，π]上恒成立，
∴x∈[0，π]时，f'（x）≥0，
∴f（x）在[0，π]上单调递增，
又∵f（0）＝1＞0，∴f（x）在[0，π]上没有零点；
当0＜a＜1时，令f'（x）＝0，得cosx＝﹣a，
由﹣1＜﹣a＜0可知存在唯一使得cosx0＝﹣a，
∴当x∈[0，x0）时，f'（x）≥0，f（x）单调递增，
当x∈（x0，π）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，
∵f（0）＝1，f（x0）＞1，，
①当，即时，f（x）在[0，π]上没有零点，
②当，即时，f（x）在[0，π]上有1个零点，
综上，当时，f（x）有1个零点，当时，f（x）没有零点．
18．解：（1）y＝（x﹣2）（x2+2x+4）＝x3﹣8，则y′＝3x2，
（2）y′2xln22xln2．
19．解：（1）；
（2）；
（3）．
20．解：（1）∵f（x）＝ex﹣x+1，∴f′（x）＝ex﹣1，
则f′（1）＝e﹣1，又f（1）＝e，
∴f（x）在点（1，f（1））处的切线l的方程为y＝（e﹣1）（x﹣1）+e；
即直线l的方程为：（e﹣1）x﹣y+1＝0；
（2）直线l与x和y轴分别交于A，B．
可得A（，0），B（0，1）．
∴Rt△AOB的面积S．