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3．圆周角和圆心角的关系（一）的说课材料
本课是北师大版本，九年级数学下册、第三章、第三节《圆周角和圆心角的关系》。本课的重点是：圆周角概念及圆周角定理。难点是：认识圆周角定理需分三种情况证明。本节共分2个课时，这是第1课时，主要研究圆周角和圆心角的关系即：圆周角定理。具体地说，本节课的教学目标为：
1． 了解圆周角的概念。
2．理解圆周角定理的证明。
3．经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想。
4体会分类、归纳等数学思想方法。
5、通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索问题的能力和方法。
本节课分为五个教学环节：创设问题情境引入新课、新知学习（关于圆周角的定义、圆周角定理）、练习、课堂小结、布置作业．
第一环节 创设问题情境，引入新课
活动内容：通过一个问题情境，引入课题
活动目的：
通过此问题引起学生学习的兴趣。此问题意在通过射门游戏引入圆周角的概念。同时为第2课时的学习埋下伏笔．
第二环节 新知学习
活动内容：
（一）圆周角的定义的学习
1、 让学生观察图形并口答教师所提的问题，引导学生发现并归纳 ：它的顶点在圆上，它的两边分别与圆还有另一个交点。像这样的角，叫做圆周角。
2、教师再让学生判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角？并说明理由。
通过学生完成练习自己总结出圆周角的特征。
圆周角有两个特征：
①角的顶点在圆上；
②两边在圆内的部分是圆的两条弦。
活动目的：通过学生主动观察，探索概念的形成，这样能使学生更好地理解概念。
（二）圆周角定理的学习
教师引导学生研究一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角之间的关系。先画图，在分别进行证明。此处为教学的难点，教师应适当的进行点拨。
活动目的：
学生通过画图，渗透分类讨论的思想，由特殊到一般解决问题的策略。。教学过程中要有意识地向学生渗透解决问题的策略以及转化、分类、归纳等数学思想方法。
第三环节 课堂练习
活动内容：
1．如图，在⊙O中，∠BOC=50°，则
∠BAC= 。
变化题1：如图，点A，B，C是⊙O上的三点，∠BAC=
40°，则∠BOC=
变化题2：如图，∠BAC=40°，则∠OBC=
2．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ AOB=2∠ BOC，∠ ACB与∠ BAC的大小有什么关系？为什么？
第2题图 第3题图
3．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠BCD=100° ，求∠BOD（BCD所对的圆心角）和∠BAD的大小。
活动目的：
通过练习目的是使学生熟练地掌握圆周角与圆心角的关系。通过图形和条件的变化，让学生了解要找出圆周角与圆心角的关系，就必须先找出它们所对的同一条弧。再利用圆周角定理来解决问题。
第四环节 课堂小结
师生共同总结本课的学习要点，使学生有重点的掌握知识。
第五环节 布置作业
1、⊙O的半径为1，圆周角∠ABC=30°，则弦AC的长是＿
2、如图，已知在⊙O中，AB是直径，C为⊙O上一点，若AB=5, ∠BOC=60°,求AC的长（图略）
活动目的：让学生在掌握知识的基础上能灵活运用知识
本节课，意在利用先进的多媒体信息技术及教学课件，让学生在直观形象的教学过程中获取知识。并将所学的基础知识和解题技巧运用到抽象的数学题的解答中。
A
O
C
B
A
B
C
O
A
B
C
O
A
B
C
D
O
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信息技术环境下课堂教学设计（模板）
学 科 数学 版本册数 北师大版第三册
课目名称 3．圆周角和圆心角的关系（一） 共2课时
教学目标 了解圆周角的概念。2．理解圆周角定理的证明。3．经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想。
教材分析 本节共分2个课时，这是第1课时，主要研究圆周角和圆心角的关系即：圆周角定理。本节课的难点在圆周角定理的证明，教材引导学生分三种情况来探讨。本节课的教学目标为：1、了解圆周角的概念。2．理解圆周角定理的证明。3．经历探索圆周角和圆心角的关系的过程，学会以特殊情况为基础，通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想。4．体会分类、归纳等数学思想方法。5、通过观察、猜想、验证推理，培养学生探索问题的能力和方法
