初中数学北师大版九年级上学期 第二章 2.3 用公式法求解一元二次方程
一、单选题
1．（2019九上·高要期中）小丽同学想用公式法解方程-x2+3x=1，你认为a、b、c的值应分别为（ ）
A． 、3、 B． 、3、1
C． 、 、 D．1、 、
2．（2019·内江）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程 的一根，则此三角形的周长是（ ）
A．16 B．12 C．14 D．12或16
3．（2019·广西模拟）已知一元二次方程x2-x-3=0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是（ ）
A．-2< x1<-1 B．-3< x1<-2 C．2< x1<3 D．-1< x10
4．（2018-2019学年数学人教版九年级上册21.2.2 解一元二次方程（2） 同步训练）方程2x2-6x+3=0较小的根为p，方程2x2-2x-1=0较大的根为q，则p+q等于（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
二、填空题
5．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册第22章 一元二次方程单元检测b卷）如图，长方形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（ ，1）点D是AB边上一个动点（与点A不重合），沿OD将△OAD对折后，点A落到点P处，并满足△PCB是等腰三角形，则P点坐标为 ．
三、计算题
6．（2019·番禺模拟）先化简，再求值： ，其中 是方程 的实数根.
7．（2019九上·珠海开学考）
（1）用配方法解方程： ；
（2）用公式法解方程： .
8．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.2 一元二次方程的解法（3） 同步练习）已知关于x的方程是ax2-3（a-1）x-9=0．
（1）证明：不论a取何值，总有一个根是x=3；
（2）当a≠0时，利用求根公式求出它的另一个根．
四、综合题
9．（2018八上·长兴月考）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD·
（1）若∠A=28°，求∠ACD的度数．
（2）设BC=a，AC=b.线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根吗？说明理由。
10．（2018-2019学年数学浙教版七年级上册 第五章一元一次方程 单元测试卷）甲、乙两人同时从环形跑道上同一点出发，沿顺时针方向跑步，甲的速度比乙快，过一段时间，甲第一次从背后追上乙，这时甲立即背转方向，以原来的速度沿逆时针方向跑去，当两人再次相遇时，乙恰好跑了四圈，求甲的速度是乙的几倍？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵-x2+3x=1，
∴-x2+3x-1=0，
∴a=-1，b=3，c=-1，
故答案为：A．
【分析】根据公式法，a、b、c对应，解出a、b、c的值。
2．【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解方程 ，得： 或 ，
若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形；
若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16，
故答案为：A．
【分析】先求出方程的根，然后根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系求出三角形的三边长度，从而求出三角形的周长.
3．【答案】A
【知识点】无理数的估值；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵a=1，b=-1，c=-3，
∴b2-4ac=(-1)2-4×1×(-3)=13＞0，
∴x=，
∵ 一元二次方程x2-x-3=0的较小根为x1
∴x1=，
∵，
∴ -2< <-1，
即 -2< x1<-1。
故答案为：A。
【分析】利用求根公式法算出方程的两根，根据 一元二次方程x2-x-3=0的较小根为x1 即可求出x1的值，根据算术平方根的性质，故算出x1的大小，从而得出答案。
4．【答案】B
【知识点】代数式求值；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】2x2－6x＋3＝0，
这里a＝2，b＝－6，c＝3，
∵△＝36－24＝12，
∴x＝ ＝ ，
即p＝ ；
2x2－2x－1＝0，
这里a＝2，b＝－2，c＝－1，
∵△＝4＋8＝12，
∴x＝ ＝ ，
即q＝ ；
则p＋q＝ ＋ ＝2．
故答案为：B
【分析】分别利用公式法解出题干中的两个方程，根据方程2x2-6x+3=0较小的根为p，方程2x2-2x-1=0较大的根为q，得出p，q的值，再代入代数式即可算出答案。
5．【答案】（ ， ）或（ ，﹣ ）
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：连接PB，PC，
① 若PB=PC，则P在BC的中垂线y= 上，
∴设P（x， ），
如图，过P作PH⊥x轴于H，
在Rt△OPH中，PH= ，OH=x，OP=1，
∴x2+ =1，
解得：x1= ，x2=﹣ （不合题意），
∴P（ ， ）；
