人教版8年级数学(上册)同步课时导学案:11.3.2 多边形的内角和(含答案)

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名称 人教版8年级数学(上册)同步课时导学案:11.3.2 多边形的内角和(含答案)
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资源类型 试卷
版本资源 人教版
科目 数学
更新时间 2021-09-07 21:29:23

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文档简介

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第十一章
三角形
(
教学备注
学生在课前完成自主学习部分
教学备注
配套
PPT
讲授
1.情景引入
(见
幻灯片3

2.探究点1新知讲授
(见
幻灯片4-19

)11.3
多边形及其内角和
11.3.2
多边形的内角和
学习目标:1.能通过不同的方法探索多边形的内角和与外角和公式.
2.学会应用多边形的内角和与外角和公式解决问题.
重点:多边形的内角和与外角和公式.
难点:多边形的内角和公式的推导.
(
自主学习
)
一、知识链接
1.三角形的内角和是多少?
2.正方形,长方形的内角和是多少?
(
课堂探究
)
要点探究
探究点1:多边形的内角和
问题1
三角形内角和是多少度?
问题2
你知道长方形和正方形的内角和是多少度吗?
问题3
猜想任意四边形的内角和是多少度?
猜想:四边形ABCD的内角和是360°.
问题4
你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗?
证法1:如图,连接AC,所以四边形被分为两个三角形,
证法2:如图,在CD边上任取一点E,连接AE,DE,
所以该四边形被分成三个三角形,
(
转化的思想在数学学习中经常用到,分割点与多边形的位置关系:顶点,边上,内部,外部
)
证法3:如图,在四边形ABCD内部取一点E,连接AE,BE,CE,DE,
把四边形分成四个三角形.
证法4:如图,在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD,将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.
结论:四边形的内角和为________.
方法总结:这四种方法都运用了转化思想,把四边形分割成三角形,转化到已经学了的三角形内角和求解.
【典例精析】
例1:如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角有什么关系?试说明理由.
【变式题】如图,在四边形ABCD中,∠A与∠C互补,BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,若BE∥DF,求证:△DCF为直角三角形.
问题5
你能仿照求四边形内角和的方法,选一种方法求五边形和六边形内角和吗?
由特殊到一般
多边形
图形
从多边形的一顶点引出的对角线条数
分割出三
角形个数
多边形内角和
三角形
四边形
五边形
六边形
……
……
……
……
……
n边形
要点归纳:n边形的内角和等于____________________.
【典例精析】
例2:一个多边形的内角和比四边形的内角和多720°,并且这个多边形的各内角都相等,则这个多边形的每个内角是多少度?
例3:已知n边形的内角和θ=(n-2)×180°.
(1)甲同学说,θ能取360°;而乙同学说,θ也能取630°.甲、乙的说法对吗?若对,求出边数n.若不对,请说明理由;
(2)若n边形变为(n+x)边形,发现内角和增加了360°,用列方程的方法确定x.
【变式题】一个同学在进行多边形的内角和计算时,求得内角和为1125°,当他发现错了以后,重新检查,发现少算了一个内角,问这个内角是多少度?他求的是几边形的内角和?
例4:如图,在五边形ABCDE中,∠C=100°,∠D=75°,∠E=135°,AP平分∠EAB,BP平分∠ABC,求∠P的度数.
(
教学备注
3.探究点2新知讲授
(见
幻灯片20-27

)探究点2:多边形的外角和
如图,在五边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做五边形的外角和.
问题1:任意一个外角和它相邻的内角有什么关系?
问题2:五个外角加上它们分别相邻的五个内角和是多少?
问题3:这五个平角和与五边形的内角和、外角和有什么关系?
在n边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做n边形的外角和.
思考:在n边形的每个顶点处各取一个外角,这些外角的和叫做n边形的外角和.n边形的外角和又是多少呢?
要点归纳:n边形的外角和等于360°,与边数无关.
问题4:回想正多边形的性质,你知道正多边形的每个内角是多少度吗?每个外角呢?为什么?
针对训练
(1)若一个正多边形的内角是120
°,那么这是正____边形.
(2)已知多边形的每个外角都是45°,则这个多边形是______边形.
【典例精析】
例5:已知一个多边形,它的内角和等于外角和的2倍,求这个多边形的边数.
(
教学备注
4.课堂小结
(见
幻灯片33

5.当堂检测(见
幻灯片28-32

)
例6:已知一个多边形的每个内角与外角的比都是7:2,求这个多边形的边数.
【变式题】一个正多边形的一个外角比一个内角大60°,求这个多边形的每个内角的度数及边数.
二、课堂小结
多边形的内角和定理
(n-2)
×
180
°(n
≥_______的整数)
多边形的外角和定理
多边形的外角和等于_________.
特别注意:与边数无关.
正多边形
内角=_______,外角=________.
(
当堂检测
)
1.判断.
(1)当多边形边数增加时,它的内角和也随着增加.(
)
(2)当多边形边数增加时,它的外角和也随着增加.(
)
(3)三角形的外角和与八边形的外角和相等.
(
)
2.一个正多边形的内角和为720°,则这个正多边形的每一个内角等于______.
3.如图所示,小华从点A出发,沿直线前进10米后左转24°,再沿直线前进10米,又向左转24°,…,照这样走下去,他第一次回到出发地点A时,走的路程一共是_____米.
4.一个多边形的内角和不可能是(

A.1800°
B.540
°
C.720
°
D.810
°
5.一个多边形从一个顶点可引对角线3条,则这个多边形的内角和等于(

A.360°
B.540
°
C.720
°
D.900
°
6.
一个多边形的内角和为1800°,截去一个角后,求得到的多边形的内角和.
(
教学备注
配套
PPT
讲授
5.课堂小结
6.当堂检测
(见
幻灯片24-28