学生分析 学生在上一节的内容中已掌握了圆心角的定义及圆心角的性质。还初步了解研究图形的方法：如折叠、轴对称、旋转、作辅助线、证明等。学生在以前的数学学习中已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
教学重点 教学内容 措 施 媒体、资源应用策略
圆周角概念及圆周角定理。 采用对比学习法，与圆心角的定义和性质相比较进行讨论学习 采用幻灯展示情景图片，形象直观，降低学习难度。
教学难点 教学内容 措 施 媒体、资源应用策略
认识圆周角定理需分三种情况证明的必要性。 通过转化来解决一般性问题的方法，渗透分类的数学思想。 学生通过画图，渗透分类讨论的思想，再由幻灯展示作辅助线的动态过程，让学生明白易懂。
教 学 过 程
教学环节 教学内容 教师活动 学生活动 媒体、资源 使用方式方法
一、创设问题情境，引入新课3分二、新课学习三、课堂练习四、课堂小结 1、复习圆心角的含义及性质，为新课作铺垫2、活动内容：通过一个问题情境，引入新课（一）圆周角的定义的学习请同学们考虑两个问题：（1）顶点在圆上的角是圆周角吗？（2）角的两边都和圆相交的角是圆周角吗？（二）圆周角定理的学习通过三道有针对性的填空练习和两道解答题让学生进一步掌握圆周角和圆心角的关系师生共同总结本节的重难点关系 提问：如图，当他站在B，D，E的位置射球时对球门AC的张角的大小是相等的？为什么呢？你能观察到这三个角有什么共同特征吗 教师引导：为解决这个问题我们先来研究一种角。观察图中的∠ABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？教师展示几种不同的角让学生辨认并说明理由教师引导学生画图并分三种情况讨论圆周角和圆心角的关系教师对有困难的学生作适当的点拨设问：到目前为止,我们学习到和圆有关的角有几个 它们各有什么特点 相互之间有什么关系 仔细观察图片，并思考∠ABC∠ADC∠AEC的大小关系和特征。学生观察后进行口答并总结出：圆周角概念。请个别学生口头辨认并说明理由。再由学生归纳圆周角的两个特征学生通过画图感受一条弧所对的圆周角和它所对的圆心角有三种位置关系，并探讨与证明。最后由学生总结得出圆周角的定理独立思考和合作交流相结合学生口答 幻灯展示图片及问题移动多媒体展示图片和问题幻灯展示作图的一些提示，并展示直观的作图过程。幻灯展示解题过程
五、布置作业 1、⊙O的半径为1，圆周角∠ABC=30°，则弦AC的长是＿ 2、如图，已知在⊙O中，AB是直径，C为⊙O上一点，若AB=5, ∠BOC=60°,求AC的长（图略） 指导学生的解题技巧适当进行提示 学生课后独立思考完成 多媒题出示问题
板书设计 3．圆周角和圆心角的关系（一）（1）圆周角定义：（2）圆周角有两个特征：①角的顶点在圆上；②两边在圆内的部分是圆的两条弦。（3）圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。（4）典型例题：2．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ AOB=2∠ BOC，∠ ACB与∠ BAC的大小有什么关系？为什么？（图略）
课后教学反 思 本节课我使用了学校配置的移动多媒体，使整个教学过程直观形象。新课导入中，我设置射门游戏问题情境，将生活实际问题抽象为数学问题，进而研究圆周角和圆心角的关系。在新知学习中，我不断利用多媒体上的幻灯片资源和学生共同探讨圆周角的定理，并对定理进行分类证明。教学中我还注意给学生留有时间和空间，让他们进行思考。让学生经历观察、想象、推理、操作、描述、交流等过程，多种角度直观体验数学模型，而这也正符合本章学习的主要目标。教学中还应改进的地方是：1、幻灯片资源上背景设置还应改进2、课堂教学中学生探讨问题的氛围不活跃，应更好的激励和启发。3、题型的难度拓展不够，还应改进。
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环节 教学内容要点、教师教学策略与方法手段、学生参与教学和思维训练等
