3.3 幂函数 课件-2021-2022学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册(共21张PPT)

(共21张PPT)
第三章
函数的概念与性质
3.3
幂函数
教学目标
理解幂函数的概念（重点）
01
会画幂函数y=x，y=x2，y=x3，y=x－1，y=x的图象；（重点）
02
结合这几个幂函数的图象，理解幂函数的性质；（重点、难点）
03
04
幂函数
－
学科素养
幂函数的概念
数学抽象
通过幂函数的图像研究幂函数的性质
直观想象
幂函数的性质
逻辑推理
幂函数的性质的应用
数学运算
数据分析
数学建模
幂函数
01
知
识
回
顾
Retrospective
Knowledge
函数的性质
前面学习了函数的概念，利用函数概念和对图像的观察，研究了函数的一些性质（单调性，奇偶性）．
设函数f(x)的定义域为I，区间D?I，?x1，
x2∈D，且x1，
如果都有f(x1)如果都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上单调递减．
一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果?x∈I，都有－x∈I，
且f(－x)=f(x)（f(－x)=－f(x)），那么函数f(x)就叫做偶函数(奇函数)
本节我们利用这些知识研究一类新的函数．
02
新
知
探
索
New
Knowledge
explore
(1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付
的钱数P=t元，这里P是t的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；
(4)如果正方形广场的面积为S，那么广场的边长
，这里c是S的函数；
(5)如果某人t秒内汽车前进了1km，那么他的平均速度
km/s，这里
V是t的函数；
先看几个实例：
幂函数的概念
上述问题中涉及的函数，都是形如y=xα的函数．
（1）都具有幂的形式；
（2）均是以幂的底为自变量；
（3）幂的指数都是常数；
（4）自变量前的系数为1．
观察（1）~（5）中的函数解析式，它们有什么共同特征？
幂函数的概念
一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
练习1
判断下列函数是否为幂函数．
(1)
y=x4
(2)
y=2x2
(3)
y=
-x2
(4)
y=
-2x
(5)
y=
x-2
(6)
y=x3+2
【2】
的底数为自变量;
?
【1】
的系数为1;
?
【3】
的指数为常数．
?
只有同时满足这三个条件的函数，才是幂函数．
判断一个函数是不是幂函数的依据是该函数是否为
(
为常数)的形式；反过来，若一个函数为幂函数，那么它也一定具有这个形式．在我们解决某些问题的时候这个结论有奇效．
?
?
√
×
×
×
×
√
幂函数的概念
函数
图像
R
R
在R
上单调递增
奇函数
R
[0，+∞）
在(-∞,0]上单调递减，在[0,+∞）单调递增
偶函数
R
R
在R
上单调递增
奇函数
定义域
值域
单调性
奇偶性
定点
[0，+∞）
[0，+∞）
在[0，+∞）上单调递增
非奇非偶函数
(-∞,0)∪(0,+∞)
(-∞,0)∪(0,+∞)
在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递减
奇函数
（1，1）
幂函数的图像特征及性质
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
（1）图像都过点（1，1)；
（2）图像一定会出现在第一象限，一定不会出现在第四象限；
奇函数的图像在第一和第三象限；
偶函数的图像在第一和第二象限；
非奇非偶函数的图像在第一象限；
注：α>0时函数图像经过原点，α≤0时函数图像不经过原点．
（3）当α<0时，函数在(0，+∞)单调递减；
当α>0时，函数在(0，+∞)单调递增．
（4）函数的图像在第一象限以(1，1）为支点，成跷跷板，左高右低，左低右高；
（5）当x>1时，函数图像从上往下，α逐渐减小．
幂函数的图像特征及性质
练习2
已知幂函数的图象过点
，试求出此函数的解析式．
已知函数类型求解析式常利用待定系数法．因为幂函数只有一个系数，所以只需要一个点的坐标就可以求写出幂函数的表达式．
例
证明幂函数
在
上是增函数．
比较大小：1．
作差法；
2．
利用函数单调性：根据自变量的大小，比较函数值的大小；或者根据函数值的大小，比较自变量的大小．
只要你多努力一点点，你就可以超越梦想
积硅步以致千里，积怠惰以致深渊
只要你多一点点懈怠，你就必将远离梦想
练习3
利用幂函数的性质，比较下列四个数的大小．
03
拓
展
提
升
Expansion
And
Promotion
?
?
?
?
奇函数
偶函数
?
?
奇函数
偶函数
非奇非偶函数
?
?
?
?
?
04
归
纳
总
结
Sum
Up
幂函数的概念：
一般地，函数y=xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数．
【2】
的底数为自变量;
?
【1】
的系数为1;
?
【3】
的指数为常数．
?
只有同时满足这三个条件的函数，才是幂函数．
幂函数的重要性质：
（1）图像都过点（1，1)；
（2）图像一定会出现在第一象限，
一定不会出现在第四象限；
（3）当α<0时，函数在第一象限单调递减；
当α>0时，函数在第一象限单调递增．
函数
图像
定义域
R
R
R
[0，+∞）
(-∞，0)∪(0，+∞)
值域
R
[0，+∞）
R
[0，+∞）
(-∞，0)∪(0，+∞)
单调性
在R
上单调递增
在(-∞,0]上单调递减，在[0,+∞）单调递增
在R
上单调递增
在[0,+∞）上单调递增
在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递减
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
公共点
（1，1）
五个常见的幂函数的图像及特征
05
课
后
作
业
Homework
After
Class
1．函数
是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．
2．幂函数
f(x)的图象过点(8，2)
，则
的大小关系
为：
．（从小到大排）