(共24张PPT)
二次函数的图象（5）
初三年级
数学
上下平移
左右平移
平移
二次函数图象之间的平移关系
（1）当a
>
0
时，抛物线开口向上；
当a
<
0
时，抛物线开口向下．
（2）抛物线对称轴是
x
=
h，
抛物线顶点的坐标是（h，k）．
二次函数
的图象
二次函数
的图象
是否可以平移得到？
例1
画出二次函数
的图象．
例1
画出二次函数
的图象．
解：
例1
画出二次函数
的图象．
于是，
解：
得，
∴
例1
画出二次函数
的图象．
x
y
…
…
…
…
3
3
1
3
0
6
2
2
4
6
直接画法：
解：
例1
画出二次函数
的图象．
直接画法：
解：
例1
画出二次函数
的图象．
x
y
…
…
…
…
1
1
-1
1
-2
4
0
0
2
4
平移画法：
解：
例1
画出二次函数
的图象．
平移画法：
解：
（0，0）?（2，2）
画出二次函数
的图象
(1)将一般式
化为顶点式
(2)再画出
的图象
一般步骤：
x
y
…
…
…
…
h
k
例2
将二次函数
化为顶点式．
解：
例2
将二次函数
化为顶点式．
解：
例2
将二次函数
化为顶点式．
解：
于是
解得
所以
例2
将二次函数
化为顶点式．
解：
二次函数一般式化为顶点式
配方法
顶点待定法
二次函数一般式化为顶点式
配方法
二次函数一般式化为顶点式
顶点待定法
于是
解得
所以
二次函数的图象
配方法
顶点待定法
对称轴
顶点坐标
例2
将二次函数
化为顶点式．
所以
解：
公式法
练习
二次函数
的图象如图，则（
）
A.
b>0,
c>0
B.
b>0,
c<0
C.
b<0,
c<0
D.
b<0,
c>0
又开口向上得：a>0
由与y轴交点在y轴负半轴上得：c<0
∴b<0
由对称轴在y轴右侧得：
C
小结
1.
二次函数一般式转化为顶点式，是画二次函数图象和研究二次函数图象平移关系的重要策略．
2.求对称轴以及顶点坐标，配方法、公式法、顶点待定法都是可行的方法．
3.二次函数不同形式中，注意将数a、h、k、b、c与图象的形状、位置、大小等表现结合起来．
作业
1.已知抛物线
，利用配方法求出它的对称轴和顶点坐标．
2.已知抛物线
．
（1）求出它的对称轴和顶点坐标；
（2）求它与y轴的交点C的坐标，以及与x轴的交点A和B的坐标．(共42张PPT)
二次函数的图象（4）
初三年级
数学
复习回顾
y=ax2
y=a(x-h)2
y=ax2+c
上或下平移
左或右平移
当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下.
顶点坐标
（0，0）
对称轴
y轴
y轴，（0，c）
x=h，（h，0）
复习引入
y=ax2
y=a(x-h)2+k
y=a(x-h)2
y=ax2+c
上或下平移
左或右平移
13
y=2(x-3)2-5
x
画图实践1
y=2(x-3)2+5
与
y=2(x-3)2-5
的图象和
y=2(x-3)2
的图象间的关系．
y=2(x-3)2
y=2(x-3)2+5
0
1
2
3
4
5
6
18
8
2
0
2
8
18
23
7
-3
3
13
23
13
13
3
-3
7
5
-5
二次函数
y=2(x-3)2+5的图象可以看做二次函数
y=2(x-3)2的图象向上平移5个单位得到的；
二次函数
y=2(x-3)2-5的图象可以看做二次函数
y=2(x-3)2的图象向下平移5个单位得到的．
(3，5)
(3，-5)
x=3
(3，0)
y=ax2
y=a(x-h)2+k
y=a(x-h)2
y=ax2+c
上或下平移
上或下平移
左或右平移
5
6
4
画图实践2
y=2(x-3)2+5
与
y=2(x+3)2-5
的图象和
y=2x2
的图象间的关系．
y=2x2
y=2(x-3)2+5
-2
-1
0
1
2
3
18
8
2
0
2
8
18
23
7
23
3
x
-3
1
2
5
0
x
13
13
7
二次函数
y=2(x-3)2+5的图象可以看做二次函数
y=2x2的图象经过向右平移3个单位，再向上平移5个单位得到的一条抛物线；
开口向上；
对称轴x=3，顶点坐标是（3，5）
y=2(3-3)2+5=5
（0，0）
（3，5）
-5
0
-2
画图实践2
y=2(x-3)2+5
与
y=2(x+3)2-5
的图象和
y=2x2
的图象间的关系．
y=2x2
y=2(x+3)2-5
-2
-1
0
1
2
3
18
8
2
0
2
8
18
13
-3
13
-3
x
-3
-5
-4
-1
-6
x
3
3
-3
二次函数
y=2(x+3)2-5的图象可以看做二次函数
y=2x2的图象经过向左平移3个单位，再向下平移5个单位得到的一条抛物线．