3分2分3分2分15分10分 3分 2分 一、创设问题情境，引入新课1、复习圆心角的含义及性质，为新课作铺垫2、活动内容：通过一个问题情境，引入课题情境：在射门游戏中，球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关。如图，当他站在B，D，E的位置射球时对球门AC的张角的大小是相等的？为什么呢？你能观察到这三个角有什么共同特征吗 二、新课学习（一）圆周角的定义的学习 为解决这个问题我们先来研究一种角。观察图中的∠ABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？ 可以发现，它的顶点在圆上，它的两边分别与圆还有另一个交点。像这样的角，叫做圆周角。 请同学们考虑两个问题：（1）顶点在圆上的角是圆周角吗？（2）角的两边都和圆相交的角是圆周角吗？ 判断下列图示中，各图形中的角是不是圆周角？并说明理由。通过学生完成练习自己总结出圆周角的特征。圆周角有两个特征：①角的顶点在圆上；②两边在圆内的部分是圆的两条弦。（二）圆周角定理的学习我们先研究一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角之间的关系。请同学们在圆上确定一条劣弧，画出它所对的圆心角与圆周角。归纳同学们的意见我们得到以下几种情况：引导学生通过小组交流讨论的方式，分别考虑这三种情况下，∠ABC和∠AOC之间的大小关系．由此得到圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。三、课堂练习1．如图，在⊙O中，∠BOC=50°，则∠BAC= 。变化题1：如图，点A，B，C是⊙O上的三点，∠BAC=40°，则∠BOC= 变化题2：如图，∠BAC=40°，则∠OBC= 2．如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ AOB=2∠ BOC，∠ ACB与∠ BAC的大小有什么关系？为什么？第2题图 第3题图3．如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠BCD=100° ，求∠BOD（BCD所对的圆心角）和∠BAD的大小。四、 课堂小结到目前为止,我们学习到和圆有关的角有几个 它们各有什么特点 相互之间有什么关系 五、布置作业1、⊙O的半径为1，圆周角∠ABC=30°，则弦AC的长是＿ 2、如图，已知在⊙O中，AB是直径，C为⊙O上一点，若AB=5, ∠BOC=60°,求AC的长3、课后思考
B
A
O
C
①
A
B
C
O
②
B
A
C
O
③
A
B
C
O
A
B
C
O
A
B
C
D
O
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北师大版数学九年级
精品教学课件
回顾与思考
如图1 ,∠AOB是 角。
O
A
B
如图2 , AB=CD ,则∠AOB与∠COD的大小关系是： 。
B
A
O
C
D
圆心
相等
用心想一想，马到功成
在射门游戏中，球员射中球门的难易与他所处的位置B对球门AC的张角（∠ABC）有关。
用心想一想，马到功成
如图，当他站在B，D，E的位置射球时,对球门AC的张角的大小相等吗？
你能观察到这三个角有什么共同特征吗
用心想一想，马到功成
为解决这个问题我们先来研究一种角。
观察图中的∠ABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？
A
B
C
用心想一想，马到功成
观察图中的∠ABC，可以发现，它的顶点在圆上，它的两边分别与圆还有另一个交点。像这样的角，叫做圆周角。
A
B
C
请同学们考虑两个问题：
（1）顶点在圆上的角是圆周角吗？
（2）角的两边都和圆相交的角是圆周角吗？
为解决这个问题，我们先回答下面的问题。
下列各图形中的角是不是圆周角？请说明理由。
A
B
C
D
E
由圆周角的定义可知，只有C是圆周角，其它都不是。
你能总结出圆周角的特征吗？
圆周角有两个特征：
①角的顶点在圆上；
②两边在圆内的部分是圆的两条弦。
用心想一想，马到功成
我们再来研究圆周角的性质。
为了解决这个问题，我们先研究一条弧所对的圆周角与它所对的圆心角之间的关系。
请同学们在圆上确定一条劣弧，画出它所对的圆心角与圆周角。
A
C
用心想一想，马到功成
归纳同学们的意见我们得到以下几种情况。
①∠ABC的一边BC经过圆心O。
②∠ABC的两边都不经过圆心O。
③∠ABC的两边都不经过圆心O。
请问∠ABC与∠AOC它们的大小有什么关系？说说你的想法，并与同伴进行交流。
B
A
O
C
①
A
B
C
O
②
B
A
C
O
③
下面我们首先考虑同学们列举的一种特殊情况，即∠ABC的一边BC经过圆心O。
B
A
O
C
∵ ∠AOC是△ABO的外角，
∴ ∠AOC=∠ABO+∠BAO。
∵ OA=OB，
∴ ∠ABO=∠BAO。
∴ ∠AOC=2∠ABO，
∴ ∠ABC= ∠AOC。
1
2
如图,我们可以观察到∠AOC是△ABO的外角，∠ABC是△ABO的一个内角，它们两者存在一定关系.
