(共50张PPT)
相似三角形的判定（3）
初三年级
数学
复习回顾
相似三角形的判定方法
对应角相等，对应边成比例
的两个三角形叫做相似三角形.
1.定义法：
复习回顾
1.定义法：
∵∠A=∠A',∠B=∠B',∠C=∠C'
∴
△ABC∽△A'B'C'
.
符号语言：
复习回顾
平行于三角形一边的直线,截其他两边所得的三角形与原三角形相似.
2.平行线法：
复习回顾
符号语言:
∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
2.平行线法：
复习回顾
两角分别相等,两三角形相似.
3.相似三角形的判定定理:
符号语言：
∵∠A=∠A',∠B=∠B'
∴△ABC∽△A'B'C'.
3.相似三角形的判定定理:
1.回顾：
三边分别相等的两个三角形全等
新知探索
AB=A'B',AC=A'C',BC=B'C',
相似
2.延伸问题：
作△ABC与△A'B'C',
使得
比较∠A与∠A'
、∠B与∠B'
的大小,
△ABC与△A'B'C'相似吗？
∵∠A=∠A'
∠B=∠B',
∴
△ABC∽△A'B'C'.
改变k值的大小，再试一试.
∵∠A=∠A'
∠B=∠B',
∴
△ABC∽△A'B'C'.
猜想：
如果两个三角形中,三边对应成比例,
那么这两个三角形相似.
已知：如图,在△ABC与△A'B'C'中,
求证：△ABC∽△A'B'C'.
新知探索
在AB上截取AD＝A'B'
过点D作DE∥BC交AC于点E
D
E
△ABC∽△ADE
分析：
分析：
D
E
△ABC∽△ADE
D
证明：
E
在AB上截取AD＝A'B',
过点D作DE∥BC交AC于点E.
∴△ABC∽△ADE,
AD＝A'B'.
D
E
∴△ADE≌△A'B'C'.
∴△ABC∽△A'B'C'.
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的
三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．
相似三角形的判定定理
（三边对应成比例，两三角形相似）
符号语言：
相似三角形的判定定理
∴△ABC∽△A'B'C'.
例1：依据以下各组条件,判定△ABC与△A'B'C'
是否相似,并说明理由.
（1）AB=4cm,BC=6cm,AC=8cm;
A'B'=12cm,B'C'=18cm,A'C'=24cm.
例题讲解
（1）AB=4cm,BC=6cm,AC=8cm;
A'B'=12cm,B'C'=18cm,A'C'=24cm.
∴△ABC∽△A'B'C'.
解：
∴△ABC与△A'B'C'不相似.
解：
例2：如下图所示,在正方形网格上有两个三角形,△ABC和△DEF,它们相似吗？说明理由.
每个小方形的边长为1
∴△ABC∽△DEF.
分析：
∴BC=5,DE=2,
由勾股定理可得
同理可得
解：设每个小方形的边长为1
∴△ABC∽△DEF.
1.要做两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形框架的三边长分别为4cm,5cm,6cm,另一个三角形框架的一边长为2cm,怎样选料可使这两个三角形相似？
.
课堂练习
4cm
5cm
6cm
（1）如果边长为4,5,6的对应边长分别为2,x,y,
那么：
解得：
.
解：要使这两个三角形相似，则这两个三角形的三边对应成比例.有三种情况：
（3）如果边长为4,5,6的对应边长分别为x,y,2,
那么：
解得：
.
（2）如果边长为4,5,6的对应边长分别为x,2,y,
那么：
解得：
2.已知：点D,E,F分别是△ABC三边的中点.
求证：△EFD∽△ABC.
证明：(证法一）
∵点D,E,F分别是△ABC三边的中点.
∴△EFD∽△ABC.
1
2
3
证明：(证法二）
证明：(证法二）
∴△EFD∽△ABC.
∴四边形BDFE,
四边形CFDE是平行四边形.
∴∠1=∠B,∠2＝∠C.