开口向上；
对称轴x=-3，顶点坐标是（-3，-5）
画图实践3
y=a(x-h)2+k
y=ax2
y=a(x-h)2+k
y=ax2
a=0.72
h=-3
k=3
y=a(x-h)2+k
a=0.72
h=-1
k=3
y=ax2
y=a(x-h)2+k
a=0.72
h=2
k=3
y=ax2
y=a(x-h)2+k
a=0.72
h=2
k=-2
y=ax2
a=-0.9
h=-3
k=3
y=a(x-h)2+k
y=ax2
a=-0.9
h=1
k=3
y=a(x-h)2+k
y=ax2
a=-0.9
h=2
k=3
y=a(x-h)2+k
y=ax2
a=-0.9
h=-2
k=3
y=a(x-h)2+k
y=ax2
1.当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下.
一般地，二次函数
y=a(x-h)2+k的图象可以看做二次函数
y=ax2的图象经过向左（或右）、向上（或下）平移而得到的一条抛物线，它有如下特点：
y=a(x-h)2+k
y=ax2
一般地，二次函数
y=a(x-h)2+k的图象可以看做二次函数
y=ax2的图象经过向左（或右）、向上（或下）平移而得到的一条抛物线，它有如下特点：
2.抛物线的对称轴是x=h，顶点坐标是（h，k）.
y=a(x-h)2+k
y=ax2
左（或右）、上（或下）平移
y=ax2+k
知识总结
y=ax2
y=a(x-h)2+k
y=a(x-h)2
y=ax2+c
上或下平移
上或下平移
左或右平移
？
二次函数
y=2(x-3)2+5的图象也可以看做二次函数
y=2x2的图象经过向上平移5个单位，再向右平移3个单位得到的一条抛物线．
左（或右）、上（或下）平移
左或右平移
知识总结
y=ax2
y=a(x-h)2+k
y=a(x-h)2
y=ax2+k
上或下平移
上或下平移
左或右平移
例.已知二次函数
例题讲解
（1）指出它的图象可以看做是函数
的图象经过怎样的变换而得到的；
（2）指出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）求出图象与坐标轴的交点坐标，
并画出它的示意图．
例题讲解
右1
上8
（1）
解：它可以看做是
的图象向右平移1个单位，再向上平移8个单位而得到的．
（0，0）
（1，8）
右1，上8
a=
<0，h=1，k=8
解：抛物线的开口向下，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，8）．
二次函数
的表达式中
例题讲解
（2）指出图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
例题讲解
（3）
解：在
中，令y=0,得
解得，x1=-3，x2=5.
所以抛物线与x轴的交点有两个，它们的坐标分别为（-3，0）和（5，0）．
（3）求出图象与坐标轴的交点坐标，并画出它的示意图．
例题讲解
（3）
解：在
中，令x=0，得
所以抛物线与y轴的交点坐标为（0，
）．
（3）
-3
5
7.5
练习
1.指出二次函数y=-2(x-3)2+1和y=-2(x+3)2-1的图象之间有怎样的关系，画出示意图．
y=-2(x-3)2+1
y=-2(x+3)2-1
y=-2x2
右3上1
左3下1
下1左3
y=-2(x-3)2+1的图象向左平移6个单位，再向下平移2个单位可以得到y=-2(x+3)2-1的图象．
练习
（3，1）
（-3，-1）
左6，下2
1.指出二次函数y=-2(x-3)2+1和y=-2(x+3)2-1的图象之间有怎样的关系，画出示意图．
练习
y=-2(x-3)2+1
y=-2(x+3)2-1
1
-3
-1
3
2.指出下列二次函数的开口方向、对称轴和顶点坐标
（1）
（2）
向下
x=
（
，1）
向上
x=-3
（-3，-5）
练习
y=a(x-h)2+k
左（或右）、上（或下）平移
总结提升
y=ax2
y=a(x-h)2+k
y=a(x-h)2
y=ax2+k
上或下平移
左或右平移
上或下平移
左或右平移
一般与特殊的关系
当k=0
，h=0
，y=ax2
y=a(x-h)2+k
当k=0
，
y=a(x-h)2
当h=0
，
y=ax2+k
顶点式
总结提升
总结提升
y=a(x-h)2+k图象的特征
开口方向
当a>0时，开口向上
当a<0时，开口向下
顶点坐标
对称轴
x=h
（h，k）
思考
y=x2-4x+4
y=x2-4x+6
作业
写出下列抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴，并画出它们的示意图.