下面我们首先考虑同学们列举的一种特殊情况，即∠ABC的一边BC经过圆心O。
B
A
O
C
∵ ∠AOC是△ABO的外角，
∴ ∠AOC=∠ABO+∠BAO。
∵ OA=OB，
∴ ∠ABO=∠BAO。
∴ ∠AOC=2∠ABO，
∴ ∠ABC= ∠AOC。
1
2
那么当∠ABC的两边都不经过圆心O时，∠ABC与∠AOC又有怎样的大小关系呢？
A
B
C
O
B
A
C
O
我们可以考虑把这两种情况分别转化成刚才的特殊情形来考虑。
A
B
C
O
也就是借用直径，连接BO并延长，与圆相交于点D。
D
（此时我们得到与图①同样的情形）
1
3
2
B
A
O
C
①
∵ ∠1是△ABO的外角，
∴ ∠1=∠2+∠3。
∵ OA=OB，
∴ ∠2=∠3。
∴ ∠1=2∠2，
∴ ∠2= ∠1。
1
2
5
4
1
2
同理, ∠4= ∠5。
1
2
∴ ∠2+∠4= （ ∠ 1+∠5） 。
∴ ∠ABC= ∠AOC。
1
2
B
A
C
O
B
A
O
C
①
如图，连接BO并延长，与圆相交于点D。（此时我们得到与图①同样的情形）
D
∵ ∠AOD是△ABO的外角，
∴ ∠AOD=∠A+∠ABO。
∵ OA=OB，
∴ ∠A=∠ABO。
∴ ∠AOD=2∠ABD，
∴ ∠ABD= ∠AOD。
1
2
B
A
C
O
B
A
O
C
①
如图，连接BO并延长，与相交于点D。（此时我们得到与图①同样的情形）
D
∵ ∠AOD是△ABO的外角，
∴ ∠ABD=∠A+∠ABO。
∵ OA=OB，
∴ ∠A=∠ABO。
∴ ∠AOD=2∠ABD，
∴ ∠ABD= ∠AOD。
1
2
同理 , ∠CBD= ∠COD。
1
2
B
A
C
O
B
A
O
C
①
如图，连接BO并延长，与相交于点D。（此时我们得到与图①同样的情形）
D
∵ ∠AOD是△ABO的外角，
∴ ∠ABD=∠A+∠ABO。
∵ OA=OB，
∴ ∠A=∠ABO。
∴ ∠AOD=2∠ABD，
∴ ∠ABD= ∠AOD。
1
2
同理 , ∠CBD= ∠COD。
1
2
∴ ∠ABD－∠CBD= ∠AOD－ ∠COD
= （∠AOD－∠COD）。
∴ ∠ABC= ∠AOC
1
2
1
2
1
2
1
2
认真观察，探求结果
通过对三种情形的证明，同学们再认真观察图形，你会得到什么结果？
B
A
O
C
A
B
C
O
B
A
C
O
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的 。
一半
A
O
C
B
如图，在⊙O中，∠BOC=50°，
则∠BAC= 。
点拨：此题要选择关键点：∠BOC与∠BAC对着BC，因此∠BOC等于∠BAC的2倍。
25°
A
O
C
B
如图，在⊙O中，∠BOC=50°，
则∠BAC= 。
变化题2：如图，∠BAC=40°，则∠OBC= 。
A
B
C
O
变化题1：如图，点A，B，C是⊙O上的三点， ∠BAC=40°，则∠BOC= 。
25°
50°
80°
由∠BAC=40°可得∠BOC=80°，再由△BOC是等腰三角形可求得∠OBC。
如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠ AOB=2∠ BOC，
∠ ACB与∠ BAC的大小有什么关系？为什么？
A
B
C
O
请同学们认真观察∠AOB与∠ACB，∠BOC与∠BAC的关系。
答：∠ACB=2∠BAC.理由是:
∵∠AOB=2∠ACB
∠BOC=2∠BAC
∠AOB=2∠BOC
∴2∠ACB =2（2∠BAC）
∴∠ACB=2∠BAC
A
B
C
D
O
如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠BCD=100° ，
求∠BOD（BCD所对的圆心角）和∠BAD的大小。
由∠BCD=100°，我们可求出对应的圆心角∠1是200° ，则∠BOD就可求。
解：∵∠BCD=100°
∴∠1=200°
∴∠BOD=360°－200°=160°
1
A
B
C
D
O
如图，A，B，C，D是⊙O上的四点，且∠BCD=100° ，
求∠BOD（BCD所对的圆心角）和∠BAD的大小。
解：∵∠BCD=100°
∴∠1=200°
∴∠BOD=360°－200°=160°
1
观察∠BOD与∠BAD的关系就可以求∠BAD的大小。
∴∠BAD= ∠BOD= ×160°=80°
1
2
1
2
课内拓展延伸
1.到目前为止,我们学习到和圆有关的角有几个 它们各有什么特点 相互之间有什么关系
答:和圆有关的角有圆心角和圆周角.圆心角顶点在圆心;圆周角顶点在圆上，角的两边和圆相交。一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
2.课后思考
如图，当他站在B，D，E的位置射球时对球门AC的张角的大小相等吗？为什么？
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课外练习
1、⊙O的半径为1，圆周角∠ABC=30°，则弦AC的长是＿
2、如图，已知在⊙O中，AB是直径，C为⊙O上一点，若AB=5, ∠BOC=60°,求AC的长
http://www..cn