)拓展提升
7.如图,求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7的度数.
参考答案
自主学习
一、知识链接
1.180°
2.360°
课堂探究
要点探究
探究点1:多边形的内角和
问题1
三角形内角和是180°.
问题2
都是360°.
问题3
四边形ABCD的内角和是360°.
问题4
解:证法1:如图,连接AC,
所以四边形被分为两个三角形,
所以四边形ABCD的内角和为180°×2=360°.
证法2:如图,在BC边上任取一点E,连接AE,DE,
所以该四边形被分成三个三角形,
所以四边形ABCD的内角和为
180°×3-(∠AEB+∠AED+∠CED)=180°×3-180°=360°.
证法3:如图,在四边形ABCD内部取一点E,
连接AE,BE,CE,DE,
把四边形分成四个三角形:△ABE,△ADE,△CDE,△CBE.
所以四边形ABCD的
内角和为:
180°×4-(∠AEB+∠AED+∠CED+∠CEB)=180°×4-360°=360°.
证法4:如图,在四边形外任取一点P,连接PA、PB、PC、PD,
将四边形变成有一个公共顶点的四个三角形.
所以四边形ABCD的内角和为180°
×3-
180°
=
360°.
结论:
360°
【典例精析】
例1
解:如图,四边形ABCD中,∠A+∠C
=180°.
因为∠A+∠B+∠C+∠D=
360
°,
所以∠B+∠D=
360°-(∠A+∠C)=
360°-180°=180°.
如果一个四边形的一组对角互补,那么另一组对角互补.
【变式题】
证明:∵在四边形ABCD中,∠A与∠C互补,∴∠ABC+∠ADC=180°.
∵BE平分∠ABC,DF平分∠ADC,∴∠CDF+∠EBF=90°.
∵BE∥DF,∴∠EBF=∠CFD,∴∠CDF+∠CFD=90°.
故△DCF为直角三角形.
问题5
解:如图,
内角和为180°
×3
=
540°.内角和为180°
×4
=
720°.
由特殊到一般
要点归纳
(n-2)×180
°
【典例精析】
例2
解:设这个多边形边数为n,则(n-2)?180=360+720,解得n=8,
∵这个多边形的每个内角都相等,8-2)×180°=1080°,
∴它每一个内角的度数为1080°÷8=135°.
例3
解:(1)∵360°÷180°=2,630°÷180°=3......90°,∴甲的说法对,乙的说法不对,
360°÷180°+2=4.故甲同学说的边数n是4.
(2)依题意有(n+x-2)×180°-(n-2)×180°=360°,解得x=2.故x的值是2.
【变式题】
思路点拨:多边形的内角的度数在0°~180°之间.
解:设此多边形的内角和为x,则有1125°<x<1125°+180°,
即180°×6+45°<x<180°×7+45°.
因为x为多边形的内角和,所以它是180°的倍数,所以x=180°×7=1260°.
所以7+2=9,1260°-1125°=135°.
因此,漏加的这个内角是135°,这个多边形是九边形.
例4
解析:根据五边形的内角和等于540°,由∠C,∠D,∠E的度数可求∠EAB+∠ABC的度数,再根据角平分线的定义可得∠PAB与∠PBA的角度和,进一步求得∠P的度数.
解:∵∠EAB+∠ABC+∠C+∠D+∠E=540°,∠C=100°,∠D=75°,∠E=135°,
∴∠EAB+∠ABC=540°-∠C-∠D-∠E=230°.
∵AP平分∠EAB,∴∠PAB=∠EAB,同理可得∠ABP=∠ABC,
∵∠P+∠PAB+∠PBA=180°,
∴∠P=180°-∠PAB-∠PBA=180°?(∠EAB+∠ABC)=180°?×230°=65°.
探究点2:多边形的外角和
问题1
互补
问题2
5×180°=900°
问题3
五边形外角和=5个平角和-五边形内角和=5×180°-(5-2)
×
180°=360
°.
思考
n边形外角和=n个平角和-n边形内角和=
n×180
°-(n-2)
×
180°=360
°.
问题4
每个内角的度数是,每个外角的度数是.
针对训练
(1)六
(2)正八
【典例精析】
例5
解:
设多边形的边数为n.
∵它的内角和等于
(n-2)?180°,外角和等于360°,∴
(n-2)?180°=2×
360°.解得
n=6.
∴这个多边形的边数为6.
例6
解:解法一:设这个多边形的内角为7x
°,外角为2x°,
根据题意得7x+2x=180,解得x=20.即每个内角是140
°,每个外角是40
°,360°
÷40
°=9.
答:这个多边形是九边形.
解法二:设这个多边形的边数为n
,根据题意得,解得n=9.
答:这个多边形是九边形.
【变式题】
解:设该正多边形的内角是x°,外角是y°,
则得到一个方程组解得
而任何多边形的外角和是360°,则该正多边形的边数为360÷120=3,
故这个多边形的每个内角的度数是60°,边数是3.
当堂检测
1.√
×

2.120°
3.150
4.D
5.C
6.
解:∵1800÷180=10,∴原多边形边数为10+2=12.
∵一个多边形截去一个内角后,边数可能减1,可能不变,也可能加1,
∴新多边形的边数可能是11,12,13,
∴新多边形的内角和可能是1620°,1800°,1980°.
(
教学备注
配套
PPT
讲授
5.课堂小结
6.当堂检测
(见
幻灯片24-28

)拓展提升
7.解:如图,∵∠3+∠4=∠8+∠9,
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7=∠1+∠2+∠8+∠9+∠5+∠6+∠7=五边形的内角和=540°.
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精品试卷·第
2

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