人教版八年级数学上册 第十二章 12.3 角的平分线的性质 第1课时角的平分线的性质导学案（有答案）

第十二章　全等三角形
12.3　角的平分线的性质
第1课时　
角的平分线的性质
【出示目标】
1．掌握角平分线的性质，理解三角形的三条角平分线的性质．
2．掌握角平分线的画法．
【预习导学】
阅读教材P48－49“两个思考”，掌握并理解三角形的三条角平分线的性质，掌握角平分线的画法，学生独立完成下列问题：
(1)
把一个角分成两个相等的角的射线
叫做角的平分线．
(2)角的平分线的性质是角的平分线上的点到角的两边的距离相等．它的题设是
角的平分线上的点
，结论是
到角的两边的距离相等
．
【自学反馈】
如图，已知∠C＝90°，AD平分∠BAC，BD＝2CD，若点D到AB的距离等于5cm，则BC的长多少？
解：15cm.
(2)已知：如图，∠AOB.
求作：∠AOB的平分线OC.
作法：略．
【教师点拨】角平分线的性质是证明线段相等的另一途径，通常能使证明过程简略．其前提条件有两条，角平分线和垂直．
【合作探究】
活动1　小组讨论
【例1】　已知：如图，直线AB及其上一点P.
求作：直线MN，使得MN⊥AB于P.
作法：略．
【例2】　已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.求证：DE＝DF.
证明：在△ABD与△ACD中，
∵AB＝AC，AD＝AD，BD＝CD，
∴△ABD≌△ACD.
∴∠BAD＝∠CAD.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF.
【教师点拨】先利用等腰三角形顶角平分线、底边上的中线互相重合证得AD为顶角平分线，然后运用角平分线的性质证DE＝DF.
活动2　跟踪训练
1．已知：如图，△ABC中，∠C＝90°，试在AC上找一点P，使P到斜边的距离等于PC.(画出图形，并写出画法)
解：作∠B的平分线交AC于点P.
2．如图，已知△ABC内，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点P，且PD、PE、PF分别垂直于BC、AC、AB于D、E、F三点．求证：PD＝PE＝PF.
　
　　
第1题图　
　
第2题图
　
　第3题图
证明：∵BP是∠ABC的平分线，PF⊥AB，PD⊥BC，∴PF＝PD.同理证得PE＝PD.∴PD＝PE＝PF.
【教师点拨】角平线的性质是证线段相等的另一途径．
3．已知，如图，在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，E、F分别是AB、AC上一点，并且有∠EDF＋∠EAF＝180°.试判断DE和DF的大小关系并说明理由．
解：结论：DE＝DF.
(提示：过点D作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，则DM⊥DN，再证△DME≌△DNF，∴DE＝DF.)
【教师点拨】在已知角的平分线的前提下，做两边的垂线段是常用辅助线之一．
活动3　课堂小结
在本节中，在已知角平分线的条件下，常想到过角平分线上的点向角两边做垂线段的方法．在已知角平分线的条件下，也可想到翻折造全等的方法．
【随堂训练】
教学至此，敬请使用学案随堂训练部分．