②若BP=BC，则BP=1，连接OB，
∵OP=1，
∴OP+PB=2，
∵在Rt△OBC中，∠OCB=90°，OB= =2，
∴OP+PB=OB，
∴O，P，B三点共线，P为线段OB中点．
又∵B（ ，1），
∴P（ ， ）；
③若CP=CB，则CP=1，
∵OP=1，
∴PO=PC，则P在OC的中垂线x= 上，
∴设P（ ，y）．
过P作PH⊥x轴于H，在Rt△OPH中，PH=|y|，OH= ，OP=1，
∴y2+ =1，
解得：y1= ，y2=﹣ ，
∴P（ ， ）或（ ，﹣ ），
当点P（ ，﹣ ）时，∠AOP=120°，此时∠AOD=60°，点D与点B重合，符合题意．
故答案为：（ ， ）或（ ，﹣ ）．
【分析】连接PB，PC，由题意△PCB是等腰三角形，分三种情况讨论：①若PB=PC，则P在BC的中垂线y= 上，用勾股定理可求解；
②若BP=BC，则BP=1，连接OB，由题意易证O，P，B三点共线，P为线段OB中点．可求解；
③若CP=CB，则CP=1，易证P在OC的中垂线x=上，在Rt△OPH中，用勾股定理可求解。
6．【答案】解：
∵ 是方程 的实数根，（若解一元二次方程步骤适当得步骤分）
∴ .
当 时，原式 .
当 时，原式
【知识点】分式的化简求值；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】将括号内通分，进行同分母分式加减运算，然后将除法变为乘法，进行约分即化为最简.利用公式法求出一元二次方程的根，然后将x的值代入计算即可.
7．【答案】（1）解：x2+6x+4=0
x2+6x=-4
x2+6x+9=-4+9
（x+3）2=5
；
（2）解：5x2-3x=x+1，
5x2-4x-1=0，
b2-4ac=（-4）2-4×5×（-1）=36，
，
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用移项，配方，开方，求解即可.
（2）先化成一般式，然后求出△≥0，代入求根公式，求出解即可.
8．【答案】（1）证明，将x=3代入方程，得
左边=9a-9（a-1）-9=9-9=0=右边，
所以，方程总有一个根是x=3
（2）解：当a≠0时，△=9（a-1）2+4×9=9（a+1）2，
所以，x1= =3，x2= =- ，即方程的另一个根是x=-
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将x=3代入方程，可得出方程左边为0，即可得证。
（2）利用公式法求出方程的解。
9．【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，∠A=28°，∴∠B= 62°，
∵BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC=59°， ∴∠ACD=90°-∠BCD=31°
（2）解：①由勾股定理得，
∴
解方程下x2+2ax-b2=0得，
∴线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根
【知识点】公式法解一元二次方程；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用直角三角形两锐角互余，可求出∠B的度数，由作图可知BD=BC，利用等边对等角及三角形内角和定理求出∠BCD的度数，然后由 ∠ACD=90°-∠BCD ，就可求出结果。
（2）利用勾股定理求出AB，再由BC=BD=a，求出AD，再解方程求出方程的解，就可作出判断。
10．【答案】解：设环形跑道周长为a，甲的速度为x，乙的速度为y，根据题意可得： + = ，∵a＞0，∴ + = ，去分母并整理得：2x2﹣xy﹣2y2=0，∵y＞0，∴2 （ ）2﹣ ﹣2=0，解得： = 或 = （舍负）．答：甲的速度是乙的 倍
【知识点】公式法解一元二次方程；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】设环形跑道周长为a，甲的速度为x，乙的速度为y，利用甲乙两次相遇时所用的时间相等，建立等量关系，再将方程变形后，将看着整体，解方程即可解答。
1 / 1初中数学北师大版九年级上学期 第二章 2.3 用公式法求解一元二次方程
一、单选题
1．（2019九上·高要期中）小丽同学想用公式法解方程-x2+3x=1，你认为a、b、c的值应分别为（ ）
A． 、3、 B． 、3、1
C． 、 、 D．1、 、
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵-x2+3x=1，
∴-x2+3x-1=0，
∴a=-1，b=3，c=-1，
故答案为：A．
【分析】根据公式法，a、b、c对应，解出a、b、c的值。
2．（2019·内江）一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程 的一根，则此三角形的周长是（ ）
A．16 B．12 C．14 D．12或16
【答案】A
【知识点】公式法解一元二次方程；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解方程 ，得： 或 ，
若腰长为3，则三角形的三边为3、3、6，显然不能构成三角形；
若腰长为5，则三角形三边长为5、5、6，此时三角形的周长为16，
故答案为：A．
【分析】先求出方程的根，然后根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系求出三角形的三边长度，从而求出三角形的周长.
