湖北省武汉市部分重点中学2022届高三上学期8月联考数学试题（Word版，含答案）

2022届高三年级武汉市部分重点中学八月联考
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，集合，，则（
）
A．
B．
C．
D．
2．若复数z满足，则z的共轭复数在复平面内对应的点在第（
）象限
A．一
B．二
C．三
D．四
3．若一圆台的上底面半径为1，且上、下底面半径和高的比为，则圆台的体积为（
）
A．
B．
C．
D．
4．声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音，若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是（
）
A．是奇函数
B．的最小正周期为
C．在区间上单调递增
D．的最小值为1
5．已知F是拋物线的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，则（
）
A．4
B．6
C．8
D．10
6．已知，且，，则（
）
A．
B．
C．
D．
7．在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式常数项是（
）
A．
B．
C．
D．28
8．关于函数，．下列说法错误的是（
）
A．在处的切线方程为
B．有两个零点
C．存在唯一极小值点，且
D．有两个极值点
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列说法：①对于回归分析，相关系数r的绝对值越小，说明拟合效果越好；
②以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则c，k的值分别是和；
③已知随机变量，若，则的值为
④通过回归直线及回归系数，可以精确反映变量的取值和变化趋势．
其中正确的选项是（
）
A．①
B．②
C．③
D．④
10．下列说法中正确的是（
）
A．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
B．向量，不能作为平面内所有向量的一组基底
C．非零向量，，满足且与同向，则
D．非零向量和，满足，则与的夹角为
11．已知圆锥曲线与（，）的公共焦点为，．点M为，的一个公共点，且满足，若圆锥曲线的离心率为，则下列说法错误的是（
）
A．的离心率为
B．的离心率为
C．的渐近线方程为
D．的渐近线方程为
12．在正方体中，点M在线段上运动，则下列说法正确的是（
）
A．直线平面
B．直线与平面所成角的正弦值的最大值为
C．异面直线AM与所成角的取值范围是
D．三棱锥的体积为定值
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知函数的导函数为，且（其中e为自然对数的底数），则_________．
14．已知是定义域为的奇函数，是偶函数，且当时，，则___________．
15．设点P是椭圆的短轴的一个上端点，Q是椭圆上的任意一个动点，则长的最大值是________．
16．把正整数排列成如图甲的三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到数列，则（1）________；（2）若，则_________．
图甲
图乙
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题10分）在①，；②；③三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答．已知数列的前n项和为，满足_________．
（1）求数列的通项公式；
（2）数列满足，求数列的前10项和．
注：若选择不同的条件分别解答，则按第一个解答计分．
18．（本题12分）在一次国际大型体育运动会上，某运动员报名参加了其中3个项目的比赛．已知该运动员在这3个项目中，每个项目能打破世界纪录的概率都是，那么在本次运动会上：
（1）求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率；
（2）若该运动员能打破世界纪录的项目数为X，求X的分布列及期望．
19．（本题12分）在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，，时，
（1）若，求c；
（2）记
（i）当k为何值时，是直角三角形．
（ii）当k为何值时，使得有解．（写出满足条件的所有k的值）
20．（本题12分）如图，且，，且，且，平面，．
（1）若M为CF的中点，N为EG的中点，求证：平面；
（2）求二面角的正弦值．
21．（本题12分）在平面直角坐标系中，圆，，过B的直线l与圆A交于C，D两点，过B作直线BE平行AC交AD于点E．
（1）求点E的轨迹方程；
（2）若不过坐标原点的直线与曲线E相交于M、N两点，点，且满足，求面积最大时直线的方程．
22．（本题12分）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设，是函数的两个极值点，证明：恒成立．
2022届高三年级武汉市部分重点中学八月联考
数学参考答案
一、选择题：
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
D
C
D
B
D
A
D
二、选择题：
题号
9
10
11
12
答案
BC
BD
AD
ABD
三、填空题：
13．
14．1
15．
16．58
1028
四、解答题：
17．解：（1）选①，；
，知数列是公差的等差数列，
则，得，
所以数列的通项公式为．
选②；
，知，得，
，得，即，
所以数列的通项公式为．
选③；，得，
则，所以
因为，所以数列的通项公式为．
（2）因为，所以，
则，，，，，
数列的前10项和为：
．
18．（1）；（2）分布列见解析，2．
解：（1）依题意，该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件，并且每个事件发生的概率相同．
设其打破世界纪录的项目数为随机变量，
“该运动员至少能打破3项世界纪录”为事件A，则有
（2）设该运动员能打破世界纪录的项目数为X，由（1）解答可知，，
则，，
，，所以X的分布列为
X
0
1
2
3
P
所以期望．
19．（1）；（2）；（i）或；（ⅱ）
（1）在中，由余弦定理可得：，
即，所以，解得：或（舍）
（2）（i）若，则，所以，
若，则，所以，
所以或时，为直角三角形，
（ii）由正弦定理可得记，
因为，所以，所以，
所以当时，使得有解，
20．（1）见解析；（2）；
（1）证明：依题意，以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系．
可得，，，，，，，，．
设为平面CDE的法向量，
则，不妨令，可得；
又，可得．所以，
又∵直线平面CDE，
∴平面CDE；
（2）解：依题意，可得，，．
设为平面BCE的法向量，
则，不妨令，可得．
设为平面BCF的法向量，
则，不妨令，可得．
因此有，于是．
∴二面角的正弦值为；
21．（1）；（2）．
（1）由，则，
于是点E的轨迹是以A，B为焦点长轴为的椭圆，
设轨迹方程为，其中，，
轨迹方程为，由于直线l不能与x轴重合，所以，
则轨迹为：．
（2）由题意可知，直线的斜率显然存在，
设直线的方程为，，，
由得，
①，
所以，所以，
因为，
所以，所以，代入①得且，
由于直线不能经过点，所以，
所以
，
当且仅当，即时上式取等号，此时符合题意，
所以直线的方程为．
22．（1）的定义域为，．
①当时，令，得，令，得，所以在上单调递增，在上单调递减；
②当时，令，得或，令，得，
所以在，上单调增，在上单调减；
③当时，则，所以在上单调递增；
④当时，令，得或，令，得，
所以在，上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减．
（2），则的定义域为，，若有两个极值点，，
则方程的判别式，且，，所以，
因为，所以，得，
所以，
设，其中，
令得，
又，所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，即的最大值为，而∴，从而恒成立．