祝同学们学习进步！(共64张PPT)
二次函数的图象（2）
初三年级
数学
二次函数y=ax2
(a≠0)的图象特征.
y轴
（0
，0）
开口方向
对称轴
顶点坐标
抛物线
形状
复习回顾
a的符号决定
a＞0，向上
a＜0，向下
y=ax2
+c(a≠0)
y=ax2
(a≠0)
b=0，c=0
b=0，c≠0
y=ax2+bx+c(a≠0)
在同一坐标系中，作出下列函数的图象：
（2）y=-2x2+3
（3）y=-2x2-3
（1）y=-2x2
探索新知
…
-2
-1
0
1
2
…
y=-2x2
-2
…
-8
-2
0
…
-8
解：列表
x
（1）y=-2x2
（-2，-8）
（-1，-2）
（0，0）
（1，-2）
（2，-8）
描点
y=-2x2
连线
在同一坐标系中，作出下列函数的图象：
（2）y=-2x2+3
（3）y=-2x2-3
（1）y=-2x2
探索新知
…
-2
-1
0
1
2
…
x
y=-2x2+3
1
…
-5
1
3
…
-5
列表
-5
…
-11
-5
-3
…
-11
y=-2x2-3
描点
（-2，-5）
（-1，1）
（0，3）
（1，1）
（2，-5）
描点
（-2，-5）
（-1，1）
（0，3）
（1，1）
（2，-5）
描点
（-2，-5）
（-1，1）
（0，3）
（1，1）
（2，-5）
描点
（-2，-5）
（-1，1）
（0，3）
（1，1）
（2，-5）
描点
（-2，-5）
（-1，1）
（0，3）
（1，1）
（2，-5）
描点
（-2，-5）
（-1，1）
（0，3）
（1，1）
（2，-5）
连线
y=-2x2+3
…
-2
-1
0
1
2
…
x
y=-2x2+3
1
…
-5
1
3
…
-5
列表
-5
…
-11
-5
-3
…
-11
y=-2x2-3
描点
（-2，-11）
（-1，-5）
（0，-3）
（1，-5）
（2，-11）
y=-2x2+3
描点
y=-2x2+3
（-2，-11）
（-1，-5）
（0，-3）
（1，-5）
（2，-11）
描点
y=-2x2+3
（-2，-11）
（-1，-5）
（0，-3）
（1，-5）
（2，-11）
描点
y=-2x2+3
（-2，-11）
（-1，-5）
（0，-3）
（1，-5）
（2，-11）
描点
y=-2x2+3
（-2，-11）
（-1，-5）
（0，-3）
（1，-5）
（2，-11）
连线
y=-2x2-3
y=-2x2+3
形状是抛物线
思考：
问题1：
二次函数y=-2x2+3与y=-2x2-3的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标各是什么？
y=-2x2-3
y=-2x2+3
x
开口
方向
对称轴
顶点
坐标
向下
向下
y=-2x2+3
y=-2x2-3
y=-2x2-3
y=-2x2+3
y轴
y轴
（0，3）
（0，-3）
x
…
-2
-1
0
1
2
…
-5
1
…
-5
1
3
…
-5
…
-11
-5
-3
…
-11
y=-2x2-3
y=-2x2+3
y=-2x2+3
y=-2x2-3
x
…
-2
-1
0
1
2
…
-5
1
…
-5
1
3
…
-5
…
-11
-5
-3
…
-11
y=-2x2-3
y=-2x2+3
y=-2x2+3
y=-2x2-3
y=-2x2-3
y=-2x2+3
x
开口
方向
对称轴
顶点
坐标
向下
向下
y=-2x2+3
y=-2x2-3
y轴
y轴
（0，3）
（0，-3）
对称轴
x
…
-2
-1
0
1
2
…
-5
1
…
-5
1
3
…
-5
…
-11
-5
-3
…
-11
y=-2x2-3
y=-2x2+3
y=-2x2+3
y=-2x2-3
y=-2x2-3
y=-2x2+3
x
开口
方向
对称轴
顶点
坐标
向下
向下
y=-2x2+3
y=-2x2-3
y轴
y轴
（0，3）
（0，-3）
顶点坐标
问题2：
二次函数y=-2x2+3，y=-2x2-3与y=-2x2的图象有哪些相同之处和不同之处.
