12.3 角平分的性质 课件（共35张PPT）

(共37张PPT)
人教版
八年级上
角平分线的性质
小明家刚好位于两条公路所成角的平分线上，现在小明要步行到公路上坐车去两条公路交汇处的超市。
问题1：他该怎样走到公
路1最节省时间
呢？到公路2呢？
公路2
公路1
问题2：你知道走哪条路最
近吗？
超市
情景导入
用纸剪一个角，把纸片对折，使角的两边叠合在一起，把对折后的纸片继续折一次，折出一个直三角形（使第一次的折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕.
动手与操作
情景导入
公路2
公路1
超市
情景导入
探索新知
PD
PE
第一位同学
第二位同学
第三位同学
…
观察表格中的数据说说你有什么发现？
探索新知
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
当真如此吗？
探索新知
公路2
公路1
超市
几何模型
2
1
O
A
B
P
你能用所学过的方法证明PA=PB吗？
证明：∵
OP是∠AOB的平分线
∴∠1=∠2
在△OAP和△OBP中
∠1=
∠2（已证）
∴
△
OAP≌
△
OBP（AAS）
∴
PA=PB（全等三角形对应边相等）
∵
PA⊥OA于A，PB⊥OB于B
∴∠OAP=∠OBP=90°
∠
OAP=
∠
OBP（已证）
OP=OP（公共边）
探索新知
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
PD
⊥OA于D
，
PE
⊥OB于E
∵OP平分∠AOB
∴PD=PE.
几何语言：
一平分
两垂直
得相等
（角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
A
O
B
P
E
D
总结新知
1
2
3
4
5
6
幸运5+1
6个金蛋任你选择，其中1个金蛋是直接通关，
其余5个金蛋有相应的题目，答对奖励卡片，答
错则机会属于别人，看谁是幸运的那一个！
6
游戏通关
∵
如图，AD平分∠BAC
∴
=
，
（角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
BD
CD
×
判断
游戏通关
1
2
3
4
5
6
幸运5+1
6个金蛋任你选择，其中1个金蛋是直接通关，
其余5个金蛋有相应的题目，答对奖励卡片，答
错则机会属于别人，看谁是幸运的那一个！
5
游戏通关
∵
如图，
DC⊥AC于C，DB⊥AB于B
∴
=
，
（角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
BD
CD
×
判断
游戏通关
1
2
3
4
5
6
幸运5+1
6个金蛋任你选择，其中1个金蛋是直接通关，
其余5个金蛋有相应的题目，答对奖励卡片，答
错则机会属于别人，看谁是幸运的那一个！
4
游戏通关
恭喜你，直接通关！
游戏通过
1
2
3
4
5
6
幸运5+1
6个金蛋任你选择，其中1个金蛋是直接通关，
其余5个金蛋有相应的题目，答对奖励卡片，答
错则机会属于别人，看谁是幸运的那一个！
3
游戏通关
∵
AD平分∠BAC,DC⊥AC于C
∴
=
，
（角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
BD
CD
×
判断
游戏通关
1
2
3
4
5
6
幸运5+1
6个金蛋任你选择，其中1个金蛋是直接通关，
其余5个金蛋有相应的题目，答对奖励卡片，答
错则机会属于别人，看谁是幸运的那一个！
2
游戏通关
∵
AD平分∠BAC,
DB⊥AB于B，DC⊥AC于C
∴
=
，
（角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等）
BD
CD
√
判断
游戏通关
1
2
3
4
5
6
幸运5+1
6个金蛋任你选择，其中1个金蛋是直接通关，
其余5个金蛋有相应的题目，答对奖励卡片，答
错则机会属于别人，看谁是幸运的那一个！
1
游戏通关
如图，点D、B分别在∠EAF的两边上，C是∠EAF内一点，AB
=
AD，BC
=
DC，CE⊥AD于E，CF⊥AF于F.
求证：CE
=
CF.