3．（2019·广西模拟）已知一元二次方程x2-x-3=0的较小根为x1，则下面对x1的估计正确的是（ ）
A．-2< x1<-1 B．-3< x1<-2 C．2< x1<3 D．-1< x10
【答案】A
【知识点】无理数的估值；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵a=1，b=-1，c=-3，
∴b2-4ac=(-1)2-4×1×(-3)=13＞0，
∴x=，
∵ 一元二次方程x2-x-3=0的较小根为x1
∴x1=，
∵，
∴ -2< <-1，
即 -2< x1<-1。
故答案为：A。
【分析】利用求根公式法算出方程的两根，根据 一元二次方程x2-x-3=0的较小根为x1 即可求出x1的值，根据算术平方根的性质，故算出x1的大小，从而得出答案。
4．（2018-2019学年数学人教版九年级上册21.2.2 解一元二次方程（2） 同步训练）方程2x2-6x+3=0较小的根为p，方程2x2-2x-1=0较大的根为q，则p+q等于（ ）
A．3 B．2 C．1 D．
【答案】B
【知识点】代数式求值；公式法解一元二次方程
【解析】【解答】2x2－6x＋3＝0，
这里a＝2，b＝－6，c＝3，
∵△＝36－24＝12，
∴x＝ ＝ ，
即p＝ ；
2x2－2x－1＝0，
这里a＝2，b＝－2，c＝－1，
∵△＝4＋8＝12，
∴x＝ ＝ ，
即q＝ ；
则p＋q＝ ＋ ＝2．
故答案为：B
【分析】分别利用公式法解出题干中的两个方程，根据方程2x2-6x+3=0较小的根为p，方程2x2-2x-1=0较大的根为q，得出p，q的值，再代入代数式即可算出答案。
二、填空题
5．（2018-2019学年数学华师大版九年级上册第22章 一元二次方程单元检测b卷）如图，长方形OABC的边OC、OA分别在x轴、y轴上，点B的坐标为（ ，1）点D是AB边上一个动点（与点A不重合），沿OD将△OAD对折后，点A落到点P处，并满足△PCB是等腰三角形，则P点坐标为 ．
【答案】（ ， ）或（ ，﹣ ）
【知识点】公式法解一元二次方程；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：连接PB，PC，
① 若PB=PC，则P在BC的中垂线y= 上，
∴设P（x， ），
如图，过P作PH⊥x轴于H，
在Rt△OPH中，PH= ，OH=x，OP=1，
∴x2+ =1，
解得：x1= ，x2=﹣ （不合题意），
∴P（ ， ）；
②若BP=BC，则BP=1，连接OB，
∵OP=1，
∴OP+PB=2，
∵在Rt△OBC中，∠OCB=90°，OB= =2，
∴OP+PB=OB，
∴O，P，B三点共线，P为线段OB中点．
又∵B（ ，1），
∴P（ ， ）；
③若CP=CB，则CP=1，
∵OP=1，
∴PO=PC，则P在OC的中垂线x= 上，
∴设P（ ，y）．
过P作PH⊥x轴于H，在Rt△OPH中，PH=|y|，OH= ，OP=1，
∴y2+ =1，
解得：y1= ，y2=﹣ ，
∴P（ ， ）或（ ，﹣ ），
当点P（ ，﹣ ）时，∠AOP=120°，此时∠AOD=60°，点D与点B重合，符合题意．
故答案为：（ ， ）或（ ，﹣ ）．
【分析】连接PB，PC，由题意△PCB是等腰三角形，分三种情况讨论：①若PB=PC，则P在BC的中垂线y= 上，用勾股定理可求解；
②若BP=BC，则BP=1，连接OB，由题意易证O，P，B三点共线，P为线段OB中点．可求解；
③若CP=CB，则CP=1，易证P在OC的中垂线x=上，在Rt△OPH中，用勾股定理可求解。
三、计算题
6．（2019·番禺模拟）先化简，再求值： ，其中 是方程 的实数根.
