上海市实验高中2022届高三上学期摸底考试数学试题（Word版含答案）

上海市实验学校2021学年度第一学期摸底考试
高三数学试卷
一?填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.
1.
复数的共轭复数是__________.
2.
___________.
3.
已知集合，，则______.
4
已知，则______.
5.
非零向量，满足，且，与夹角为，则___________.
6.
已知直线l过点（1，0）且与直线x+y﹣1＝0垂直，l与圆C：（x﹣6）2+（y）2＝12交于A，B两点，则弦AB的长为_____．
7.
若，满足约束条件，则的最小值为______.
8.
设函数存在反函数，且函数图象过点，则函数的图象一定过点___________.
9.
已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为___________.
10.
《易?系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图?洛书是中华文化?阴阳术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数，如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取1个数组成一个两位数，则其能被3整除的概率是___________.
11.
已知数列满足，设，且，则数列的首项的值为______．
12.
已知a，b，，满足，，当S取最小值时，c的最大值为___________.
二?选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.
13.
已知是1，2，3，，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，，这四个数据的平均数为1，那么的最小值是（
）
A.
B.
C.
D.
不存在
14.
下列说法中正确的是（
）
①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；
②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；
③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；
④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内.
A.
①②③④
B.
①②③
C.
②④
D.
①②④
15.
若不等式对恒成立，则值等于（
）
A.
B.
C.
1
D.
2
16.
已知，方程有三个实根，若，则实数
A.
B.
C.
D.
三?解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤.
17.
如图所示，正方体的棱长为，点在棱上，且，连结，，，，.
（1）求直线与平面所成角的正切值；
（2）求三棱锥的体积.
18.
如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径的长为，C，D两点在半圆弧上，且，设；
（1）当时，求四边形的面积.
（2）若要在景区内铺设一条由线段，，和组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值.
19.
已知函数，其中.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）解关于x的不等式：；
（3）若函数有三个不等实根，求实数a的取值范围.
20.
已知数列各项均为正数，为前n项的和，且，，成等差数列.
（1）求数列通项公式；
（2）设，为数列的前n项和，求；
（3）设为数列的前n项积，是否存在实数a，使得不等式对一切都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.
21.
已知直线与抛物线交于，两点，且，过椭圆的右顶点的直线l交于抛物线于，两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若射线，分别与椭圆交于点，，点为原点，，的面积分别为，，问是否存在直线使？若存在求出直线的方程，若不存在，请说明理由；
（3）若为上一点，，与轴相交于，两点，问，两点的横坐标的乘积是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由.
上海市实验学校2021学年度第一学期摸底考试
高三数学试卷
答案版
一?填空题（本大题共有12题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分.
1.
复数的共轭复数是__________.
答案：
2.
___________.
答案：.
3.
已知集合，，则______.
答案：
4
已知，则______.
答案：28
5.
非零向量，满足，且，与夹角为，则___________.
答案：
6.
已知直线l过点（1，0）且与直线x+y﹣1＝0垂直，l与圆C：（x﹣6）2+（y）2＝12交于A，B两点，则弦AB的长为_____．
答案：6
7.
若，满足约束条件，则的最小值为______.
答案：
8.
设函数存在反函数，且函数图象过点，则函数的图象一定过点___________.
答案：
9.
已知中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积为___________.
答案：
10.
《易?系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图?洛书是中华文化?阴阳术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数，如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机各选取1个数组成一个两位数，则其能被3整除的概率是___________.
答案：
11.
已知数列满足，设，且，则数列的首项的值为______．
答案：
12.
已知a，b，，满足，，当S取最小值时，c的最大值为___________.
答案：
二?选择题（本大题共有4题，满分20分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得5分，否则一律得零分.
13.
已知是1，2，3，，5，6，7这七个数据的中位数，且1，3，，这四个数据的平均数为1，那么的最小值是（
）
A.
B.
C.
D.
不存在
答案：A
14.
下列说法中正确的是（
）
①一条直线如果和一个平面平行，它就和这个平面内的无数条直线平行；
②一条直线和一个平面平行，它就和这个平面内的任何直线无公共点；
③过直线外一点，有且仅有一个平面和已知直线平行；
④如果直线l和平面α平行，那么过平面α内一点和直线l平行的直线在α内.
A.
①②③④
B.
①②③
C.
②④
D.
①②④
答案：D
15.
若不等式对恒成立，则值等于（
）
A.
B.
C.
1
D.
2
答案：B
16.
已知，方程有三个实根，若，则实数
A.
B.
C.
D.
答案：B
三?解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤.
17.
如图所示，正方体的棱长为，点在棱上，且，连结，，，，.
（1）求直线与平面所成角的正切值；
（2）求三棱锥的体积.
答案：（1）；（2）
18.
如图，有一景区的平面图是一个半圆形，其中O为圆心，直径的长为，C，D两点在半圆弧上，且，设；
（1）当时，求四边形的面积.
（2）若要在景区内铺设一条由线段，，和组成的观光道路，则当为何值时，观光道路的总长l最长，并求出l的最大值.
答案：（1）；（2）5
19.
已知函数，其中.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）解关于x的不等式：；
（3）若函数有三个不等实根，求实数a的取值范围.
答案：（1）当时，函数奇函数；当时，函数是非奇非偶函数；
（2）当时，不等式得解集为；当时，不等式得解集为；
（3）.
20.
已知数列各项均为正数，为前n项的和，且，，成等差数列.
（1）求数列通项公式；
（2）设，为数列的前n项和，求；
（3）设为数列的前n项积，是否存在实数a，使得不等式对一切都成立？若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由.
答案：（1）；（2）；（3）.
21.
已知直线与抛物线交于，两点，且，过椭圆的右顶点的直线l交于抛物线于，两点.
（1）求抛物线的方程；
（2）若射线，分别与椭圆交于点，，点为原点，，的面积分别为，，问是否存在直线使？若存在求出直线的方程，若不存在，请说明理由；
（3）若为上一点，，与轴相交于，两点，问，两点的横坐标的乘积是否为定值？如果是定值，求出该定值，否则说明理由.
答案：（1）（2）不存在，理由见解析；（3）是定值，且定值为，理由见解析.