思考：
开口方向相同
对称轴相同
相同之处：
y=-2x2
y=-2x2+3
形状相同
y=-2x2-3
顶点坐标不同
不同之处：
y=-2x2
y=-2x2+3
y=-2x2-3
（0，-3）
（0，0）
（0，3）
（0，-3）
（0，0）
（0，3）
y=-2x2
y=-2x2+3
y=-2x2-3
向下平移3个单位
向上平移3个单位
思考：
问题3：
二次函数y=-2x2+3，y=-2x2-3的图象可由y=-2x2的图象平移得到吗？
抛物线y=-2x2+3与y=-2x2
y=-2x2
y=-2x2+3
抛物线y=-2x2+3与y=-2x2
y=-2x2
y=-2x2+3
抛物线y=-2x2+3与y=-2x2
y=-2x2
y=-2x2+3
抛物线y=-2x2+3与y=-2x2
y=-2x2
y=-2x2+3
抛物线y=-2x2+3与y=-2x2
y=-2x2
y=-2x2+3
抛物线y=-2x2+3与y=-2x2
y=-2x2
y=-2x2+3
抛物线y=-2x2+3与y=-2x2
y=-2x2
y=-2x2+3
…
-2
-1
0
1
2
…
x
y=-2x2
-2
…
-8
-2
0
…
-8
列表
y=-2x2+3
1
…
-5
1
3
…
-5
函数y=-2x2+3
的图象可由y=-2x2的图象向上平移3个单位长度得到.
结论：
y=-2x2
y=-2x2-3
抛物线y=-2x2-3与y=-2x2
抛物线y=-2x2-3与y=-2x2
y=-2x2
y=-2x2-3
抛物线y=-2x2-3与y=-2x2
y=-2x2
y=-2x2-3
抛物线y=-2x2-3与y=-2x2
y=-2x2
y=-2x2-3
抛物线y=-2x2-3与y=-2x2
y=-2x2
y=-2x2-3
抛物线y=-2x2-3与y=-2x2
y=-2x2
y=-2x2-3
抛物线y=-2x2-3与y=-2x2
y=-2x2
y=-2x2-3
…
-2
-1
0
1
2
…
x
y=-2x2
-2
…
-8
-2
0
…
-8
列表
-5
…
-11
-5
-3
…
-11
y=-2x2-3
函数y=-2x2-3
的图象可由y=-2x2的图象向下平移3个单位长度得到.
结论：
探索新知
在同一坐标系中，作出二次函数
和
的图象，并指出它们和函数
的图象有怎样的位置关系.
函数
的图象可由
的图象向下平移2个
单位长度得到.
函数
的图象可由
的图象向上平移5个
单位长度得到.
（0，-2）
（0，0）
（0，5）
向上平移，3个单位
向下平移，3个单位
上加
下减
向上平移，5个单位
向下平移，2个单位
归纳总结
思考：
y=ax2
+c
(a≠0)
y=ax2
(a≠0)
c＞0，向上平移
c＜0，向下平移
平移距离
|c|
二次函数y=ax2
(a≠0)与y=ax2
+c(a≠0)的图象有什么关系？
向下
y轴
开口
方向
对称轴
顶点
坐标
抛物线
形状
（0，
3）
（0，-3）
a的值
c的值
3
-3
y轴
向下
-2
-2
抛物线
抛物线
（0，5）
5
y轴
向上
抛物线
向上
y轴
-2
（0，-2）
a＞0，向上
a＜0，向下
y轴
开口方向
对称轴
顶点坐标
抛物线
形状
（0
，c）
归纳总结
二次函数y=ax2+c
(a≠0)的图象特征
新知应用
1.抛物线y=-6x2-4可以看做是由抛物线y=-6x2的图象
平移
单位得到.