【答案】解：
∵ 是方程 的实数根，（若解一元二次方程步骤适当得步骤分）
∴ .
当 时，原式 .
当 时，原式
【知识点】分式的化简求值；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】将括号内通分，进行同分母分式加减运算，然后将除法变为乘法，进行约分即化为最简.利用公式法求出一元二次方程的根，然后将x的值代入计算即可.
7．（2019九上·珠海开学考）
（1）用配方法解方程： ；
（2）用公式法解方程： .
【答案】（1）解：x2+6x+4=0
x2+6x=-4
x2+6x+9=-4+9
（x+3）2=5
；
（2）解：5x2-3x=x+1，
5x2-4x-1=0，
b2-4ac=（-4）2-4×5×（-1）=36，
，
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用移项，配方，开方，求解即可.
（2）先化成一般式，然后求出△≥0，代入求根公式，求出解即可.
8．（2018-2019学年数学湘教版九年级上册2.2 一元二次方程的解法（3） 同步练习）已知关于x的方程是ax2-3（a-1）x-9=0．
（1）证明：不论a取何值，总有一个根是x=3；
（2）当a≠0时，利用求根公式求出它的另一个根．
【答案】（1）证明，将x=3代入方程，得
左边=9a-9（a-1）-9=9-9=0=右边，
所以，方程总有一个根是x=3
（2）解：当a≠0时，△=9（a-1）2+4×9=9（a+1）2，
所以，x1= =3，x2= =- ，即方程的另一个根是x=-
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）将x=3代入方程，可得出方程左边为0，即可得证。
（2）利用公式法求出方程的解。
四、综合题
9．（2018八上·长兴月考）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，以点B为圆心，BC长为半径画弧交线段AB于点D；以点A为圆心，AD长为半径画弧，交线段AC于点E，连结CD·
（1）若∠A=28°，求∠ACD的度数．
（2）设BC=a，AC=b.线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根吗？说明理由。
【答案】（1）解：∵∠ACB=90°，∠A=28°，∴∠B= 62°，
∵BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC=59°， ∴∠ACD=90°-∠BCD=31°
（2）解：①由勾股定理得，
∴
解方程下x2+2ax-b2=0得，
∴线段AD的长是方程x2+2ax-b2=0的一个根
【知识点】公式法解一元二次方程；等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）利用直角三角形两锐角互余，可求出∠B的度数，由作图可知BD=BC，利用等边对等角及三角形内角和定理求出∠BCD的度数，然后由 ∠ACD=90°-∠BCD ，就可求出结果。
（2）利用勾股定理求出AB，再由BC=BD=a，求出AD，再解方程求出方程的解，就可作出判断。
10．（2018-2019学年数学浙教版七年级上册 第五章一元一次方程 单元测试卷）甲、乙两人同时从环形跑道上同一点出发，沿顺时针方向跑步，甲的速度比乙快，过一段时间，甲第一次从背后追上乙，这时甲立即背转方向，以原来的速度沿逆时针方向跑去，当两人再次相遇时，乙恰好跑了四圈，求甲的速度是乙的几倍？
【答案】解：设环形跑道周长为a，甲的速度为x，乙的速度为y，根据题意可得： + = ，∵a＞0，∴ + = ，去分母并整理得：2x2﹣xy﹣2y2=0，∵y＞0，∴2 （ ）2﹣ ﹣2=0，解得： = 或 = （舍负）．答：甲的速度是乙的 倍
【知识点】公式法解一元二次方程；一元一次方程的实际应用-行程问题
【解析】【分析】设环形跑道周长为a，甲的速度为x，乙的速度为y，利用甲乙两次相遇时所用的时间相等，建立等量关系，再将方程变形后，将看着整体，解方程即可解答。
1 / 1