1
2
∵点D,E,F分别是△ABC三边的中点.
1.知识：
(1)定义：三个角分别相等，三条边对应成比例的
两个三角形相似.
(2)平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的
三角形与原三角形相似.
课堂小结
（3）判定定理：两角分别相等，两三角形相似.
（4）判定定理：三边对应成比例，两三角形相似.
1.知识：
课堂小结
（1）通过类比学习，把未知问题转化为已知问题，
体现了转化和类比思想，这两种思想方法也是
学习数学过程中常用的思想方法.
.
2.方法：
课堂小结
（2）本节课的课堂练习，体现了分类讨论的学习方
法，这种方法能够使我们解决问题时考虑的更
加全面.
2.方法：
课堂小结
课后作业
1.依据以下各组条件,判定?ABC与?A'B'C'
是否相似,并说明理由.
AB=12cm,BC=15cm,AC=24cm;
A'B'=20cm,
B'C'=25cm,
A'C'=40cm.
2.△ABC的三边长分别为1,
,2,
三角形△A'B'C'其中一边长为1,如果△ABC
与△A'B'C'相似,求另两边的长.
3.如图,每个小正方形的边长为1,试在下图中画
出△DEF,使△ABC∽△DEF,并求出它们的相
似比.
祝同学们学习进步！(共44张PPT)
相似三角形的判定（2）
初三年级
数学
复习回顾
相似三角形的判定方法
复习回顾
1.定义法：
对应角相等，对应边成比例
的两个三角形叫做相似三角形.
复习回顾
1.定义法：
∴△ABC∽△A'B'C'
符号语言：
∵∠A=∠A'，∠B=∠B'
，∠C=∠C'
平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的三角形与原三角形相似.
复习回顾
2.平行线法：
∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
复习回顾
2.平行线法：
符号语言:
1.观察下面两个三角尺，它们是否相似？
新知探索
三个角对应相等
b
2b
ɑ
2ɑ
三边对应成比例
三个角对应相等
三边对应成比例
两个三角形相似
2.作△ABC与△A'
B'
C
'
,使得∠A=∠A'
,∠B=∠B',
这时它们的第三个角满足∠C=∠C'吗？分别度量
这两个三角形的边长,计算三组对应边之比,这两
个三角形相似吗？
∵∠A=∠A'，∠B=∠B'
∴∠C=∠C'
AB=6.29cm
A'B'=8.67cm
BC=4.65cm
B'C'=6.41cm
AC=7.44cm
A'C'=10.24cm
∵∠A=∠A',∠B=∠B,∠C=∠C'
∴△ABC∽△A'B'C'
猜想：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的
两个角分别相等，那么这两个三角形相似．
已知：
如图，在△ABC与△A'B'C'中,
∠A=∠A',∠B=∠B',
求证:△ABC∽△A'B'C'.
新知探索
定义法
平行线法
（条件不够）
？
在AB上截取AD＝A'B'
过点D作DE∥BC交AC于点E
D
E
△ADE∽△ABC
方法一
分析：
D
E
∠B=∠B'
∠ADE=∠B'
AD=A'B'∠A=∠A'
△ADE≌△A'B'C'
DE∥BC
分析：
方法一
∠ADE=∠B
在AB上截取AD＝A'B'
在AC上截取AE＝A'C',
联结DE
△ADE≌△A'B'C'
D
E
∠A＝∠A'
方法二
分析：
∠ADE＝∠B'
∠B=∠B'
∠ADE=∠B
△ADE≌△A'B'C'
DE∥BC
△ADE∽△ABC
方法二
D
E
分析：
D
E
过点D作DE∥BC交AC于点E.
证明：
∵∠B=∠B',
∴∠ADE=∠B'.
∵∠A＝∠A',AD＝A'B',
∴△ADE≌△A'B'C'.
∴△ABC∽△A'B'C'.
∴△ADE∽△ABC,
∠ADE＝∠B.