向下
4个
2.将抛物线y=3x2向上平移2个单位得到的抛物线的表达式是
，它的开口方向是
，对称轴是
，顶点坐标是
.
向上
y轴
（0，2）
y=3x2+2
新知应用
课堂小结
1.二次函数y=ax2+c
(a≠0)的图象可由y=ax2
(a≠0)的图象平移得到.
平移方向
c的符号决定
平移距离
c的绝对值决定
2.二次函数y=ax2+c
(a≠0)的图象特征
课堂小结
a的符号决定
a＞0，向上
a＜0，向下
y轴
开口方向
对称轴
顶点坐标
抛物线
形状
（0
，c）
课后练习
在同一坐标系中，作出下列两个函数的图象，并指出它们的图象和y=-3x2的图象之间有怎样的关系.
(1)
y=-3x2+7
(2)
y=-3x2-7
祝同学们学习进步！(共34张PPT)
二次函数的图象（8）
初三年级
数学
复习引入
1.二次函数的表达式表示形式：
2.灵活选用表示形式，求解函数表达式.
（1）二次函数图象经过点(0，5)，(2，3)，(-1，1).
（2）二次函数图象经过点(-2，0)，(4，0)，(3，1)
.
（3）二次函数图象经过点(6，0)
，顶点坐标为(4，-8).
一般式
(a≠0)
顶点式
(a≠0)
2.灵活选用表示形式，求解函数表达式.
（1）二次函数图象经过点(0，5)，(2，3)，(-1，1).
复习引入
解得
∴函数表达式为
.
解：设
由题知
2.灵活选用表示形式，求解函数表达式.
（2）二次函数图象经过点(-2，0)，(4，0)，(3，1).
复习引入
解：设
解得
∴函数表达式为
.
由题知
2.灵活选用表示形式，求解函数表达式.
（2）二次函数图象经过点(-2，0)，(4，0)，(3，1).
复习引入
由题知
解：设
复习引入
由题知
解：设
2.灵活选用表示形式，求解函数表达式.
（2）二次函数图象经过点(-2，0)，(4，0)，(3，1).
复习引入
由题知
解：设
解得
∴函数表达式为
.
2.灵活选用表示形式，求解函数表达式.
（2）二次函数图象经过点(-2，0)，(4，0)，(3，1).
2.灵活选用表示形式，求解函数表达式.
（3）二次函数图象经过点(6，0)
，顶点坐标为(4，-8).
复习引入
解：设
由题知
，
解得
a
=
2
.
∴函数表达式为
.
2.灵活选用表示形式，求解函数表达式.
（3）二次函数图象经过点(6，0)
，顶点坐标为(4，-8).
复习引入
（6，0）
（2，0）
2.灵活选用表示形式，求解函数表达式.
（1）二次函数图象经过点(0，5)，(2，3)，(-1，1).
复习引入
（2）二次函数图象经过点(-2，0)，(4，0)，(3，1).
（3）二次函数图象经过点(6，0)
，顶点坐标为(4，-8).
例1.已知二次函数的图象如图，则此函数的表达式为
.
新知探索
(-1，0)，(1，4)
3
(3，0)
解：将抛物线
转化为顶点式得
.
例2.将抛物线
向左平移4个单位，再向下平移3个单位，求平移后的抛物线表达式.
∵顶点（-1，5）向左平移4个单位得点
再向下平移3个单位得到
∴平移后的抛物线表达式为
（-5，5），
（-5，2），
例3.当抛物线
的顶点在x轴上时，求该抛物线的表达式.
例3.当抛物线
的顶点在x轴上时，求该抛物线的表达式.
解：∵
又抛物线的顶点在x轴上，
∴-m+1=0，解得m=1
.
∴抛物线表达式为
.
例3.当抛物线
的顶点在x轴上时，求该抛物线的表达式.
待定系数确定二次函数的表达式，从一般式到顶点式，给出的条件可能会很隐蔽，需要我们认真挖掘，充分结合函数简图来解决问题，要重视培养随手画图的习惯.在多种解题方法的选择上，尽量选取计算量相对较小的，降低出错的概率.