游戏通关
证明：在△ABC和△ADC中
AB=AD（已知）
BC=DC
（已知）
AC=AC（公共边）
∴
△ABC≌
△ADC（SSS）
∴∠1=∠2（全等三角形对应角相等）
∴AC平分∠DAB
∵CE⊥AD于E,CF⊥AF于F
∴CE=CF(角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等)
A
B
C
D
E
F
2
1
游戏通关
既然角平分线如此有用，我们该如何做一个角的平分线呢？
探索新知
如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC。
A
D
B
C
E
A
D
B
C
E
A
D
B
C
E
角平分仪的原理是什么呢？
探索新知
证明：在△ACD和△ACB中
AD=AB（已知）
DC=BC（已知）
AC=AC（公共边）
∴
△ACD≌
△ACB（SSS）
∴∠CAD=∠CAB
（全等三角形对应角相等）
∴AC平分∠DAB
A
D
B
C
E
探索新知
根据角平分仪的制作原理怎样用尺规作一个角的平分线？
D
A
B
E
C
1.把角平分仪放在角的两边时，角平分仪两边AB=AD从几何作图角度怎么画？
2.BC=DC从几何作图角度怎么画？
3.射线OC与角平分仪中的AE代表
同一条射线吗？
O
A
B
C
探索新知
２.分别以点Ｍ，Ｎ为圆心.大于
ＭＮ的长为半径画弧.两弧在∠AOB的内部交于点Ｃ.
A
Ｂ
Ｏ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
方法：
１.以点Ｏ为圆心，适当长为半径画弧，交ＯＡ于点Ｍ，交ＯＢ于点Ｎ.
３.作射线OC.
则射线ＯＣ即为所求.
盖理同角平分仪也！
△OMC≌△ONC(SSS)
探索新知
动手试试画出平角∠AOB的平分线。
通过上面的步骤，得射线OC以后，把它反向延长得到直线CD，直线CD与直线AB是什么关系？
B
A
O
C
D
结论
作平角的平分线即可平分平角，也是过直线上一点作这条直线的垂线的方法。
探索新知
如图∠C=
90°
，AD平分∠
CAB，DE⊥AB于点E。若
BD=2DE=6，求BC的长度。
A
B
C
D
E
课堂训练
A
B
C
D
E
解：∵∠C=
90°
∴AC⊥BC于C
又∵AD平分∠
CAB，
DE⊥AB于E
∴DC=DE
(角的平分线上的点到这个角
的两边的距离相等)
又∵BD=2DE=6
∴DC=DE=3
∴BC=BD+DC=6+3=9
课堂训练
如图，在△ABC中，∠B=90°，AC=10，AD是△ABC的一条角平分线。若BD=3，则求△ACD的面积。
A
B
D
C
E
课堂训练
A
B
D
C
E
E
解：过点D作DE⊥AC于E
∵∠B=
90°
∴AB⊥BC于B
又∵AD平分∠BAC，BD=3
∴DE=BD=3
(角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等)
∵AC=10
∴S△ACD=
AC
DE
=
10
3
=15
×
×
×
×
1
2
1
2
课堂训练
如图，已知AP、CP分别是△ABC的外角∠DAC、∠ECA的平分线，PM⊥BD，PN⊥BE，垂足分别为M、N，那么PM与PN的数量关系是什么？
B
C
P
A
M
N
E
D
Q
课堂训练
解：过点P作PQ⊥AC于Q
∵PM⊥AD于M,
AP平分∠
DAC
∴PM=PQ
(角的平分线上的点到这
个角的两边的距离相等)
同理可证PQ=PN
∴PM=PQ=PN
即PM=PN
思考
点P在∠B的平分线上吗？
B
C
P
A
M
N
E
D
课堂训练
2、画一个已知角的角平分线
及画一条已知直线的垂线
1、角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
3、角平分线的应用
谈谈这节课你有什么收获？
课堂小结
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