在AB上截取AD=A'B',
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的
两个角分别相等，那么这两个三角形相似．
相似三角形的判定定理
（两角分别相等，两三角形相似）
符号语言：
∵∠A=∠A'
，∠B=∠B'
∴△ABC∽△A'B'C'.
相似三角形的判定定理
例1：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
请找出图中的相似三角形，并说明理由.
例题讲解
①三个直角分别相等
②公共角
分析：
△ABC∽△CBD∽△ACD．
∵∠B＝∠B，∠CDB＝∠ACB＝90°
∴△ABC∽△CBD．
同理△ABC∽△ACD．
∴△ABC∽△CBD∽△ACD．
解：
例1：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，
请找出图中的相似三角形，并说明理由.
60°
例2：如图，△ABC、△DEF均为等边三角形，点
D、E分别在AB、BC上,请找出一个与△DBE相似的三角形，并给予证明.
分析：
60°
60°
60°
60°
60°
∠1＋∠2＝120°
∠3＋∠2＝120°
1
2
3
∵△ABC和△DEF均为等边三角形,
∴∠B=∠C=∠DEF=60°
∴∠1＋∠2＝120°
∠3＋∠2＝120°
∴∠1=∠3.
∴△DBE∽△ECH.
.
.
,
证明：
60°
60°
1
2
3
60°
判断题：
(1)所有的正三角形都相似.（
）
(2)有一个锐角对应相等的两个直角三角形
是相似三角形.
（
）
√
√
课堂练习
课堂练习
?
°
?
?
?
?
?
?
(3)顶角对应相等的等腰三角形是
相似的三角形（
）
(4)有一个角对应相等的等腰三角形
是相似的三角形.（
）
√
课堂练习
×
课后作业
1.如图,∠C=∠D,添加一个条件：
使得△ADE∽△ACB.
2.已知：如图，∠ABD=∠C，AD=2，
AC=8，求AB的长.
1.相似三角形判定定理：
两角分别相等，两三角形相似.
2.通过添加辅助线，把未知问题转化为已知问题，
体现了转化思想，转化思想也是学习数学过程中
常用的方法之一.
课堂小结
祝同学们学习进步！(共33张PPT)
相似三角形的判定（1）
初三年级
数学
复习回顾
A
l1
l2
l3
l5
l4
D
E
P
B
C
平行线分线段成比例基本事实：
三条平行线截两条直线，所得的
对应线段成比例.
复习回顾
平行线分线段成比例基本事实：
三条平行线截两条直线，所得的
对应线段成比例.
A
l1
l2
l3
l5
l4
D
E
P
B
C
∴
，
∵l1
∥l2∥l3，
复习回顾
平行线分线段成比例基本事实：
三条平行线截两条直线，所得的
对应线段成比例.
A
l1
l2
l3
l5
l4
D
E
P
B
C
.
∴
，
∵l1
∥l2∥l3，
平行线分线段成比例基本事实：
三条平行线截两条直线，所得的
对应线段成比例.
复习回顾
A
l1
l2
l3
l4
D
E
P
B
C
.
∴
，
∵l1
∥l2∥l3，
l5
复习回顾
平行线分线段成比例基本事实：
三条平行线截两条直线，所得的
对应线段成比例.
A
l1
l2
l3
l4
D
E
P
B
C
.
∴
，
∵l1
∥l2∥l3，
l5
平行线分线段成比例基本事实：
三条平行线截两条直线，所得的
对应线段成比例.
A
l1
l2
l3
l5
l4
D
E
P
B
C
复习回顾
.
∴
，
∵l1
∥l2∥l3，
∴
.
，
平行线分线段成比例基本事实：
三条平行线截两条直线，所得的
对应线段成比例.
A
l1
l2
l3
l5
l4
D
E
P
B
C
复习回顾
∵l1
∥l2∥l3，
C
B
A
E
D
复习回顾
∵DE∥BC，
C
B
A
E
D
推论：平行于三角形一边的直线，截其他两边所得
的对应线段成比例.