温馨提示
1.求与
的图象形状相同，但开口方向不同，且顶点坐标是（1，0）的抛物线表达式.
解：设抛物线的表达式为
(a≠0).
∵两个图象的形状相同，开口方向不同，
∴a=2.
则抛物线的表达式为
.
巩固练习
形状相同，开口方向不同
a值互为相反数
抛物线沿x轴(平行于x轴的某条直线)翻折
形状相同
关于x轴对称
关于y轴对称
关于原点对称
形状相同，开口方向不同
a值互为相反数
抛物线沿x轴(平行于x轴的某条直线)翻折
形状相同
关于x轴对称
关于y轴对称
关于原点对称
请同学们任意选择上述语句，进行练习1的题目改编，并求出对应的二次函数表达式.
变式：求与
的图象关于直线x=1对称的抛物线的表达式.
巩固练习
变式：求与
的图象关于直线x=1对称的抛物线的表达式.
巩固练习
变式：求与
的图象关于直线x=1对称的抛物线的表达式.
解：设抛物线的表达式为
(a≠0).
由题知
a
=-2
.
∴h
=5
巩固练习
∵原图象的顶点坐标是（-3，0），关于直线x=1的对称点为（5，0），
即抛物线的表达式为
.
2.抛物线
的开口向下，和x轴交于A，B两点，并且对称轴为x=-1.
满足
（任意添加条件，并求解该抛物线表达式）
巩固练习
解得
∴抛物线表达式为
.
2.抛物线
的开口向下，和x轴交于A，B两点，并且对称轴为x=-1.
满足
（任意添加条件，并求解该抛物线表达式）
抛物线过点A
（1，0）
巩固练习
若抛物线和y轴交于C，求△ABC的面积.
1.确定二次函数表达式可以有哪些选择？
2.选用不同表达式的已知条件特点是什么？
一般式、顶点式
3.数形结合思想的运用等.
顶点、对称轴、最高（低）点、平移等
任意三点
(一般式)
(顶点式)
顶点坐标公式
课堂小结
课后作业
1.根据下列条件，分别求二次函数的表达式：
（1）函数图象和抛物线
关于x轴对称；
（2）函数图象和抛物线
关于y轴对称.
2.抛物线
的开口向下，和x轴交于A，B两点，并且对称轴为x=-1，菱形ACBD中的点C是抛物线的顶点，若菱形的对角线的长分别是AB=6和CD=8，求这个二次函数的表达式.
课后作业
祝同学们学习进步！(共57张PPT)
二次函数的图象（1）
初三年级
数学
知识回顾
二次函数：形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数叫二次函数，其中a，b分别是二次项、一次项系数，c是常数项．
二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）自变量的取值范围是全体实数．
1.什么叫二次函数?其自变量的取值范围是什么?
2．在函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，若b=0，或c=0，
或b，c同时为0，函数表达式是什么样呢？
b=0时，
y=ax2+c（a≠0)
c=0时，
y=ax2+bx（a≠0)
b=0，c=0时，
y=ax2（a≠0)
知识回顾
探究新知
(2)函数自变量的取值范围是什么？函数y的取值范围是什么？因此，函数图象大约会分布在哪几个象限？为什么？
探究函数y=ax2（a
≠
0）的图象
1．分析二次函数y=x2的表达式，思考下列问题：
(1)它的图象是否通过原点，为什么？
探究新知
1．分析二次函数y=x2的表达式，思考下列问题：
函数y=x2的图象通过原点，因为当x=0时，y=0．
函数图象过（0，0）点，也就是原点．
探究y=ax2（a
≠
0）的图象
(1)它的图象是否通过原点，为什么？
(2)函数自变量的取值范围是什么？函数y的取值范围是什么？因此，函数图象大约会分布在哪几个象限？为什么？
函数y=x2自变量的取值范围是全体实数，y的取值范围是非负数．因为无论x取何值，x2≥0即y≥0，所以函数图象分布在第一、第二象限．
探究y=ax2（a
≠
0）的图象
探究新知
1．分析y=x2的表达式，思考下列问题：
探究y=ax2（a
≠
0）的图象
2.作出函数y=x2的图象
画函数图象的步骤：列表、描点、连线
探究新知
…
x
-2
-1
0
1
2
y=x2
…
列表
…
…
列表
x
-2
-1
0
1
2
y=x2
0
…
…
列表
x
-2
-1
0
1
2
y=x2
0
…
…
列表
x
-2
-1
0
1
2
y=x2
0
1
…
…
列表
x
-2
-1
0
1
2
y=x2
0
1
4
…
…
…
列表
x
-2
-1
0
1
2
y=x2
0
1
4
…
…
…
…
列表
x
-2
-1
0
1
2
y=x2
4
1
0
1
4
…
…
…
…
观察所列表格，有什么特点，那么函数y=x2会有什么特点？为什么？进而推测函数图象y=x2会有什么特点？
x
-2
-1
0
1
2
y=x2
4
1
0
1
4
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y=x2
…
4
1
0
1
4
…
x
…
-2
-1
0
1
2
…
y=x2
…
4
1
0
1
4
…
大家观察y=x2的图象，是否与你之前分析的结果一致？
y=x2
3.归纳函数y=x2的图象特征
二次函数y=x2的图象是通过原点、分布在第一、第二象限，以y轴为对称轴的一条曲线
y=x2
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=-x2
…
…
…
…
y=-2x2
…
…
例1
在同一坐标系中，作出下列函数图象
（1）y=-x2
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=-x2
…
…
0
（1）y=-x2
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=-x2
…
-1
0
-1
…
（1）y=-x2
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=-x2
…
-4
-1
0
-1
-4
…
（1）y=-x2
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=-x2
…
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
…
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y=-x2
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
（1）y=-x2
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y=-x2
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
（1）y=-x2
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y=-x2
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
（1）y=-x2
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y=-x2
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
（1）y=-x2
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y=-x2
-9
-4
-1
0
-1
-4
-9
（1）y=-x2
y=-x2
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
0
…
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
0
…
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
6
0
6
…
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
…
6
0
6
…
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
6
0
6
y=-x2
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
6
0
6
y=-x2
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
6
0
6
y=-x2
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
6
0
6
y=-x2
（3）y=-2x2
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=
-2x2
…
…
（3）y=-2x2
x
…
-3
-2
-1
0
1
2
3
…
y=
-2x2
…
-18
-8
-2
0
-2
-8
-18
…
（3）y=-2x2
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y=
-2x2
-18
-8
-2
0
-2
-8
-18
y=-x2
（3）y=-2x2
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
y=
-2x2
-18
-8
-2
0
-2
-8
-18
观察这三个函数的图象，它们有什么共同点和不同点：
y=-x2
y=-2x2
共同点：它们都是通过原点，对称轴是y轴（x=0）的一条曲线．
抛物线：我们称这条曲线为抛物线．二次函数的图象是抛物线．
顶点：抛物线与对称轴的交点叫抛物线的顶点．
y=-x2
y=-2x2
不同点：
①当a>0时，抛物线开口向上
当a<0时，抛物线开口向下
②当a>0时，抛物线的顶点是最低点
当a<0时，抛物线的顶点是最高点
y=-x2
y=-2x2
归纳：函数y=ax2（a≠0）的图象是一条顶点是原点，对称轴是y轴的抛物线．
y=-2x2
y=-x2
巩固练习
1．在同一坐标系内作出下列函数图象，并结合图象指出函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．
x
0
0
0
x
-１
0
１
0
0
x
-2
-１
0
１
2
2
0
2
-2
0
-2
x
-3
-2
-１
0
１
2
3
2
0
2
-2
0
-2
x
…
-3
-2
-１
0
１
2
3
…
…
2
0
2
…
…
-2
0
-2
…
2.不画图象，直接指出下列二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标．
开口方向
对称轴
顶点
向上
向下
向下
y轴
y轴
y轴
(0,0)
(0,0)
(0,0)
四、归纳小结
1．函数y=ax2（a≠0）的图象是一条顶点是原点，对称轴是y轴的抛物线．当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线开口向下．a的绝对值越大开口越小，a的绝对值越小开口越大．
2.在今后的学习中如果遇到y=ax2（a≠0）的函数，应该对称着列表、对称着描点，对称着画图.
如果遇到一个从未见过的函数，应该先分析函数的表达式、观察所列表格，分析图象在坐标系内的大概分布，然后作图研究.
四、归纳小结
（1）y=3x2
；（2）y=-2x2
；
（3）y=
x2
作业：
1．在同一坐标系内作出下列函数图象，并结合图象指出函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标．
祝大家学习进步