在△ABC中，
复习回顾
.
∴
.
，
猜想：△ADE与△ABC相似.
已知：在△ABC中，DE∥BC，并交AB，AC于点D，E.
求证：△ADE∽△ABC.
C
B
A
E
D
探究新知
对应角相等，对应边成比例的
两个三角形相似.
如何证明三角形相似？
定义：
复习回顾
C
B
A
E
D
∵∠A=∠A，∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
符号语言表述
复习回顾
∴△ADE∽△ABC.
C
B
A
E
D
如何证明三角形相似？
定义：
且
.
分析：还缺少什么条件？
DE∥BC
∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
已满足的条件？
所缺条件：
分析
C
B
A
E
D
∠A=∠A，
或
.
分析：
要证△ADE∽△ABC，只需证
与
中的一个相等.
探究新知
C
B
A
E
D
DE∥BC
已满足的条件：
所缺条件：
分析
∠A=∠A，
DF∥AC，FC∥DE，
FC
=
DE
四边形DECF是平行四边形
C
B
A
E
D
F
∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴FC
=
DE，
∴
又∵∠A=∠A，
.
∴△ADE∽△ABC.
∴
.
∴∠ADE=∠B，
∠AED=∠C.
证明：
∵
DE∥BC，
C
B
A
E
D
∵DE∥FC，
∴四边形DECF为平行四边形.
过D做DF∥AC，
交BC于F.
F
∴
.
.
∵
DF∥AC，
∴
定理：平行于三角形一边的直线截其他两边
所得的三角形，与原三角形相似.
收获新知
C
B
A
E
D
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
在△ABC中，
符号语言表述
定理：
平行于三角形一边的直线
截其他两边所得三角形与原三角形相似.
基本事实推论：
平行于三角形一边的直线
截其他两边所得对应线段成比例.
对比
相似
对应线段成比例
基本事实推论：
∴
∵DE∥BC，
在△ABC中，
.
，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
C
B
A
E
D
在△ABC中，
符号语言表述
对比
定理：
三角形相似
的判定方法
定义
∵∠A=∠A，∠B=∠ADE，
∠C=∠AED.
.
∴△ADE∽△ABC.
判定三角形相似所需条件.
定理
在△ABC中，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.
对比
C
B
A
E
D
定理应用
A
l1
l2
l3
l5
l4
D
E
P
B
C
M
例1：平移至如图所示位置时，写出图中的
相似三角形.
解：
D
E
A
P
∵AP∥DE，
∴△MAP∽△MDE.
1.在△MDE中，
定理应用
M
B
C
A
P
∵AP∥BC，
∴△MAP∽△MBC.
2.在△MBC中，
定理应用
解：
M
D
E
B
C
M
∵DE∥BC，
∴△MDE∽△MBC.
3.在△MBC中，
定理应用
解：
练习：在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，图中有
几组相似三角形？
其一：在△ABC中，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
定理应用
C
B
A
E
D
F
练习：在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，图中有
几组相似三角形？
其二：在△ABC中，
∵EF∥AB，∴△EFC∽△ABC.
定理应用
C
B
A
E
F
C
B
A
E
D
F
解：在△ABC中，
△ADE∽△ABC.
△EFC∽△ABC.
相似三角形共有三组.
定理应用
△EFC∽△ADE.
1.
定理：平行于三角形一边的直线，截其他两边所得的
三角形与原三角形相似.
3.
能从图形中找到适用定理的相似三角形并证明.
2.
理解定理的证明过程，能区分定理与基本事实推论.
总结
平行线分线段成比例
平行线分三角形
两边成比例
平行线截三角形
与原三角形相似
相似三角形定义
知识线索
定义
∵∠A=∠A，∠B=∠ADE，
∠C=∠AED.
∴△ADE∽△ABC.
定理
在△ABC中，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.
C
B
A
E
D
判定三角形相似的其他方法？？？
祝同学们学习进步！
